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深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-191深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-192本章内容本章内容1、静电场的标势及其微分方程、静电场的标势及其微分方程2、唯一性定理、唯一性定理3、拉普拉斯方程，分离变量法、拉普拉斯方程，分离变量法4、镜象法、镜象法5、格林函数法、格林函数法6、电多极矩、电多极矩深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-193关于电势的关于电势的边值关系边值关系和和边界条件边界条件介质界面介质界面边值关系边值关系导体表面导体表面边界关系边界关系场量场量边值关系边值关系0E体体内内0体体内内fEn表表面面导体表面导体表面介质侧一般介质侧一般也存在极化也存在极化电荷分布电荷分布0)(12EEnSS12SSnn1122)(12DDnSn)(常数CSQdSnSPPPn)(12EPED0PfPfE)(深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-194静电场的基本问题：静电场的基本问题：求解空间中求解空间中，所有，所有和和的电势分布。的电势分布。静电场的唯一性定理：静电场的唯一性定理：在有不同介质（线性均匀介质在有不同介质（线性均匀介质 ）和导体存在的区域）和导体存在的区域 中，如果在除导体之中，如果在除导体之外的区域内给定自由电荷分布外的区域内给定自由电荷分布，在，在 的边界的边界 （整个闭合边界整个闭合边界）上给定电上给定电势势（第一类边界条件第一类边界条件）或电势的法向导数或电势的法向导数（第二类边界条件第二类边界条件），在，在每个导体上给定电势每个导体上给定电势 （第一类导体条件第一类导体条件）或总电荷量或总电荷量 （第二类导体条第二类导体条件件）时，那么，时，那么， 内的电势内的电势 （或电场（或电场 ）同时满足）同时满足（1） 内所有不同区域的电势（电场）微分方程，内所有不同区域的电势（电场）微分方程，（2） 内所有相邻区域内所有相邻区域的边值关系，的边值关系，（3） 边界边界 上的给定条件和上的给定条件和 内所有导体上的给定条件内所有导体上的给定条件的解，是唯一的。的解，是唯一的。关于关于静电场静电场与与唯一性定理唯一性定理深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-195微分微分方程方程边值边值关系关系导体导体条件条件边界边界条件条件1）列出）列出方程方程与与定解条件定解条件2）提出）提出尝试解尝试解3）满足）满足定定解条件解条件4）修正修正得解得解ijijSjSiijijijSfSjjSiinn)(常量iSCiSidSnQii2020iSSn关于利用关于利用唯一性定理唯一性定理的的求解顺序求解顺序定定解解条条件件方方程程或或或或满满足足条条件件)(待定常量iSCifSn深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-196半径为半径为，电容率为，电容率为的均匀介质球的均匀介质球的中心置一点电荷的中心置一点电荷 ，介质球外为真，介质球外为真空，求空间电势分布。空，求空间电势分布。因因球对称性球对称性，设球心为，设球心为坐标原点坐标原点，球内外的电势分别为球内外的电势分别为和和 ，则，则210( )/()fQrrr 0rfQ介介质质球球真真空空r0120()ffrQrr 2200()rr点电荷点电荷密度密度方程方程10,()r 点点电电荷荷2,0()r 零零电电势势220120,()rrrr 球球面面定定解解条条件件边值边值关系关系边界边界条件条件方程特解为点电荷方程特解为点电荷的电势的电势。rQ4但是，但是，电场使介质球极化电场使介质球极化，总电势总电势 应是应是和和的电势叠加。的电势叠加。点电荷点电荷电势电势深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-197将将和和代入定解条件，则代入定解条件，则00 0()4fQAr04fQB将将 和和 分别分别代入代入和和，则，则010 0()44ffQQrr204fQr因为总电势因为总电势 应是应是和和的电势叠加。的电势叠加。