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刷题增分练36计数原理、排列组合、二项式定理刷题增分练36小题基础练提分快一、选择题1. 2019河北唐山模拟用两个1, 一个2, 一个0,可组成不同 四位数的个数是（）A. 18B. 16C. 12D. 9答案：D解析：当1在最高位时，可以组成的四位数的个数是 A3=6;当 2在最高位时，可以组成的四位数的个数为 C3=3,故可以组成不同 的四位数的个数为9.故选D.2. 2019石家庄模拟教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A. 10 种 B. 25 种C. 52种 D. 24种答案：D解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法 计数原理，共有24种不同的走法.3. 2019开封月考某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、 英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科 中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、 政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 6 B. 12C. 18 D. 19答案：D解析：通解 在物理、政治、历史中选一科的选法有c3c2=9（种）; 在物理、政治、历史中选两科的选法有 c2c1=9（种）；物理、政治、 历史三科都选的选法有1种.所以学生甲的选考方法共有9+ 9+1 = 19（种），故选D.优解 从六科中选考三科的选法有 C3种，其中包括了没选物理、 政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共 有C61 = 19（种），故选D.4. 2019合肥调研用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于 3 000的四位数，这样的四位数有（）A. 250 个 B. 249 个C. 48 个D. 24 个答案：C解析：当千位上的数字为 4时，满足条件的四位数有 A3 =24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有24(个).由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有= 48(个)，故选C.5. 2019广州调研x-9 的展开式中x3的系数为( 2x，A4 =21B.9C，221D-2答案:解析：二项展开式的通项92r = 3,得r=3,展开式中1 9X8X78 3X2X12rC9x9 2r21 、，2，选 A.6. (xy)(x+y)5的展开式中x2y4的系数为()A. - 10 B. -5C. 5 D. 10答案：B解析：(x+y)5的展开式的通项公式为Tr+1= C5 x5 r yr,令5 r=1,得 r = 4,令 5r=2,得 r = 3, (x -y)(x+y)的展开式中 Wy4 的系数为 C5x1 + ( 1)xc5= 5.故选B.7.已知(1+x) = a。+ a1(1 x) + a2(1 x) + a0(1 x),则 a8 = ()A. - 180 B. 180C. 45 D. -45答案：B解析：令 t=1 x,则 x= 1 t,所以有(2-t)10=a0 + a1t + a2t2 + + ai0t10,则 Tr+1 = C；o210 r( t)r=C；0210 r(1)rtr,令 r=8,则 a&= C80 X 22= 180.8. 2019山西太原五中等六校联考在二项式:x1n的展开式中 x第5项是二项式系数最大的唯一项，则展开式中含有x2项的系数是()A. 35B. -35C. -56答案：CD. 56解析：.在二项式(x1)的展开式中第5项是二项式系数最大的 唯一项，展开式中第5项是正中间项，展开式共有 9项.n = 8,展开式的通项为 Tr+1 = C8x8 r -1)=(- 1)rC8x8 2r, X)令 82r = 2,得 r=3,展开式中含x2项的系数是(-1)3C3= 56.故选C.二、非选择题9. 2018全国卷I 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比 赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)答案：16解析：解法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加 有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种.故共有C12C24 + C22C14 = 2X6 + 4=16(种).解法二 间接法.从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种 情况，没有女生参加的情况有 C34种，故共有C36-C34 = 20-4 = 16(种).10. 2019湖南长沙雅礼月考给图中A, B, C, D, E, F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案.答案：96解析：先染A, B, C有A4种方案，若A, F不相同，则F, E, D唯一；若A, F相同，讨论E, C,若E, C相同，D有2种，则有 A3x 1X2种，若E, C不相同，D有1种，则有A3x 1X1种方案.所 以一共有 A4+A4x1X2 + A3x121=96种方案.11. 2019 石家庄质检设(1 x)5=a0+ ax+ a2X2+a5X5,那么 a1 + a2 + a?+ a4+ a 的值为.答案：1解析： 令 x= 1,得 a。+ a + a2+a?+a4+% = 0,令 x= 0,得 a。 =1, .21 + 22 + 23+24+ a5= - 1.12. 2019贵州凯里月考多项式,一；+1,展开式中所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项为 .答案：141解析：令x=1可得展开式中所有项的系数之和为2n=64,故n=6,则 2x1+6=1区一=+1 6 = C0,2x- +C6 2x-）+ + x J a x；6lx）限xjc6,常数项为 c6 c3（2）3+c2 c2（2）2+c4 c2x（2）+c6=141.刷题课时增分练36综合提能力课时练赢高分一、选择题1. 2018全国卷田*+25的展开式中x4的系数为（）xA. 10 B. 20C. 40 D. 80答案：C解析：x2 + 2+的展开式的通项公式为 Tr+1 = Cr5 （x2）5 r l|）= x，xjCr5 2rx10 3r,令10- 3r = 4,得r = 2.故展开式中x4的系数为C25 22 =40.故选C.2. 2019成都诊断（x+ 2y）5的展开式中含x3y2项的系数为（）A. 5B. 10C. 20D . 40答案：D解析：（x+2y）5的展开式的通项Tr+1 = C5x-r（2y）r,所以含x3y2项 的系数即r= 2时的系数，即C2X 22 = 40.3. 