直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量与平面的法向里直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3211 .如图321,直线l/m,在直线l上取两点A、B,在直线m上取两点C、D,向量AB与CD有怎样的关系？【提示】AB/CD.2 .如图直线1，平面&直线l/m,在直线m上取向量n,则向量n与平面a有怎样的关系？nxa直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.直线1工出取直线l的方向向量a.则向量a叫做平面a的法向量.空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线l,m的方向向量分线线别为a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)C2)平行贝Ul/m?aIIb?(ai.忻，c二)=k(a2,bz,C2)线面平行面面平行设l的方向向量为a=(ai,bi,ci),a的法向量为u=(a2)b2)c2),则l/a?au=0?aia2+bib2+cic2=0设&B的法向量分别为u=(ai)bi,ci),v=(a2)b2)c2),贝Uall供u/v?gi_,bi-ci)=k(a2)b2)c2)求平面的法向量图322已知ABCD是直角梯形，/ABC=90,SAL平面ABCD,SA1=AB=BC=1,AD=5,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向且里.(2)求平面SCD的一个法向量.【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),1d(2,0,0),S(0,0,1).(1),.SAL平面ABCD,AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.ADLAB,ADSA?.ADL平面SAB,-1一，一.AD=(2，0,0)是平面SAB的一个法向量.1一(2)在平面SCD中，DC=G1,0),SC=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,v,z),则nLDC,nSC.nDC=0所以一得方程组nSC=0)x= - 2y；x+y=0x+yz=0.z=y)令y=1得x=2,z=1，n=(2,-1,1).1 .若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2 .一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x)y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)02).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na=0)nb=0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.3 .在利用上述步骤求解平面的法向量时，na=0)方程组有无数多个解，只需给x,y,nb=0z中的一个变量赋于一个值)即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.正方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为棱AiDi、AiBi的中点，在如图323所示的空间直角坐标系中，求：图323(1)平面BDDiBi的一个法向量.(2)平面BDEF的一个法向量.【解】设正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2)(1)连AC,因为ACL平面BDDiBi,所以AC=(2,2,0)为平面BDDiBi的一个法向量.(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).nDB=02x+2y=0(nDE=0,x+2z=0,y=-x1z=2x.令x=2得y=2,z=-1.，n=(2,2,1)即为平面BDEF的一个法向且里.长方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是面对角线B1D1,AiB上的点，且DiE=2EBi,BF=2FAi.求证：EF/ACi.【自主解答】如图所示，分别以DA,DC,DDi所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DDi=c）则得下列各点的坐标：A(a,0,0),C(0,b,c),E(2a,2b,33c), F(a,3,23c).b, 0- FE=(-|,b,3),ACi=(a,- fE=3AC1.又FE与ACi不共线,- ,直线EF/ACi.利用向量法证明线线平行的方法与步骤:图324如图324所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为DDi和BBi的中点.求证：四边形AECiF是平行四边形.【证明】以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DDi为正交基底建立空间直角坐标系，不妨1设正万体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,万)，1Ci(0,1,1),F(1,1,2),-AE=(-1,0,1),FC1=(1,0,2),EC1414一一一=(0,1,2),aF=(0,1,2),.aE=fC1,eC=aF,AE/FC1,EC1/AF,又.EAE,F?EC1,.AE/FC1,EC1/AF,，四边形AEC1F是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图325如图325,在正三棱柱ABCAiBiCi中，D是AC的中点,求证：ABi/平面DBCi.【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a0),侧棱长为b(b0),山由a电a则A(0,0,0),B(2a,20),Bi(2a,2,访，_aCi(0,a,b),D(0,2，0),一73a一43.ABi=(a,2,b),BD=(aQQ),DCi=(0,2,b).设平面DBCi的一个法向量为n=(x)y,z),n BD =当ax=0,n DCi = 2y+ = 0,x= 0)a不妨令y=2b)则n=(0,2b)a).由于ABin=abab=0)因此A-1)I 1=2-2=0,又AEAm1=0,/tAED1F5AE1A1D1.又AiDiADiF=Di,AEL平面AiDiF,.AE是平面AiDiF的法向量.图329II .如图329,在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，/ABC=:,OA工底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN/平面OCD.【证明】作APXCD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.亚V2A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,70),D(-/,0).mN2-2:2，0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1一了:22=(14，4，T)，f2.2OP=(0,2,2),OD=(-2,2).设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则nOP=0,nOD=0.-22y2z=0即*x+/z=03亚=4,x=0,得n=（0,4,亚）.MNn=（1呼，*,1）（0,4亚）=0,.MN/平面OCD.