设设电势为电势为，电势为电势为，则，则定解定解条件条件边值关系边值关系边界条件边界条件rrrr)(201120球面)(011rrPQ)(022rrPQArQf41rB2尝尝试试解解边值边值关系关系深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-198求解求解问题微问题微分方程的前题是分方程的前题是必须根据具体的物理问题，必须根据具体的物理问题，再根据这些条件采用恰当，再根据这些条件采用恰当的数学方法求解。的数学方法求解。通常，复杂问题用数通常，复杂问题用数值计算找出近似解。值计算找出近似解。常用的解析方法有常用的解析方法有法法、法法、法法。必须必须，根据具体的物理问题，根据具体的物理问题求解，包求解，包括从物理上的括从物理上的。在在或有某种或有某种情形下，除个别情形下，除个别奇点外，问题的解可以奇点外，问题的解可以出来。出来。深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-199深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1910在许多实际问题中，在许多实际问题中，是由是由决定的。决定的。因此，如果选择这些导体表面作为区域因此，如果选择这些导体表面作为区域 的边界，的边界，这样在这样在 的内部，的内部，自由电荷密度为零自由电荷密度为零，即，即。022这类问题的特点是，这类问题的特点是，只出现在一些只出现在一些上，在上，在其他其他分布分布。泊松泊松方程方程拉普拉斯拉普拉斯方程方程使较复杂的使较复杂的转化为较简单的转化为较简单的。深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-191102它们的作用通过区域它们的作用通过区域V的边界的边界S上上的的边界条件边界条件反映出来：反映出来：求解的问题归求解的问题归结为：求解结为：求解的的拉普拉斯拉普拉斯方程方程。 或或或或产生电势（或电场）的产生电势（或电场）的只只上。上。SV给给定定) 1SVn给给定定)2VSdSnQ给给定定导导体体上上的的总总电电荷荷量量)3深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1912分离变量法分离变量法可用可用求通解求通解02拉普拉斯拉普拉斯方程方程基基本本思思想想一种求定解问一种求定解问题的题的基本方法基本方法1）将）将多变量多变量的的分解为分解为单变量单变量的的多个多个，2）先）先找出找出满足边界条件的满足边界条件的特解特解，3）然后用）然后用线性叠加线性叠加形成满足其余形成满足其余边值条件的边值条件的通解通解。 方程方程是是齐次齐次的；的； 边界边界应该是应该是简单的几何面简单的几何面。求解条件求解条件对称性对称性情形情形球坐标球坐标柱坐标柱坐标深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1913021、球坐标系球坐标系中中拉普拉斯方程拉普拉斯方程的通解的通解0sin1sinsin1122222222rrrrrr1）球对称球对称情形情形无无关关与与,),(r01222rrrrrbar)(a、b常数常数2）轴对称轴对称情形情形无无关关与与),(r0sinsin112222rrrrr)()(),(rRr分离变量分离变量0) 1(2RnnrRrr0sin) 1(sinnnn正实数正实数r位位角角极极角角半半径径r球球坐坐标标深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19140) 1(2RnnrRrr0sin) 1(sinnn欧拉型欧拉型方程方程其其解解1)(nnnnrbrarRan、bn常数常数勒让德勒让德方程方程cosx0) 1()1 (2nnxxx11xn为正整数，方程存在为正整数，方程存在有限解有限解)(cos)(nP勒让德勒让德函数函数勒让德勒让德多项式多项式或或10PknnknnknknkknP22/0)(cos)!2()!