二阶常微分方程的解法及其应用

1 引言 12二阶常系数常微分方程的几种解法 11.1 特征方程法11.1.1 特征根是两个实根的情形 21.1.2 特征根有重根的情形 21.2 常数变异法 41.3 拉普拉斯变化法 53常微分方程的简单应用 63.1 特征方程法73.2 常数变异法 93.3 拉普拉斯变化法 10124总结及意义11参考文献二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系 数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的 情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉 普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了 不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微 分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要， 还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。关键词：二阶常微分方程；特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and dont use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程 又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。人所共知， 常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、 生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分方程已有悠久的历史，而且继续 保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微 分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、 弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。 二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和 物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解 方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究 的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和 应用做出研究。2二阶常系数常微分方程的几种解法通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是 特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有 限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。2.1特征方程法所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因 数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程， 积分方程特征方程等等。d 2xdx求微分方程 一2-十p 一 十qx = 0的通解.dt2出解特征方程九2 + p九+ q =0的根%,% ,(1)若这是两个不等实根，则该方程有两个实值解力92:故通解为x = g e + e2t ( g,C2 为任意常数).(2)若这两个根相等，则该方程有二重根，因此方程的通解具有形状x = Ge拒+Qte并(GC为任意常数).(3)若这两个根为共腕复根z = abi,则该方程的通解具有形状x = eat(Gsinbt+c2C0sbt) (G,6为任意常数).数学的许多公式与定理都需要证明，下面本文给出上面前两个解答的理论依据2.1.1 特征根是两个实根的情形设垢%是上面特征方程的两个不相等的实根，从而相应的方程有如下两个解e1t e 2t e , e我们指出这两个解在a t Wb上线性无关，从而它们能够组成方程的基本解组.事实上，这时w(t)口1t , 1e_ Q( 1二)2万e而最后一个行列式是著名的范德蒙德（ VandermondR行歹！J式,它等于（%）.由于假设%#%,故此行列式不等于零，从而w（t） # 0,于是e” 0t线性无关，这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为xnCie+QeM （其中GC为任意数）.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对共腕出现.设% =a +i P是一特征根，则% = i F也是特征根，因而与这对共腕复根对应的，方程有两个复信解e( - J* = e 4(cos t isin t), e( J,二 et(cos t -isin ： t).