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第七篇立体几何与空间向量第七篇立体几何与空间向量( (必修必修2 2、选修选修2-1)2-1)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.高考在本篇一般命制高考在本篇一般命制2 2道小题、道小题、1 1道大题道大题, ,分值占分值占2222分左右分左右. .2.2.三视图、简单几何体的表面积与三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面的位置关系的判体积、点、线、面的位置关系的判定主要以选择题、填空题的形式出定主要以选择题、填空题的形式出现现, ,空间向量和空间角主要以解答题空间向量和空间角主要以解答题的形式出现的形式出现. .3.3.本篇重点考查推理论证能力和空本篇重点考查推理论证能力和空间想象能力间想象能力, ,而且对数学运算的要求而且对数学运算的要求有加强的趋势有加强的趋势, ,转化与化归思想贯穿转化与化归思想贯穿整个立体几何始终整个立体几何始终. .第第1 1节空间几何体的结构、三视图和直观图节空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲最新考纲1.1.认识柱、锥、台、球及其简单组认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征合体的结构特征, ,并能运用这些特征并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构描述现实生活中简单物体的结构. .2.2.能画出简单空间图形能画出简单空间图形( (长方体、长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合组合) )的三视图的三视图, ,能识别上述三视图能识别上述三视图所表示的立体模型所表示的立体模型, ,会用斜二测画会用斜二测画法画出它们的直观图法画出它们的直观图. .3.3.会用平行投影方法画出简单空间会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图图形的三视图与直观图, ,了解空间了解空间图形的不同表示形式图形的不同表示形式. .考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读】【教材导读】 1.1.平行投影和中心投影的区别和联系平行投影和中心投影的区别和联系? ?提示提示: :中心投影与人们感官的视觉效果是一致的中心投影与人们感官的视觉效果是一致的, ,它常用来进行绘画它常用来进行绘画; ;平平行投影中行投影中, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与这个平面图形的形与这个平面图形的形状和大小完全相同状和大小完全相同. .2.2.两面平行两面平行, ,其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗? ?提示提示: :不是不是, ,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行, ,如图几何体就如图几何体就不是棱柱不是棱柱. .3.3.几何体三视图中的实线与虚线如何区分几何体三视图中的实线与虚线如何区分? ?提示提示: :看得见的轮廓线和棱为实线看得见的轮廓线和棱为实线, ,看不见的为虚线看不见的为虚线. .4.4.怎样画物体的三视图和直观图怎样画物体的三视图和直观图? ?提示提示: :三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法, ,利用利用平行投影画三视图平行投影画三视图; ;利用斜二测画法画几何体的直观图利用斜二测画法画几何体的直观图. .知识梳理知识梳理1.1.多面体的结构特征多面体的结构特征多面体多面体结构特征结构特征棱柱棱柱有两个面互相有两个面互相 , ,其余各面都是四边形且每相邻两其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都个四边形的交线都 . .棱锥棱锥有一个面是有一个面是 , ,而其余各面都是有一个而其余各面都是有一个 的的三角形三角形棱台棱台棱锥被平行于棱锥被平行于 的平面所截的平面所截, , 和底面之间的部和底面之间的部分叫做棱台分叫做棱台平行平行平行且相等平行且相等多边形多边形公共顶点公共顶点底面底面截面截面2.2.旋转体的形成旋转体的形成几何体几何体旋转图形旋转图形旋转轴旋转轴圆柱圆柱矩形矩形 所在的直线所在的直线圆锥圆锥直角三角形直角三角形 所在的直线所在的直线圆台圆台直角梯形直角梯形 所在的直线所在的直线球球半圆半圆 所在的直线所在的直线3.