( !2)!22()(cosnnnnnddnP) 1(cos)(cos!21)(cos2一般一般表达式表达式cos1P) 1cos3(2123P)(cos),(01nnnnnnPrbrar)()(),(rRr)(rR)(其其解解深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1915缔合勒让德函数缔合勒让德函数nmn2, 1, 0;2 , 1 , 0任意任意常数常数)sin()(cos)cos()(cos),(0101mPrbramPrbrarmnnnnmnnmnnmmnnnnmnnmnnm ),()(),(YrRr)()(),(Y0sin1sinsin1122222222rrrrrrnmnmnmnmdcba,1)(nnnnrbrarR)(cos)(mnP)sin()cos()(mBmA3）一般一般情形情形),(r分离分离变量变量连带勒让德函数连带勒让德函数0) 1(2RnnrRrr0cos1) 1()(cos)cos1 ()(cos222mnn0222m)(cos)(coscos1)(cos22nmmmmnPddP球球函数函数),(r一般一般表达式表达式0m0,mn)(rR)()(深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19162、柱坐标系柱坐标系中中拉普拉斯方程拉普拉斯方程的通解的通解zr径径向向r轴轴向向z位位角角柱柱坐坐标标020112222222zrrrrr无无关关与与,),(zr012rrrr)(常常数数Crrrbalna、b常数常数r二二维维情情形形二维二维情形情形无无关关与与zr),(01122222rrrrr)()(),(rRr0122RrndrdRrdrdr0222ndd0,0,ln00nrbranrbaRnnnn0,sincos0,00nndncndcnn10000)sincos)()(ln(nnnnnnnndncrbradcrba)2()0(:n为整数为整数径向对称径向对称情形情形深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19173、直角坐标系直角坐标系中中拉普拉斯方程拉普拉斯方程的通解的通解xzy坐坐标标直直角角020222222zyx)()()(),(zZyYxXzyx0222XkdxXdx0222zyxkkk0222YkdyYdy0222ZkdzZdzmkmmkmmmebeamM)(ZYXM,yxzzyyxxkkzkzzkzykyykyxkxxkxebeaebeaebeazyx,)()(),(ax, y, z、bx, y, z常数常数kx、ky、kz复常数复常数二维二维情形情形无无关关与与zyx),(02222yx222yxkkkkyykxxkxxkybkyaebeayx)cossin)(),(一维一维情形情形无关无关与与zyx,),(022xbaxx)(深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19180rfQ介介质质球球真真空空r012022求通解！求通解！当当，但其电势，但其电势为已知，为已知，亦即可以找到亦即可以找到泊松方程泊松方程的一种的一种特特解解，由叠加原理，总电势，由叠加原理，总电势 为为求解？求解？如果区域内的介质中存在如果区域内的介质中存在自由电荷分布自由电荷分布，若自由电荷分，若自由电荷分布在真空中布在真空中产生的电势已知产生的电势已知，则可适用，则可适用分离变量法分离变量法求解。求解。一般所求区域为分区均匀介质，不同介质分界面上有一般所求区域为分区均匀介质，不同介质分界面上有束缚面电荷束缚面电荷。区域。区域V中电势可表示为两部分之和，即中电势可表示为两部分之和，即f f + +P P 。f f为已知为已知自由电荷自由电荷产生的电势，不满足产生的电势，不满足2=0 0，但但P P为为束缚电荷束缚电荷产生的电势，是满足产生的电势，是满足2P P =0 0。PQf11PQf22Pf是是泊松方程泊松方程的齐次方程的齐次方程2P P =0 0 的通解的通解深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1919真空中有一半径为真空中有一半径为R、电容率为、电容率为的均匀介质球，的均匀介质球，在球外距球心在球外距球心a处有一点电荷处有一点电荷Q，求空间的电势分布。，求空间的电势分布。OQazPRrr设球心为设球心为坐标原坐标原点点O，球心指点电荷，球心指点电荷Q方向为极轴方向为极轴Z，球外、球内的电势分别为，球外、球内的电势分别为和和 ，因电荷分布在有限区内，因电荷分布在有限区内，可以无穷远外为电势零点。可以无穷远外为电势零点。