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第十六讲 相似图形（四） 本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型形为背景的综合题是常见的热点题型.知识考点 【例【例1】如图已知，】如图已知，ABC中，中，AB5，BC3，AC4，PQAB，P点在点在AC上（与点上（与点A、C不重合），不重合），Q点在点在BC上上. （1）当）当PQC的面积与四边形的面积与四边形PABQ的面积相等时，求的面积相等时，求CP的的长长. （2）当）当PQC的周长与四边形的周长与四边形PABQ的周长相等时，求的周长相等时，求CP的的长长. （3）试问：在）试问：在AB上是否存在点上是否存在点M，使得，使得PQM为等腰直角为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的的长长.典型例题ABCPQ 解：（解：（1） ， 又又PQAB， PQCABC ， 故故 .典型例题PABQPQCSS四边形2:1:ABCPQCSS212ACPCSSABCPQC821422PC22PC （2）PQC的周长与四边形的周长与四边形PABQ的周长相的周长相等等 PCCQPAABQB1/2（ABC的的周周 长）长）6 又又 PQAB， ，即，即 解得解得典型例题CBCQCACP6.43CPCP24.7CP （3）依题意得（如图依题意得（如图2）当）当MPQ90 ，PMPQ时，时，由勾股定理的逆定理得由勾股定理的逆定理得C90 ，ABC的的AB边上的边上的高为高为12/5，设，设PMPQx PQAB，CPQCAB， ，解得，解得 ，即，即 当当 ， 时，时， 同理可得同理可得典型例题5125125xx3760 x3760PC090QPMMQQP60.37PC ABCPQMM 依题意得（如图依题意得（如图3）当）当PMQ90 ，MPMQ时，由等腰直角三角形的性质得：时，由等腰直角三角形的性质得：M到到PQ的距离为的距离为 PQ，设，设PQx，由，由PQAB可得可得 CPQCAB，所以有：，所以有： 解得解得 ，即，即典型例题12152.1255xx49120 x120.49PQ 12 【例【例2】如图，】如图，ABC ，C 90，AC3cm， 5cm，先将，先将ABC和和 完全重合，再将完全重合，再将ABC固定，固定， 沿沿CB所在的直线向左以每秒所在的直线向左以每秒1cm的速度平行的速度平行移动，设移动移动，设移动 x 秒后，秒后，ABC与与 的重的重叠部分的面积为叠部分的面积为 y cm2，则，则y与与x之间的函数关之间的函数关系式为系式为 ， 秒后重叠部分的面积为秒后重叠部分的面积为典型例题2答案：答案：2336(004)8yxxA B C CBAA B C A B C A B C 3.8 【例【例3 】在】在ABC中，中，D为为BC边上的中点，边上的中点，E为为AC边上任意一点，边上任意一点，BE交交AD于点于点O.某学生在研究某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：这一问题时，发现了如下的事实：典型例题1121 1AEAC当时，2232 1AOAD有（如图（如图1） 11312AEAC当时，11413AEAC当时，2243 1AOAD有2243 1AOAD有（如图（如图2） （如图（如图3） EDCBAOEDCBAOEDCBAO 在图在图4中，当中，当 时，参照上述时，参照上述 研究结论，请你猜想用研究结论，请你猜想用n表示表示 的一般结论，并给出的一般结论，并给出证明（其中是正整数）证明（其中是正整数）.典型例题nACAE11AOAD 分析：特例能反映个性特征信息分析：特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中共性蕴含在个性之中.特例所反映的个性特征特例所反映的个性特征, 往往通过往往通过类比就可以反映其共性规律类比就可以反映其共性规律. 对照（对照（1）、（）、（2）、（）、（3）很容易猜想得到这样一个结）很容易猜想得到这样一个结论：论： 猜想：当猜想：当 时，有时，有 成立成立.