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)(1)三视图的形成与名称三视图的形成与名称形成形成: :空间几何体的三视图是用平行投影得到的空间几何体的三视图是用平行投影得到的, ,在这种投影之下在这种投影之下, ,与投与投影面平行的平面图形留下的影子影面平行的平面图形留下的影子, ,与平面图形的与平面图形的 和和 是完全相是完全相同的同的; ;名称名称: :三视图包括三视图包括 、 、 . .矩形一边矩形一边一直角边一直角边直角腰直角腰直径直径形状形状大小大小正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图(2)(2)三视图的画法三视图的画法在画三视图时在画三视图时, ,重叠的线只画一条重叠的线只画一条, ,挡住的线要画成挡住的线要画成 ; ;三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 方、方、 . .方、方、 方观察几何体画出的轮廓线方观察几何体画出的轮廓线. .4.4.空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用 画法来画画法来画, ,基本步骤是基本步骤是(1)(1)画几何体的底面画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,画直观图时画直观图时, ,把把它们画成对应的它们画成对应的xx轴、轴、yy轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,且使且使xOy=xOy= , ,已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段轴的线段, ,在直观图中平行于在直观图中平行于xx轴、轴、yy轴轴. .已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段轴的线段, ,在直观图中长度在直观图中长度 , ,平行于平行于y y轴的线段轴的线段, ,长度变为长度变为 . .(2)(2)画几何体的高画几何体的高在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面平面, ,在直观图中对应的在直观图中对应的zz轴轴, ,也垂也垂直于直于xOyxOy平面平面, ,已知图形中平行于已知图形中平行于z z轴的线段轴的线段, ,在直观图中仍平行于在直观图中仍平行于zz轴且长度轴且长度 . .虚线虚线正前正前左前左前正上正上斜二测斜二测4545( (或或135135) )保持不变保持不变原来的一半原来的一半不变不变对点自测对点自测1.1.下列说法中正确的是下列说法中正确的是( ( ) )(A)(A)棱柱的底面一定是平行四边形棱柱的底面一定是平行四边形(B)(B)棱锥的底面一定是三角形棱锥的底面一定是三角形(C)(C)棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥(D)(D)棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D D 解析解析: :根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断, ,选选D.D.2. 2. 如图所示如图所示, ,等腰等腰ABCABC是是ABCABC的直观图的直观图, ,那么那么ABCABC是是( ( ) )(A)(A)等腰三角形等腰三角形(B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰直角三角形等腰直角三角形(D)(D)钝角三角形钝角三角形B B 解析解析: :由题图知由题图知ACyACy轴轴,ABx,ABx轴轴, ,由斜二测画法知由斜二测画法知, ,在在ABCABC中中,ACy,ACy轴轴,ABx,ABx轴轴, ,所以所以ACAB.ACAB.又因为又因为AC=AB,AC=AB,所以所以AC=2ABAB,AC=2ABAB,所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .选选B.B.3.3.若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可以是( ( ) )D D 解析解析: :A A中正视图、俯视图不对中正视图、俯视图不对, ,故故A A错错; ;B B中正视图、侧视图不对中正视图、侧视图不对, ,故故B B错错; ;C C中侧视图、俯视图不对中侧视图、俯视图不对, ,故故C C错误错误. .故选故选D.D.4.(4.