根据定理可知，复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来，对应于特征方程的一对共腕复根儿=口 土建，我们可求的方程 *+ p+ qx =0的两个实值解 dt dte t cos : t,e t sin : t .2.1.2 特征根有重根的情形设特征方程有k重根九=%,则众所周知F(i) =F(i)l 二F(p(i) =0, F(k)(1) = 0,先设 =0,即特征方程有因子人,于是an = an= an_k 1 = ,也就是特征方程的形状为nn _1k a1 . , - an 上1 = 0,dnxdnx而对应的方程L & 三R+ai+an 1 +anX = 0变为dtdt -nn 1kd yd -yd y ,n ai nk = 0 .dxdxdx易见它有k个解1, t,t2,，tk，而且它们是线性无关的.这样一来，特征方程的 k重零根就对应方程的k个线性无关的解1,t,t2,，tk.如果这个k重根3=0,我 们作变量变换x = ye1,注意到(m) /1t、(m)，1t(m)(mJ) m(m 1) 2 (m_2)m Ix=(ye)(=e|y( ) +皿.田)+ % y + +% y ,可得nn 1L ye=(g + b14+-+ bny)e圮=L1 y】e兄， -dtdt于是对应方程化为nn 1115=*+匕扁+4丫 = 0，dtdt其中b,b2,0，总仍为常数，而相应的特征方程为G()=n . b/n bn. bn =0,直接计算易得F(艮 +A)* = L e*= L 营” uGDe* ,因此F()=G()，从而Fj(N+%)=Gj(N) , j=1,2,，k, 这样，问题就化为前面讨论过的情形了 .2.2常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法，常应用于一阶线性微分方程的求解。数变易法中，将常数 C换成U(X )就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。对于二阶常系数非线性常微分方程的解法，只要先求出其一个特解，再运用特 征方程法求得方程的通解.求常微分方程dx + pdx + qx = f (t)的通解.dt2出解 方程d-x- + p dx + qx = f (t)对应齐次方程为dt2出* p qx=0 dt2 dt q ,其特征方程为由于方程,2.d xdx2- p qx - dtdtf的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究 过了，所以此处只需求出具一个特解.若，一为上面方程的实根，则x 4是方程+p柒qx = 0的解.由常数变易法设pdx+qx=f的一个解为x = c四代入原方程并化简得c”(t) (2 p)c(t)=e-tf(t),这是关于c(t)的一阶线性微分方程，其一个特解为c(t) = fe42；;b)t( fe(?b4p)tf (t) )dt dt,从而得上面方程的一个特解为x* 二el e2 p)t( e(、(t)dtdt.若欠为上面方程的复根，我们可以设，u = a+bi,a,bwR且b=0,则* =eatSn btd 2xdx. 是万程巴，+ p d- + qx = f的解，根据常数变易法可设其一个特解为 dtdtx* =c(t)eatsinbt ,与情形1的解法类似得方程 + p+qx = f (t)的一个特解为* tep招)f f (t)e(a)tsinbtdtx = ea sinbt 2dt.sin bt由于x*是特解，则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有引数实数t ( t至0 )的函数转换为一个因数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并 不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运 算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。 拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程 化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制 系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的 一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就 为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动 过程，以及提供控制系统调整的可能性。常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯 变换法进行求解，这往往比较简单。由积分-st _F(s) = . 0 e f (t)dt.所定义的确定于复平面(Re。)上的复变数s的函数F(s),称为函数f(t)的拉普 拉斯变换，我们称f (t)为原函数，而F(s)称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s的代数方程.通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微 分方程的解.方法十分简单方便，为工程技术工作者所普遍采用.当然，方法本身有 一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数 .