12无无关关与与),(r因因轴对称性轴对称性，在球外区域，在球外区域，r R11Q为点电荷为点电荷Q产生的电势，产生的电势，zQearQ041球极化电荷产生的球极化电荷产生的电势，满足拉氏方程：电势，满足拉氏方程：012在球内区域，在球内区域，r R022)(cos),(01nnnnnnPrbrar)(cos011nnnnPrb)(cos02nnnnPra0,r应应为为有有限限值值, 0r因球内无自由电荷，因球内无自由电荷， 满足拉氏方程：满足拉氏方程：深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1920在球面上，在球面上，r = Rrr10212Q11)(cos011nnnnPrbznnnnnnnneaRQPRbPRa001041)(cos)(cos)(cos101nnnnzParear)(cos4)(cos)(cos010010nnnnnnnnnnnnPaRQPRbPRa)(cos4)(cos) 1()(cos01102001nnnnnnnnnnnnPanRQPRbnPnRa)(cos02nnnnPra比较两式比较两式Pn(cos)的系数的系数1014nnnnnnaRQRbRa112014) 1(nnnnnnanRQRbnnRa101) 1(124nnannnQa112000) 1()(4nnnaRnnnQb)(cos214)(cos) 1()(42200111200011RrraarQPraRnnnQnnnnnQ)()(cos) 1(1240102RrParnnnQnnnn),(r界面界面条件条件深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1921深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1922从原理上来说，一般静电问题都可以通过从原理上来说，一般静电问题都可以通过求解求解泊松方程泊松方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程得到电场。得到电场。1、求解求解泊松方程泊松方程的的难度难度022求通解！求通解！如果区域内的介质中存在如果区域内的介质中存在自由电荷分布自由电荷分布，若自由电荷分，若自由电荷分布在真空中布在真空中产生的电势已知产生的电势已知，则可适用，则可适用分离变量法分离变量法求解。求解。特定情形特定情形一般情况下，在求解有一般情况下，在求解有自由电荷分布自由电荷分布下的下的泊松方程泊松方程时，如时，如介质中或导体外存在点电荷的情况，虽然可以采用叠加法求介质中或导体外存在点电荷的情况，虽然可以采用叠加法求解，但是介质界面或导体表面上的电荷（因极化、感应）一解，但是介质界面或导体表面上的电荷（因极化、感应）一般呈般呈非均匀分布非均匀分布的，造成电场缺乏的，造成电场缺乏对称性对称性，求解，求解非常困难非常困难。深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19232、镜像法镜像法及其依据及其依据当区域的边界为当区域的边界为或或求解因介质极化或导体感求解因介质极化或导体感应而使介质界面或导体表面的电荷应而使介质界面或导体表面的电荷呈非均匀分布呈非均匀分布的的泊松方程泊松方程时，有一种时，有一种特殊情形特殊情形，即区域内只有，即区域内只有或者或者。这种一个或几个这种一个或几个点电荷点电荷产生的电场，产生的电场，会使导体表面产生会使导体表面产生，或者使介，或者使介质界面产生质界面产生。这类。这类或或又会又会激发电场激发电场并与点电荷产并与点电荷产生的电场叠加外，尤其在导体情况下，生的电场叠加外，尤其在导体情况下，往往往往其分布呈非均匀状态其分布呈非均匀状态。但是，又因为但是，又因为点电荷的简单性点电荷的简单性特点，使这类静电问题可以用一特点，使这类静电问题可以用一种比较简单的种比较简单的特殊方法特殊方法来求解。来求解。Q导体板上感应电荷导体板上感应电荷分布呈非均匀状态分布呈非均匀状态导体板导体板深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1924即为在所求解的即为在所求解的（因为不能改（因为不能改变求解区域的变求解区域的微分方程微分方程、电荷分布电荷分布、边值边值关系关系和和边界条件边界条件），用若干），用若干假想假想的的，（如介质的（如介质的极化极化电荷电荷或导体表面的或导体表面的感应电荷感应电荷）。）。Q导体板导体板QQ Q这样获得的总电势或总电场，只要这样获得的总电势或总电场，只要，那，那么其解就是么其解就是。其理论依据：其理论依据： 唯一性定理唯一性定理！然后用然后用和等效的和等效的分别分别产生的电势或电场采用产生的电势或电场采用叠加原理叠加原理得到得到或或。深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19251）区域内只有少许）区域内只有少许几个点电荷几个点电荷；2）边界面）边界面形状形状比较比较规则规则，具有一定，具有一定对称性对称性；3） 给定给定边界条件边界条件。