(20162016宜昌期中宜昌期中) )将正方体将正方体( (如图如图1 1所示所示) )截去两个三棱锥截去两个三棱锥, ,得到图得到图2 2所示所示的几何体的几何体, ,则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为( ( ) )解析解析: :还原正方体知该几何体侧视图为正方形还原正方体知该几何体侧视图为正方形,AD,AD1 1为实线为实线,B,B1 1C C的正投的正投影为影为A A1 1D,D,且且B B1 1C C被遮挡为虚线被遮挡为虚线. .故选故选B.B.B B 5.5.若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可以是( ( ) )解析解析: :根据选项根据选项A,B,C,DA,B,C,D中的直观图中的直观图, ,画出其三视图画出其三视图, ,只有只有B B项正确项正确. .选选B.B.B B 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一考点一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例【例1 1】 (1)(1)用任意一个平面截一个几何体用任意一个平面截一个几何体, ,各个截面都是圆面各个截面都是圆面, ,则这个则这个几何体一定是几何体一定是( () )(A)(A)圆柱圆柱(B)(B)圆锥圆锥(C)(C)球体球体(D)(D)圆柱、圆锥、球体的组合体圆柱、圆锥、球体的组合体解析解析: :(1)(1)截面是任意的且都是圆面截面是任意的且都是圆面, ,则该几何体为球体则该几何体为球体. .故选故选C.C.解析解析: :(2)A(2)A错错, ,如图如图(1);B(1);B正确正确, ,如图如图(2),(2),其中底面其中底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,可证明可证明PAB,PCBPAB,PCB都是直角都是直角, ,这样四个侧面都是直角三角形这样四个侧面都是直角三角形;C;C错错, ,如图如图(3);D(3);D错错, ,由棱台的定义知由棱台的定义知, ,其侧棱的延长线必相交于同一点其侧棱的延长线必相交于同一点. .选选B.B.(2)(2)下列说法正确的是下列说法正确的是( () )(A)(A)有两个平面互相平行有两个平面互相平行, ,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱(B)(B)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形(C)(C)有两个平面互相平行有两个平面互相平行, ,其余各面都是梯形的多面体是棱台其余各面都是梯形的多面体是棱台(D)(D)棱台的各侧棱延长后不一定交于一点棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 解决与空间几何体结构特征有关问题应注意解决与空间几何体结构特征有关问题应注意(1)(1)把握几何体的结构特征把握几何体的结构特征, ,要多观察实物要多观察实物, ,提高空间想象能力提高空间想象能力; ;(2)(2)紧扣结构特征是判断的关键紧扣结构特征是判断的关键, ,熟悉空间几何体的结构特征熟悉空间几何体的结构特征, ,依据条依据条件构建几何模型件构建几何模型; ;(3)(3)通过反例对结构特征进行辨析通过反例对结构特征进行辨析. .反思归纳反思归纳 【即时训练】【即时训练】 如果四棱锥的四条侧棱都相等如果四棱锥的四条侧棱都相等, ,就称它为就称它为“等腰四棱等腰四棱锥锥”, ,四条侧棱称为它的腰四条侧棱称为它的腰, ,以下以下4 4个命题中个命题中, ,假命题是假命题是( () )(A)(A)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等(B)(B)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补(C)(C)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆(D)(D)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析解析: :因为因为“等腰四棱锥等腰四棱锥”的四条侧棱都相等的四条侧棱都相等, ,所以它的顶点在底面的所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等射影到底面的四个顶点的距离相等, ,故故A,CA,C正确正确; ;在它的高上必能找到一在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等点到各个顶点的距离相等, ,故故D D正确正确;B;B不正确不正确, ,如底面是一个等腰梯形时如底面是一个等腰梯形时结论就不成立结论就不成立. .