求解方程 d-x 2dx x 二e, x(1) = x(1) = 0 .dt2dt解先使T =t -1 ,将问题化为7十2髀=X(0)=0，再对新方程两边作拉普拉斯变换，得到1l ,e21s X(s) 2sX(s) X(s)=s 1因此X(s) =1(s 1)3查拉普拉斯变换表可得1 2 , Jx()二二 e ，2从而1 2 -tx(t)=-(t-1)e ,2这就是所要求的解.当然，求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多，这里我们不能列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了。3常微分方程的简单应用为直观的了解常微分方程的简单应用，本文特选取在求动力学方程对于常微 分方程的简单应用进行分析。通常来说，对于物理问题进行求解主要应该分为以 下三个步骤内容：第一步是对问题进行分析从而做到对方程的建立并且对定解条 件进行明确；第二步是对解的性质进行讨论或者求出方程以便满足初始条件的特 解；第三步是定性分析对解，对原来问题反着进行解释，其中最为关键的因素就 是要将方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬时变化法。而在对阻尼振动进行研究的过程当中，对运动方程所进行的求解这一问题显得比较复杂， 以下就分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程。3.1特征方程法 一_ _ _1 一 一 例如在弹簧振子系统当中，测试出物体的阻尼系数6=10.0s，物体质量1m =1.0kg,该弹簧所具备的劲度系数k = 75 N m ,在此背景下，假设整个质点 从静止状态开始逐步运动，求解弹簧振子的位移方程。解：按照牛顿的第二运动定律的结果得以得到_kx-cv = ma,（1）或1 21d x dx m 2 c kx 0 dt2 出相对来说振动系统这是之前给定的，其中的常量为m，k，c,如果可以确定k/m =，m =发，那么以上的方程式可以转变为:吐,0 =0dt dt(3)那么把所得到的数据代入公式（3）就可以得到d2x ”dx2- 2075x = 0(4)dt dt通过对以上公式的细致观察和研究则可以得到对其进行求解能够使用特征值 2_ _法，那么在这里的特征方程可以表述为：九+20儿+75 = 0，并且在这一特征方程当中包含有两个分别根1=一15，2=-5,这样相对应的则（4）的两个根分别为-5t -5t，-2=e（5）那么按照公式（5）进行计算可以得到振动子固有角频率数值为 通。=际=5桓,在这时候阻尼系数数值为6=10，也就是说B2底则方程（5） 的解可以表述为5t 15t： = Ae +Be（初始条件觉得A,B数值）.（6）在公式（6）当中，所保持的属于一个非振动状态，在如此背景之下，所存在 的质点也只是在原先的不平衡位置逐步恢复到平衡状态当中，质点并不具备周期振动的特征。而我国的关注点是在基于 6cc此种情况下，质点呈现出逐渐衰减的 振动。可是正是由于受到阻尼作用的影响，不能够长久的维持这种自由振动系统 的振动，通常都会经历着从振动的逐渐衰减延续至振动停止，那保持震荡持续不 停的状态，就必须不断的从外界当中获得必要的能量，学术界将这种因为受到外 部持续作用而产生的振动归纳成为强迫振动。又例如案例：加入在以上的振动系统当中受到某个外力F=100cos(30t)N的作 用，在公式当中Fa =100表示为驱动力所具备的幅度值，金=30则表示为驱动力所 拥有的圆频率，f也就是驱动力所保持的频率。解：在质点振动系统当中受到驱动力的作用，那么就可以得到关于系统振动 的方程为：di+c*kx=dt dt或者还可以将上述公式改成d2x d产dx o20x = H cos(30t).dt(8)在以上的公式当中H =县表示为在单位质量上面所受到的外力幅值。(7)与 m(8)这两个方程式都属于质点强迫振动方程。从本质上来看，这种强迫振动方程 属于二阶的非齐次常微分方程，这个方程所得到的一般解也就是这个方程所得到 的某一个特解和相对应的齐次方程一般解两者之和。由于在之前的篇幅当中已经 得到相对应的自由振动方程的一般解，这就导致其在的关键问题就是对于(8)当中的一个特解进行寻找，把所得到的数据代入到(8)当中就可以得到：(9)d2x _ dx_22075x =100 cos(30t),dt2dt在这里可以通过假设(9)有着为=人5访301+3 8$34这样的特解，将这个特别往(9)当中进行替代并且将其进行简化之后得到-(33A 24B)sin30 t (24 A - 33B)cos301 =4cos30 t ,3244按照比较同类项系数可以得到 A =3一,B =,这样就可以进一步得到555555Xi = 22-sin30t -J4cos30t,根据以上所得到的结果没那么原方程所存的通解就可555555以表述为5t I5t 3244x(t)=Ae- Be :sin 30t - cos30t.555555在以上的公式当中，初始条件决定 A，B的数值，而其中的瞬态解是之前的两 项，瞬态项能够对于整个系统的自由衰减振动进行有效描述，而所能够起作用的 只是在震动的开始阶段，而当经历比较长的时间之后，瞬态解所起到的影响则会 逐渐的减弱并且在最后阶段消失。稳态解则是之后的两项，稳态解则是对于系统 受到驱动力的作用之下进行强制振动的状态进行描述，这主要是由于立足于恒定 的幅值条件下，从而将这种状态称之为稳定振动。