2019日照模拟甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若 每一级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置， 则不同 的站法总数为（）A. 336 B. 84C. 343 D. 210答案：A解析：由题意知需要分2类解决，（1）若每一个台阶上只站1人， 站法有A3 = 210（种）；（2）若1个台阶有2人，另1个台阶有1人，站 法有C3A7= 126（种）.根据分类加法计数原理可得，不同的站法种数 为 210+ 126=336.4. 2019定州模拟将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示 的4X4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不 同行也不同列，则不同的填写方法有（）A. 288 种 B. 144 种C. 576种 D. 96 种答案：C解析：依题意可分为以下3步：（1）先从16个格子中任选一格放 入第一个汉字，有16种方法；（2）任意的两个汉字既不同行也不同列， 第二汉字只有9个格子可以放，有9种方法；（3）第三个汉字只有4 个格子可以放，有4种方法.根据分步乘法计数原理可得不同的填写 方法有 16X9X4= 576（种）.5.设1x上，的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和 为N,若M N = 240,则n的值为（）A. 4 B. 6C. 8 D. 10答案：A解析：各项系数之和M = 4n,二项式系数之和N=2n,所以M N=240= 4n 2n,解得 n= 4.6.x +工-4y.3/x/7的展开式中不含x的项的系数之和为（）A . 一 C7C343 47 B. - C7c443 + 47D. 47C. 47答案：A解析:1 = C7x + -4y3x7 r (-4y)r,x+ 4y 7的展开式的通项公式为Tr7 r的展开式的通项公式为Mk+1 =,7-r-4k 4k -C7 r x 3 , 0k7- r,0r7, k, r 均为整数，令 7r=工，解得3k= 0/ = 7或k= 3,r = 3,则不含x的项的系数之和为（一4）7+C3C3（ 4）3=-C7C343-47.7. 2019江西南昌调研某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体 效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目 丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A. 120种 B. 156种C. 188种 D. 240 种答案：A解析：解法一 记演出顺序为16号，对丙、丁的排序进行分 类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号， 其排法分别有a2A3, a2A3, c1a2A3, c3A2A3, c1a2A3种,故总编排 方案有 a2a3+a2a3+c2a2a3+c3a2a3+c3a2a3= 120#.故选 a.解法二 记演出顺序为16号，按甲的编排进行分类，当甲 在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种,则有c1a2A3 = 48种方案; 当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有 3种，共有C1A2A3 = 36 种方案；当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C，2 A3=36种方案，所以编排方案共有 48+36+36= 120种方案.故选 A.8.如图，用6种不同的颜色把图中A, B, C, D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 (A. 400 种C. 480种 D. 496 种答案：C3种颜色.当使C有4种，D有解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用 用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种,3种，完成此事共有6X5X4X 3 = 360(种)方法；当使用3种颜色时： A, D使用同一种颜色，从 A, D开始，有6种方法，B有5种，C 有4种，完成此事共有6X5X4=120(#)方法.由分类加法计数原理 可知：不同涂法有360+ 120=480耐).r /1256,贝兀一X二、非选择题9.若1 xf的展开式的各个二项式系数的和为 X的展开式中的常数项为.答案：70解析：依题意得2n = 256,解得n = 8, ，1所以 Tr+1 = C8-r (-x)r = (-1)rC8x2r 8,令 2r 8=0,则 r=4,所以 丁5 = （1）4C4= 70,所以g x的展X开式中的常数项为70.10 . 2019上海黄浦区调研若甲、乙两人从6门课程中各选修3 门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为 .答案：200解析：根据题意，分两种情况讨论：甲、乙所选的课程全不相 同，有c6c3=2。种选法；甲、乙所选的课程有1门相同，有c6c5 C2=180种选法.甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有20+ 180= 200 种.11 .有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列 方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.解析：（1）从7人中选 5人排列，有 A5 = 7X6X5X4X3=2 520（种）.（2）分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后 排，有A4种方法，共有A7 A4=5 040（种）.（3）解法一（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 A6种排列方法，共有5X A6= 3 600（种）.解法二（特殊位置优先法）首尾位置可安排另6人中的两人，有 A2种排法,其他有A5种排法,共有A2A5= 3 600（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种 方法，再将女生全排列，有 A4种方法，共有A4 A4 = 576（种）.（5）（插空法）先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空 位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4 A3=1 440位中）.
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