选选B.B.考点二考点二 空间几何体的三视图空间几何体的三视图( (高频考点高频考点) )考查角度考查角度1:1:根据几何体的结构特征确认其三视图根据几何体的结构特征确认其三视图【例【例2 2】 ( (20162016贵州七校联考贵州七校联考) )如图所示如图所示, ,四面体四面体ABCDABCD的四个顶点是长方的四个顶点是长方体的四个顶点体的四个顶点( (长方体是虚拟图形长方体是虚拟图形, ,起辅助作用起辅助作用),),则四面体则四面体ABCDABCD的三视的三视图是图是( (用用代表图形代表图形)()() )(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)解析解析: :正视图应该是边长为正视图应该是边长为3 3和和4 4的矩形的矩形, ,其对角线左下到右上是实线其对角线左下到右上是实线, ,左上到右下是虚线左上到右下是虚线, ,因此正视图是因此正视图是; ;侧视图应该是边长为侧视图应该是边长为5 5和和4 4的矩形的矩形, ,其对角线左上到右下是实线其对角线左上到右下是实线, ,左下到右上是虚线左下到右上是虚线, ,因此侧视图是因此侧视图是; ;俯俯视图应该是边长为视图应该是边长为3 3和和5 5的矩形的矩形, ,其对角线左上到右下是实线其对角线左上到右下是实线, ,左下到右左下到右上是虚线上是虚线, ,因此俯视图是因此俯视图是. .选选B.B. 根据几何体确认三视图的方法根据几何体确认三视图的方法(1)(1)由实物图画三视图或判断选择三视图由实物图画三视图或判断选择三视图, ,按照按照“正侧一样高正侧一样高, ,正俯一正俯一样长样长, ,俯侧一样宽俯侧一样宽”的特点确认的特点确认. .(2)(2)对于简单组合体的三视图对于简单组合体的三视图, ,首先要确认正视、侧视、俯视的方向首先要确认正视、侧视、俯视的方向, ,其次要注意组合体由哪些几何体组成其次要注意组合体由哪些几何体组成, ,弄清它们的组成方式弄清它们的组成方式, ,特别应注特别应注意它们的交线的位置意它们的交线的位置, ,区分好实线和虚线的不同区分好实线和虚线的不同. .反思归纳反思归纳 考查角度考查角度2:2:根据三视图还原几何体的直观图根据三视图还原几何体的直观图高考扫描高考扫描: :20142014高考新课标全国高考新课标全国卷卷. .【例【例3 3】 ( (20142014全国全国卷卷) )如图如图, ,网格纸的各小格都是正方形网格纸的各小格都是正方形, ,粗实线画出粗实线画出的是一个几何体的三视图的是一个几何体的三视图, ,则这个几何体是则这个几何体是( () )(A)(A)三棱锥三棱锥(B)(B)三棱柱三棱柱(C)(C)四棱锥四棱锥(D)(D)四棱柱四棱柱解析解析: :由题三视图得直观图如图所示由题三视图得直观图如图所示, ,为三棱柱为三棱柱. .故选故选B.B. 根据三视图还原几何体的策略根据三视图还原几何体的策略(1)(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉对柱、锥、台、球的三视图要熟悉; ;(2)(2)明确三视图的形成原理明确三视图的形成原理, ,并能结合空间想象将三视图还原为直观图并能结合空间想象将三视图还原为直观图; ;(3)(3)遵循遵循“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的原则的原则. .反思归纳反思归纳 考查角度考查角度3:3:已知几何体的三视图中某两视图已知几何体的三视图中某两视图, ,确定另外一种视图确定另外一种视图【例【例4 4】 导学号导学号 18702302 18702302 如图如图, ,一个三棱柱的正视图和侧视图分别是一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形矩形和正三角形, ,则这个三棱柱的俯视图为则这个三棱柱的俯视图为( () )解析解析: :由正视图和侧视图可知由正视图和侧视图可知, ,这是一个水平放置的正三棱柱这是一个水平放置的正三棱柱. .故选故选D.D. 三视图问题的常见类型及解题策略三视图问题的常见类型及解题策略(1)(1)由几何体的直观图求三视图由几何体的直观图求三视图. .注意正视图、侧视图和俯视图的观察注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向方向, ,注意看到的部分用实线注意看到的部分用实线, ,不能看到的部分用虚线表示不能看到的部分用虚线表示. .(2)(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图由几何体的部分视图画出剩余的视图. .