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第第2 2课时课时平面解析几何平面解析几何知识网络要点梳理知识网络要点梳理1.直线的斜率k与倾斜角的关系如何?请填写下表: 知识网络要点梳理2.直线方程有哪几种形式?提示:直线方程有五种形式.(1)点斜式:y-y0=k(x-x0).(2)斜截式:y=kx+b.(5)一般式:Ax+By+C=0(A2+B20). 知识网络要点梳理3.两直线的位置关系有哪些?其成立的条件又是什么?请填写下表:知识网络要点梳理4.你学过哪些距离公式?请完成下列空格.(1)两点间的距离公式若两点在数轴上,则d=|x2-x1|;(2)点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)的距离知识网络要点梳理(3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B20)与l2:Ax+By+C2=0(A2+B20)的距离5.圆的标准方程与一般方程的代数形式是什么?有哪些注意事项?提示:圆的标准方程形式为(x-a)2+(y-b)2=R2(R0),圆的一般方程形式为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).它们之间可以互化,尤其要注意参数R0和D2+E2-4F0这两个条件.由圆的一般方程化成圆的标准方程常用配方法来完成.知识网络要点梳理6.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系如何?请完成下表:知识网络要点梳理7.对称问题(1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.(2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上.(3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程,知识网络要点梳理(4)直线关于直线的对称:求直线l关于直线g的对称直线l,主要依据l上任一点M关于直线g的对称点必在l上.8.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)直线的斜率随着倾斜角的增大而增大. ()(2)若两条直线互相平行,则这两条直线的斜率一定相等. ()(3)直线的截距式方程适用于直线存在截距的情形. ()(4)若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则一定有x=2a-x1,y=2b-y1 ()(6)二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足A=B,C=0且D2+E2-4F0. ()(7)过一点可以作出圆的两条切线. ()知识网络要点梳理(8)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点共有3个. ()(9)在空间直角坐标系中满足(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9的点(x,y,z)的轨迹是球. ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8)(9)专题归纳高考体验专题一用待定系数法求直线或圆的方程【例1】 若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.解:设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+(3x-y)=0,即(1+3)x+(3-)y-10=0.因为原点到所求直线的距离为1,即=3.故所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.专题归纳高考体验反思感悟1.求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程.2.选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.专题归纳高考体验变式训练变式训练1求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.解:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CBl,故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0. 专题归纳高考体验专题二分类讨论思想的应用【例2】 过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.解:当直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,满足题意;当直线的斜率存在时,设其斜率为k,显然k0,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.所以两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,即x-y+1=0,x-y+2=0.综上可知,所求的两条直线方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.专题归纳高考体验反思感悟解题过程中,若遇到被研究的对象包含多种可能的情形时,就需选定一个标准,根据这个标准把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一.专题归纳高考体验变式训练变式训练2设A(-c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.解:设动点P的坐标为(x,y). 当a=1时,P点的轨迹为直线x=0,即y轴. 专题归纳高考体验专题三数形结合思想的应用【例3】 已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与B的最大距离和最小距离.解:如图所示,设直线BO与圆交于P,Q两点,P是圆上任意一点.则|BP|+|PO|BO|=|OP|+|BP|,|BP|BP|.P是圆上与B距离最近的点.|BP|BO|+|OP|=|BO|+|OQ|=|BQ|,Q是圆上与B距离最远的点.|BO|= =5,半径r=2.|BP|=3,|BQ|=7.圆上的点与B的最大距离为7,最小距离为3.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟1.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.2.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.专题归纳高考体验值范围,实质上就是求过点(-1,-2)且与圆x2+y2=1有公共点的直线的斜率的范围.解:如图所示,设P(x,y)是圆x2+y2=1上的点, 过点Q作圆的两条切线QA,QB,切点分别为A,B.由图可知QBx轴,即kQB不存在,且kQPkQA,设切线QA的斜率为k,则它的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.专题归纳高考体验专题归纳高考体验变式训练变式训练4已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点.求x2+y2的最大值和最小值.解:圆的方程化为(x-3)2+(y-2)2=1,圆心为(3,2),半径为1.专题归纳高考体验专题四对称问题【例5】 已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.解:(1)设点P关于直线l的对称点为P(x,y),则线段PP的中点M在直线l上,且直线PP垂直于直线l,所以点P的坐标为(-2,7). 专题归纳高考体验(2)设直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,则l1上任一点P1(x1,y1)关于l的对称点P2(x2,y2)一定在l2上,反之也成立,把(x1,y1)代入y=x-2,整理得7x2+y2+22=0,所以l2方程为7x+y+22=0.专题归纳高考体验反思感悟1.中心对称(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P(-x,-y).(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1l2,P到l1,l2的距离相等.专题归纳高考体验2.轴对称(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;当l1l2l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.专题归纳高考体验解析:如果把M,N看成圆上的动点,设出坐标,那么本题会变得特别复杂.我们要考虑圆的对称性,把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解,减少未知量.不妨设两圆的圆心分别为A,B,因此原题可转化为在直线y=x上找一个点P,使|PB|-|PA|最大,即只需作点B关于直线y=x的对称点B,显然B的坐标是(0,2),从而可知原点即为要求的点.故|PN|-|PM|的最大值为 =2.故选D.答案:D专题归纳高考体验最小值等于()A.2B.3C.4D.5答案:C 专题归纳高考体验2.(2013湖南高考,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心,则AP等于()专题归纳高考体验解析:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,答案:D 专题归纳高考体验3.(2013四川高考,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.解析:由题意可知,若P为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|AC|,等号成立的条件是点P在线段AC上;|PB|+|PD|BD|,等号成立的条件是点P在线段BD上,所以到A,B,C,D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.直线AC方程为2x-y=0,直线BD方程为x+y-6=0,即所求点的坐标为(2,4).答案:(2,4)专题归纳高考体验考点二:圆的方程4.(2015北京高考,文2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案:D 专题归纳高考体验5.(2015课标全国高考,文7)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()答案:B 专题归纳高考体验6.(2015江苏高考,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.解析:(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 专题归纳高考体验当m=0时,r=1;当m0时,m2+12m(当且仅当m=1时取等号).故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2专题归纳高考体验7.(2016浙江高考,文10)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.解析:由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当答案:(-2,-4)5 专题归纳高考体验考点三:直线与圆、圆与圆的位置关系综合问题8.(2015安徽高考,文8)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径答案:D 专题归纳高考体验9.(2015山东高考,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.答案:D 专题归纳高考体验10.(2015课标全国高考,理7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得 则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,答案:C 专题归纳高考体验11.(2016北京高考,文5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()解析:由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离 答案:C 专题归纳高考体验12.(2016山东高考,文7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 .则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切D.相离显然R-r|MN|0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离答案:2 专题归纳高考体验15.(2016课标全国丙高考,理16)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|=.答案:4
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