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反证法与放缩法反证法与放缩法三三 :, ,.,.我们可以这样来证明我们可以这样来证明那么那么如果如果对于性质对于性质例如例如事实直接推出事实直接推出本本小关系的基小关系的基有的可以由实数大有的可以由实数大条性质中条性质中现现可以发可以发质质性性本本过不等式的基过不等式的基究究研研前面我们曾经前面我们曾经cbcaba 36 .,cbcabacbcababa 所以所以于是于是得得由由00 那那如果如果但对于性质但对于性质,06 ba :.,这时可以采用如下方法这时可以采用如下方法实直接推证出结论实直接推证出结论事事我们很难从条件和已有我们很难从条件和已有么么2 nNnbann.,nnnnnnbababa 或或那么必有那么必有不成立不成立假设假设 .,.,;,成立成立于是于是矛盾矛盾这些都与这些都与有有那么由性质那么由性质如果如果那么那么如果如果nnnnnnbabababababa 05 .,)(,常用反证法证明常用反证法证明证明比较困难的命题常证明比较困难的命题常对于那些直接对于那些直接我们把它称为我们把它称为从而证明原命题成立从而证明原命题成立确确正正以说明假设不以说明假设不矛盾的结论矛盾的结论成立的事实等成立的事实等、明显、明显或已证明的定理、性质或已证明的定理、性质命题的条件命题的条件得到和得到和进行正确的推理进行正确的推理义、定理、性质等义、定理、性质等应用公理、定应用公理、定结合已知条件结合已知条件以此为出发点以此为出发点成立成立即先假设要证的命题不即先假设要证的命题不像这样的方法像这样的方法absurditytoreduction，证法证法反反.,:,211201有一个小于有一个小于中至少中至少试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx .,的线索不够清晰的线索不够清晰由条件推出结论由条件推出结论直接直接联系不明显联系不明显论与条件之间的论与条件之间的要证的结要证的结分析分析.,虑用反证法虑用反证法于是考于是考能的即可能的即可是不可是不可都不小于都不小于分式分式明两个明两个要证要证则只则只从反面证明从反面证明而而进行分类讨论进行分类讨论等等个分式都小于个分式都小于或两或两个分式小于个分式小于需要对某一需要对某一证明证明如果从正面如果从正面另外另外222.,2121211 xyyxxyyx且即都不小于假设证明.,xyyxyx21210 且所以因为 ,yxyx 22得把这两个不等式相加.矛盾这与已知条件从而22 yxyx.,原命题成立即是不可能的都不小于因此211xyyx .,:,0000002 cbaabccabcabcbacba证证求求数数为实为实已知已知例例.,是考虑采用反证法是考虑采用反证法于于够清晰够清晰不不索索论的线论的线直接由条件推出结直接由条件推出结显显条件之间的联系不明条件之间的联系不明要证的结论与要证的结论与分析分析.),(),(),(.,与与这这种种情情形形类类似似例例如如其其他他两两个个如如例例只只要要讨讨论论其其中中一一个个我我们们改改变变命命题题的的条条件件的的位位置置不不意意交交换换任任注注意意到到条条件件的的特特点点但但不不是是正正数数的的情情形形这这时时需需要要逐逐个个讨讨论论不不全全是是正正数数假假设设cbacbacbacba.,两种情况讨论和下面分不妨先设一个不是正数即其中至少有不全是正数假设证明000 aaacba .,不可能所以矛盾与则如果00001 aabcabca .,0002 bcabca可得那么由如果.00 acbcba所以又因为 .,相矛盾这和已知于是00 cabcabbccbacabcab.,00 cb同理可证.,.,00 aa综上所述也不可能因此.所以原命题成立这种方法称为这种方法称为我们把我们把从而达到证明的目的从而达到证明的目的简化不等式简化不等式或缩小或缩小些部分放大些部分放大通过把不等式中的某通过把不等式中的某等式时等式时证明不证明不.,.放放缩缩法法.,213 caddbdccacbbdbaaRdcba求证求证已知已知例例.,从从而而得得出出证证明明不不等等式式简简化化使使可可以以通通过过适适当当放放缩缩分分析析此此式式的的形形式式特特点点的的目目的的不不易易达达到到证证明明算算非非常常复复杂杂直直接接通通分分相相加加则则会会使使运运若若把把分分析析caddbdccacbbdbaa 所以都是正数因为证明,dcbabaadbaadcbaa ,abbacbbdcbab ,dccbdccdcbac ,cddcadddcbad ,dcdcbabacaddbdccacbbdbaadcbadcba 得把以上四个不等式相加.21 caddbdccacbbdbaa即.,.,显然太大了显然太大了那么和放大为那么和放大为项分母依次缩为项分母依次缩为如果把和式的如果把和式的述过程中述过程中例如上例如上关键是放、缩适当关键是放、缩适当用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式44dcba.|,bbaabababa 1114求证求证是实数是实数已知已知例例,|,|bbaababababa 1111得到得到替代替代将不等式左边用将不等式左边用分析分析.,|,到证明到证明那么原不等式就可以得那么原不等式就可以得如果能证明如果能证明所以所以明的明的这个不等式是很容易证这个不等式是很容易证babababa 11|,|bababababa 11110所以因为证明|ba 111|baba 1|babbaa 11.|bbaa 11.|,babababa 11我们证明了我们证明了在上述过程中在上述过程中 .,|,为增函数是容易证的为增函数是容易证的而而式成立式成立得到得到就可以由就可以由函数函数为增为增只要证明函数只要证明函数函数的观点看函数的观点看那么从那么从如果令如果令xfbabaxfxxxxf 001 .,的单调性的单调性观察函数观察函数 01xxxxf.,.,择择合合适适的的方方法法选选作作具具体体分分析析应应该该对对具具体体问问题题的的特特点点法法的的统统一一方方题题没没有有一一种种适适用用于于所所有有问问一一样样证证明明问问题题学学上上所所有有其其他他明明与与数数证证不不等等式式应应该该注注意意纳纳法法等等四四讲讲中中要要介介绍绍的的数数学学归归如如在在第第还还有有其其他他一一些些方方法法除除以以上上方方法法外外常常用用方方法法种种的的几几上上面面介介绍绍了了证证明明不不等等式式
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