先根据已知的一部分视图先根据已知的一部分视图, ,还原、推测直观图的可能形式还原、推测直观图的可能形式, ,然后再找其剩下部分视图的可能形式然后再找其剩下部分视图的可能形式. .当然作为选择题当然作为选择题, ,也可将选项逐项代入也可将选项逐项代入, ,再看看给出的部分三视图是否再看看给出的部分三视图是否符合符合. .(3)(3)由几何体的三视图还原几何体的形状由几何体的三视图还原几何体的形状. .要熟悉柱、锥、台、球的三要熟悉柱、锥、台、球的三视图视图, ,明确三视图的形成原理明确三视图的形成原理, ,结合空间想象将三视图还原为实物图结合空间想象将三视图还原为实物图. .反思归纳反思归纳 考点三考点三 空间几何体的直观图空间几何体的直观图【例【例5 5】 导学号导学号 18702303 18702303 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形直观图为如图所示的一个正方形, ,则原来的图形是则原来的图形是( () ) 用斜二测画法画直观图的技巧用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与在原图形中与x x轴或轴或y y轴平行的线段在直观图中与轴平行的线段在直观图中与xx轴或轴或yy轴平行轴平行, ,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线, ,原图原图中的曲线段可以通过取一些关键点中的曲线段可以通过取一些关键点, ,作出在直观图中的相应点后作出在直观图中的相应点后, ,用平用平滑的曲线连接而画出滑的曲线连接而画出. .反思归纳反思归纳 备选例题备选例题【例【例1 1】 ( (20162016临沂模拟临沂模拟) )如图甲如图甲, ,将一个正三棱柱将一个正三棱柱ABCABC- -DEFDEF截去一个三棱截去一个三棱锥锥A A- -BCD,BCD,得到几何体得到几何体BCDEF,BCDEF,如图乙如图乙, ,则该几何体的正视图则该几何体的正视图( (主视图主视图) )是是( () )解析解析: :由于三棱柱为正三棱柱由于三棱柱为正三棱柱, ,故平面故平面ADEBADEB平面平面DEF,DEF,DEFDEF是等边三是等边三角形角形, ,所以所以CDCD在后侧面上的投影为在后侧面上的投影为ABAB的中点与的中点与D D的连线的连线,CD,CD的投影与底的投影与底面不垂直面不垂直, ,故选故选C.C. 【例【例2 2】 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体用若干块相同的小正方体搭成一个几何体, ,该几何体的三视图该几何体的三视图如图所示如图所示, ,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( () )(A)8(A)8(B)7(B)7(C)6(C)6(D)5(D)5 解析解析: :画出直观图画出直观图, ,共六块共六块. .选选C.C. 【例【例3 3】 某三棱锥的三视图如图所示某三棱锥的三视图如图所示, ,则该三棱锥最长棱的棱长为则该三棱锥最长棱的棱长为. 忽略三视图中的虚实线而致误忽略三视图中的虚实线而致误易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼 【典例】【典例】( (20142014湖北卷湖北卷) )在如图所示的空间直角坐标系在如图所示的空间直角坐标系O O- -xyzxyz中中, ,一个四一个四面体的顶点坐标分别是面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为给出编号为的四个图的四个图, ,则该四面体的正视图和俯视图分别为则该四面体的正视图和俯视图分别为( () )(A)(A)和和(B)(B)和和(C)(C)和和(D)(D)和和 解析解析: :在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-O-xyzxyz中作出棱长为中作出棱长为2 2的正方体的正方体, ,在该正方体中在该正方体中作出四面体作出四面体, ,如图所示如图所示, ,由图可知由图可知, ,该四面体的正视图为该四面体的正视图为, ,俯视图为俯视图为. .故选故选D.D.易错提醒易错提醒: :(1)(1)此题在解答时此题在解答时, ,很容易根据已知正视图是个直角三角形而选很容易根据已知正视图是个直角三角形而选择择A,A,忽略了从前往后看忽略了从前往后看, ,有一条棱看不到有一条棱看不到, ,正视图中应该是虚线正视图中应该是虚线. .(2)(2)俯视图是个钝角三角形俯视图是个钝角三角形, ,不能凭借感觉去选不能凭借感觉去选C,C,以为俯视图是直角三角以为俯视图是直角三角形而出现错误形而出现错误. .
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