a）镜像电荷镜像电荷必须置在求解必须置在求解区域之区域之外外！镜像电荷的！镜像电荷的和和由边由边值关系和边界值关系和边界条件确定条件确定。QQ圆、平面等形的圆、平面等形的简单规则形状简单规则形状适用适用条件条件注意的问题：注意的问题：b）一旦）一旦，不应再考不应再考虑虑原来的原来的电荷分布电荷分布。c）的选择，仍然根据边值的选择，仍然根据边值关系和边界关系和边界形状来定形状来定。深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1926接地无限大平面导体板附近接地无限大平面导体板附近有一点电荷有一点电荷 （其至导体板的（其至导体板的垂直距离为垂直距离为 ），求空间中的），求空间中的电势分布。电势分布。：上半空间；上半空间；：一个点电荷；一个点电荷；：无穷大无穷大导体导体，接地，接地（与（与下半空间下半空间，电势为零电势为零）1）选）选直角坐标系直角坐标系。设点电荷。设点电荷Q至导体板的垂直处为至导体板的垂直处为坐标原点坐标原点 ，则则方程方程和和边界条件边界条件为为QQPrrOaQQ a), 0, 0(02azyxQ0r00z泊松泊松方程方程边界条件边界条件深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19272）镜像电荷镜像电荷应置在应置在下半空间下半空间，满足方程不变要求。从，满足方程不变要求。从对称性对称性和和边界条件边界条件考虑，应在考虑，应在z轴上。轴上。3）由由边界条件边界条件确定确定、 、设设镜像电荷镜像电荷为为至至 点距离为点距离为 ，则场点则场点 的的 为点电荷为点电荷Q和和镜像电荷镜像电荷的电势叠加，即的电势叠加，即rQrQQQP0044rQrQP0412222220)()(41azyxQazyxQP0r00z222222)()(ayxQayxQQQaa惟一惟一解解镜镜像电荷像电荷在在下下半空间半空间2222220)(1)(14azyxazyxQP深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-19284）讨论：）讨论：a)导体上导体上的的感应电荷分布感应电荷分布00zz23222)(2ayxQaQQarrdrQadSQS 02322)(22b)电荷电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上产生的电场的电力线全部终止在导体面上。这。这与无导与无导体时两个体时两个等量等量异号异号电荷在电荷在上上半空间产生的电场完全相同。半空间产生的电场完全相同。 c) Q与与Q的的位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法镜象法（又称（又称电象法电象法）。）。 d) 导体对电荷导体对电荷Q的作用力的作用力，相当相当两两点电荷点电荷之之间的作用力间的作用力。 zzzeaQeaQerQF20220220216)2(144深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1929有一点电荷有一点电荷Q位于两个互相垂位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的的直角空间内，它到两个平面的距离为距离为a和和b，求空间的电势。，求空间的电势。依平面镜像法直接找出依平面镜像法直接找出三个三个镜像电荷镜像电荷及及位置位置，即，即)0 ,(baQQba)0 ,()0 ,(baQxyOQba)0 ,(设场点的位置为设场点的位置为 (x,y,z)，则，则)0 ,(baQQ点点电电荷荷)0 ,(1baQQ镜镜像像电电荷荷)0 ,(2baQQ镜镜像像电电荷荷)0 ,(3baQQ镜镜像像电电荷荷222)()(zbyaxQP2221)()(zbyaxPQ2222)()(zbyaxPQ2223)()(zbyaxPQrQ04PQPQPQQPQQQQQ321011114321 (x,y,z)的电势的电势深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1930若两平面导体板若两平面导体板S1和和S2，以夹角，以夹角/2/2相交并接地（如图所示），一相交并接地（如图所示），一个点电荷个点电荷Q Q放置在放置在 0 0（）处，用镜）处，用镜象法求解的条件是什么？象法求解的条件是什么？S2S1Q0深圳大学光电工程学院深圳大学光电工程学院2012-04-1931
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