从以上的公式可以得到，如果 质点振动系统受到外力作用之后，整个系统有着比较复杂的振动状态，这属于稳 态振动和自由衰减振动两者的有机合成体，在这样的振动状态之下对于强迫振动 当中逐步建立稳态振动的过程进行有效描述。如果经历一定时间之后，就会消失 瞬态振动，使得整个系统保持着稳态振动的状态。3.2常数变易法从之前的分析当中可以了解到x = e这属于特征方程 九2 + 20九+ 75 = 0的实根，那么就可以得到x=et这个属于方程(9)当中的一个根，然后通过常数变异 法设置x* =c(t)e0 ,那么在这一过程当中也可以得到方程的一个解为x ,把数值代入到(9)当中并且进行简化之后可以得到一5tc(t) 10c (t)=e5t100cos30t.以上属于c(t)的一阶线性微分方程，并且在方程当中一个特解为8 5t =4 5t c (t) e sin 30t e cos30t c1,33从而得出(9)的一个特解为(取G=c2=0)*_5t8 5t4 5tx(t)=e ( (_e sin30t _e cos30t)dt1 c2) 33cos30t3244= sin 30t 一555555从而可得(9)的通解x(t) = Aeg+ Be5t +-3sin 30t -44-cos30t. 555555由之前可知,2.(10)(11)d xdx,m -2ckx =F.dt2dt将数据代入数据得到d 2xdx_ 20 400x =cos(2t). dt2dt按照自己所做的观察可以发现，在进行求解的过程当中使用常数变异法，首要就是必须求出公式(11),而在之前的研究当中可以得到公式(11)齐次线性微分方程的特征方程为 必+20+400 = 0。这样就可以进一步的假设特征方程的根为N = -1010T3i,那么x(t)=e,0tsin(10/3t)这就是公式(11)的一个解。由常数变易法可设为x*(t) -c(t)eJ0tsin(10,3t).与情形1中的解法类似，将x (t)代入(12)并化简得*1099x (t)sin(2t)cos(2t).3960439604由于x*是特解，则积分常量可以都取零。3.3拉普拉斯变换法依然使用之前的例子，由牛顿第二运动定律可以得到以下的公式d2xdxm 2 - c kx = F ,dt2dt将这一公式代入数据之后可以得到d2xdx(12)d 220dx 400x =cos(2t),dt2dt由于质点通过开设的静止状态逐步运动，那么就可以得到以下的公式对方程(12)进行拉普拉斯变换，得到s2X(s) 20sX(s) 400X(s)=ss2 4X(s)=-22-s2 4 s2 20s 400把上式右端分解为部分分式一、 10299 sX(s)2,239604 s 4 39604 s 4101.310 399 s 10118812 (s 10)2 (10、.3)2 39604 (s 10)2 - (10.3)2由拉普拉斯变换表可得x(t)=1099sin(2t) cos(2t)3960439604e0ts1n（1岫）一彘0s（1诋）4总结及意义总而言之，现在常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、 各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反 应过程稳定性的研究等。现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成 就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。而幕级数解法作 为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算 量偏大，且需要考虑函数是否解析，幕级数在某个区间是否收敛等。另外，对于 二阶常系数非齐次线性微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类 型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是， 它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理 论更加完善。参考文献1(瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著，胡作玄译.数学概观M.科学出版 社,2001 : 121-1472赵慈庚，朱鼎勋主编.大学数学自学指南M.中国青年出版 社,1984:74-913王高雄等编.常微分方程M.高等教育出版社,1978:39-534李瑞遐，何志庆编著.微分方程数值方法M.华东理工大学出版社,2005 : 41-585余德浩，汤华中编著.微分方程数值解法M.科学出版社,2003 : 14-216胡燧林.一阶方程初值问题解的存在与唯一性定理的几点注记J.韶关学院学报.1988(02) : 38-477弭鲁芳，纪在秀.论一类常微分方程解的最大存在区间J.聊城大学学报(自然科学版).2006(04):24-26+288赵慧娟，陈伟丽，赵晨霞，袁书娟.关于常微分方程初值问题数值解法的分析J.中国科教创新导刊.2011(08):839李孝诚，刘兆丽.常微分方程解题模式的构建J.高等数学研 究.2009(04) : 96-9910韦程东，高扬，陈志强.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与 实践J.数学的实践与认识2008(20) : 228-23311舒小保.一类二阶常微分方程边值问题的无穷多个解J.系统科学与数学.2008(01) : 91-98