典型例题nACAE11nADAO22 证明：过点证明：过点D作作DFBE，交，交AC于点于点F D是是BC的中点的中点 F是是EC的中点的中点 由由 可知可知 典型例题nACAE11nECAE1nEFAE2nAFAE22nAFAEADAO22 一、填空题：一、填空题： 1、梯形、梯形ABCD中，中，ABCD，ABCD，AC、BD交于点交于点O，过点，过点O的直线分别交的直线分别交AB、CD于于E、F，若，若AE:AB=1:3，FC4cm，则，则CD cm. 2、如图，、如图，O是平行四边形是平行四边形ABCD对角线的交点，对角线的交点，OEAD交交CD于于E，OFAB于于F，那么，那么 .能力训练OEFSABCDS平行四边形ABCDOFE 3、如图，在梯形、如图，在梯形ABCD中，中，ABCD，中位线，中位线EF交交BD于于H，AF交交BD于于G，CD4AB，则，则 .能力训练ABCDS梯形GHFSABCDEFGH 二、选择题：二、选择题： 矩形矩形ABCD中，中，AB3，AD4，DE垂直对角线垂直对角线AC于于E，那么，那么 （ ） A、4 3 B、16 9 C、 3 D、3 4能力训练32ADESDCES 三、解答题：三、解答题： 1、如图，在正方形、如图，在正方形ABCD中，中，M是是AB上一点，上一点，BMBN，作，作BPMC于于P，求证：，求证：DPNP.能力训练ABCDPMN 2、如图，在四边形、如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA上的点，且上的点，且 阅读下段材料，然后再回答后面的问题：阅读下段材料，然后再回答后面的问题： 连结连结BD， AE:EB=AH:HD，EHBD BF:FC=DG:GC，FGBD，FGEH能力训练(0).AEBFDGAHk kEBFCGCHD连结连结AC，则，则EF与与GH是否一定平行？答：是否一定平行？答： .当当k值为值为 时，四边形时，四边形EFGH是平行四边形；是平行四边形；在在的情况下，对角线的情况下，对角线AC与与BD只须满足只须满足 条件时，条件时，EFGH是矩形；是矩形；在在的情况下，对角线的情况下，对角线AC与与BD只须满足只须满足 条件时，条件时，EFGH是菱形是菱形.第 2 题图 HEFGDCBA能力训练3、已知、已知ABC中，中，AB32，AC2，BC边上的边上的3.（1）求）求BC的长；的长；（2）如果有一个正方形的一边在）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶上，另外两个顶点分别在点分别在AC、BC上，求正方形的面积上，求正方形的面积.提示：提示：D点可能在点可能在BC上或在上或在BC的延长线上，问题要的延长线上，问题要分类讨论分类讨论.高高AD能力训练3、已知抛物线、已知抛物线mmmxxy2218381与与x轴交于轴交于1x，0 0），），B B（2x，0）)(21xx 两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C（0，b（1）求）求m的取值范围；的取值范围；（2）若）若181m，OAOB3OC，求抛物线的，求抛物线的），），O为坐标原点为坐标原点.解析式及解析式及A、B、C三点的坐标；三点的坐标；A（能力训练（3）在（）在（2）的情形下，点）的情形下，点P、Q分别从分别从A、O两点同时出发（如图）以相同的速度沿两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB、OC向向B、C运动，连结运动，连结PQ与与BC交于交于M，设设APk，问是否存在，问是否存在k值，使以值，使以P、B、M为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似相似.若存在，求若存在，求k的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. 一、填空题：一、填空题： 1、12；2、1 8；3、15 2； 二、选择题：二、选择题：B 三、解答题：三、解答题： 1、证、证BPMCPB，PBNPCD； 2、不一定；不一定；1；ACBD；ACBD；参考答案 参考答案3、点点D在在BC上时，上时，BC4，3612S点点D在在BC的延长线上时，的延长线上时，BC2，121348156 S4、（、（1）0m（2）A（8，0），），B（4，0），），C（0，4），），423812xxy（3）存在）存在38k或或2.；
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