高中数学 第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系课件 北师大版必修4

1 同角三角函数的基本关系第三章 三角恒等变形学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案答案答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.思考2由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？答案(1)同角三角函数的基本关系式平方关系： .商数关系： .(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin2 ；cos2 .tan 的变形公式sin ；cos .梳理梳理sin2cos211cos21sin2cos tan 题型探究题型探究 类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度命题角度1已知角已知角的某一三角函数值及的某一三角函数值及所在象限，求角所在象限，求角的其余三的其余三角角 函数函数值值例例1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为答案解析同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.又是第三象限角，解答命题角度命题角度2已知角已知角的某一三角函数值，未给出的某一三角函数值，未给出所在象限，求角所在象限，求角的的 其余其余三角函数值三角函数值例例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解答是第二或第三象限角.(1)当是第二象限角时，则(2)当是第三象限角时，则利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知cos ，求13sin 5tan 的值.解答是第二或第三象限角.(1)若是第二象限角，(2)若是第三象限角，综上可知，13sin 5tan 0.类型二利用同角三角函数关系化简解答是第三象限角，cos 0.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.反思与感悟解答解答解解是第二象限角，cos 0，类型三利用同角三角函数关系证明证明原等式成立.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边右边0或 1(右边0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.反思与感悟证明证明证明方法一方法一(比较法作差)方法二方法二(比较法作商)方法三方法三(综合法)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos xcos x，类型四齐次式求值问题解答例例5已知tan 2，求下列代数式的值.解答(1)关于sin 、cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式.反思与感悟解答所以tan 3.解答(2)sin22sin cos 1.当堂训练当堂训练1.若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于23451答案解析23451答案解析2.已知sin cos ，则sin cos 等于答案解析23451答案解析234514.若tan 2，则sin cos .解答23451规律与方法1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.本课结束