中考数学《空间与图形》专题复习 四边形（二）课件北师大版 ppt

第十讲 四边形（二） 1复习矩形、菱形、正方形的判定与性质复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题质解决相关的证明和计算问题. 复习目标 1矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分形的四条边相等，对角线互相垂直平分.2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质既具有矩形的性质又具有菱形的性质.知识要点 例例1 如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，AEBD，垂足为，垂足为E，DAE BAE3 1，求，求EAC的度数的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解个等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：答案：45典型例题ABCDEO 例例2 如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，AC、BD相交于点相交于点O，过，过O分分别作各边的垂线，垂足分别为别作各边的垂线，垂足分别为E、F、G、H.求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形. 分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而分成的四个三角形是全等的直角三角形，而OE、OF、OH、OG都是直角三都是直角三角形斜边上的高，故角形斜边上的高，故OE=OF=OG=OH，即证明四边形，即证明四边形EFGH是矩形是矩形. 证明：证明： 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AB=BC=CD=AD ，OD=OB，OA=OC 且且 ACBD RtAOD RtAOB RtCOD RtCOB OE、OF、OG、OH分别是三角形斜边上的高分别是三角形斜边上的高 OE=OF=OG=OH 四边形四边形EFGH是矩形是矩形典型例题OHABCDEFG 例例3 如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，ADBC于于D，CE平分平分ACB，交，交AD于于G，交，交AB于于E，EFBC于于F 求证：四边形求证：四边形AEFG是菱形是菱形 分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等是平行四边形，再证一组邻边相等 证明：证明：BAC=90，EFBC，CE平分平分ACB， AE=EF，CEA=CEF ADBC，EFBC， EFAD， CEF=AGECEA=AGE AE=AGEFAG，且，且EF=AG 四边形四边形AEFG是平行四边形是平行四边形 又又AE=EF， 平行四边形平行四边形AEFG是菱形是菱形典型例题ABCDEFG 例例4 已知：已知： 如图，如图，O为为ABCD对角线对角线BD的中点，的中点，MN过过O且且垂直垂直BD，分别交，分别交CD、AB于于M、N求证：四边形求证：四边形DNBM是是菱形菱形 分析：已知分析：已知MN为为BD的垂直平分线，有的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由又由DOM BON，得，得DM=BN，即由四条边都相等的，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论四边形是菱形可证得结论. 证明：证明：MN为为BD的垂直平分线的垂直平分线 DM=BM，DN=BN 又又DOM BON DM=BN， DM=BM=BN=DN 四边形四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 典型例题ABCDONM 例例5 如图，如图，E、F分别是正方形分别是正方形ABCD的边的边AB、BC上的上的点，且点，且EFAC，在，在DA的延长线上取一点的延长线上取一点G，使，使AGAD，EG与与DF相交于点相交于点H.求证：求证：AHAD. 分析：因为分析：因为A是是DG的中点，故在的中点，故在DGH中，若中，若AHAD，当且仅当，当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明为直角三角形，所以只须证明DGH为直角三角形为直角三角形.典型例题GABCDEFH 例例6 如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，P、Q分别是分别是BC、CD上的点，若上的点，若PAQ450，求证：，求证：PBDQPQ. 分析：利用正方形的性质，通过构造全等三分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明角形来证明.典型例题ABCDEPQ 一、填空题：一、填空题： 1、若矩形的对称中心到两边的距离差为、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长，周长为为56，则这个矩形的面积为，则这个矩形的面积为 . 2、已知菱形的锐角是、已知菱形的锐角是60，边长是，边长是20cm，则，则较短的对角线长是较短的对角线长是 cm. 3、如图，矩形、如图，矩形ABCD中，中，O是对角线的交点，若是对角线的交点，若AEBD于于E，且，且OE OD1 2，AE cm，则则DE cm.能力训练3ABCDEO 4、如图，、如图，P是矩形是矩形ABCD内一点，内一点，PA3，PD4，PC5，则，则PB . 5、如图，在菱形、如图，在菱形ABCD中，中，BEAF60，BAE20，则，则CEF .能力训练ACDBPBFACDE 6、如图，将正方形、如图，将正方形ABCD的的BC边延长到边延长到E，使，使CEAC，AE与与CD边相交于边相交于F点，那么点，那么CE FC . 7、如图，把正方形、如图，把正方形ABCD沿着对角线沿着对角线AC的方向移动到的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面面积的一半，若积的一半，若AC ，则正方形移动的距离，则正方形移动的距离是是 .能力训练2ACFBDEBDDCACBA 8、四边形、四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，给出，给出以下题设条件：以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA.其中能判断它是正方形的题设条件是其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）（把正确的序号填在横线上）.能力训练 二、选择题：二、选择题： 9、在矩形、在矩形ABCD的各边的各边AB、BC、CD、DA上上分别取点分别取点E、F、G、H，使，使EFGH为矩形，则这为矩形，则这样的矩形（样的矩形（ ） A、仅能作一个、仅能作一个 B、可以作四个、可以作四个 C、一般情况下不可作、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个、可以作无穷多个能力训练 10、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，AB4cm，AD12cm，P点在点在AD边上以每秒边上以每秒1 cm的速度从的速度从A向向D运运动，点动，点Q在在BC边上，以每秒边上，以每秒4 cm的速度从的速度从C点出发，点出发，在在CB间往返运动，二点同时出发，待间往返运动，二点同时出发，待P点到达点到达D点为点为止，在这段时间内，线段止，在这段时间内，线段PQ有（有（ ）次平行于）次平行于AB. A、1 B、2 C、3 D、4能力训练ABCDPQ 11、如图，已知矩形纸片、如图，已知矩形纸片ABCD中，中，AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点，将其折叠，使点D与点与点B重合，那么折叠后重合，那么折叠后DE的长和折痕的长和折痕EF的长分的长分别是（别是（ ） A、4cm、 cm B、5cm、 cm C、4cm、 cm D、5cm、 cm能力训练10102 32 3ABCDEFG 12、给出下面四个命题：、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的菱形的对角线的平方和等于边长平方的平方和等于边长平方的4倍倍.其中正确的命题有（其中正确的命题有（ ） A、 B、 C、 D、 13、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形、矩形 B、菱形、菱形 C、正方形、正方形 D、等腰梯、等腰梯形形能力训练 三、解答题：三、解答题： 14、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，F是是BC边上一点，边上一点，AF的的延长线交延长线交DC的延长线于点的延长线于点G，DEAG于于E，且，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论并证明你的结论.能力训练ABCDEFG 15、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB900，CD是是AB边上的高，边上的高，BAC的平分线的平分线AE交交CD于于F，EGAB于于G. 求证：四边形求证：四边形GECF是菱形是菱形.能力训练ABCDEFG 16、如图，以、如图，以ABC的三边为边在的三边为边在BC的同一侧分别的同一侧分别作三个等边三角形，即作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF.请回请回答下列问题（不要求证明）：答下列问题（不要求证明）： （1）四边形）四边形ADEF是什么四边形？是什么四边形？ （2）当）当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？是矩形？ （3）当）当ABC满足什么条件时，以满足什么条件时，以A、D、E、F为顶为顶点的四边形不存在？点的四边形不存在？ 能力训练ABCDEF 17、已知正方形、已知正方形ABCD中，中，M是是AB的中点，的中点，E是是AB延延长线上一点，长线上一点，MNDM且交且交CBE的平分线于的平分线于N. （1）求证：）求证：MDMN； （2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上任意一点上任意一点”，其余条件不变，则结论，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由由.能力训练NNMMABECDABECD 18、如图，、如图，ABCD是正方形，是正方形，P是对角线上是对角线上的一点，引的一点，引PEBC于于E，PFDC于于F. 求证：（求证：（1）APEF；（；（2）APEF.能力训练ABCDEFP 19、如图，过正方形、如图，过正方形ABCD 的顶点的顶点B作作BECA，作，作AEAC，又，又CFAE， 求证：求证：BCF1/2AEB.能力训练ABCDEF 一、填空题：一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；、；5、200 提示：提示：4题过点题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；求解； 5题连结题连结AC，证，证ABE ACF得得AEAF，从而，从而AEF是等边三角形是等边三角形. 6、 ；7、 ；8、参考答案2121 二、二、DDBBA 三、解答题：三、解答题： 14、可证、可证DEA ABF 15、略证：、略证：AE平分平分BAC，且，且EGAB，ECAC，故，故EGEC，易得，易得AECCEF，CFEC，EGCF，又因，又因EGAB，CDAB，故，故EGCF.四边形四边形GECF是平行四边是平行四边形，又因形，又因EGFG，故，故GECF是菱形是菱形.参考答案 16、（、（1）平行四边形；（）平行四边形；（2）BAC150；（；（3）当当BAC60时，以时，以A、D、E、F为顶点的四边形不为顶点的四边形不存在存在. 17、（、（1）如图）如图1，取，取AD中点中点F，连结，连结MF，由，由MNDM得得DAM90，易证，易证12，又因，又因MNBNBE2452，DMFAFM1451，所以，所以DMFMNB，又因，又因DFBM，所，所以以DMF MNB，故，故MDMN.参考答案（2）成立，如图）成立，如图2，在，在AD上取上取DFMB，则易知：，则易知：1900DMA，又，又2DMA900，12，又，又DMF4501，MNB4502，DMFMNB，又又DFMB，DMF MNB，故，故MDMN. 18、略证：延长、略证：延长AP与与EF相交于点相交于点H，连结，连结PC，因为因为BD是对角线，易证是对角线，易证PAPC，12，根据根据PEBC于于E，PFDC于于F，知，知PECF为矩为矩形，形，PCEF，且，且DAHFPH，又因为，又因为123，所以在，所以在PHF中，中，FPH34190，所以，所以PHF为直角三角为直角三角形，故形，故APEF.参考答案 19、提示：证、提示：证AEFC是菱形，过是菱形，过A点作点作BE的垂线构造的垂线构造300角的直角三角形角的直角三角形.参考答案