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12.3几何概型基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习1.几何概型几何概型知识梳理2.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是 之比或 之比.向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1) ，则称这种模型为几何概型.体积长度3.借助 可以估计随机事件发生的概率.模拟方法判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()思考辨析思考辨析(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.() 考点自测1.(教材改编)在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为答案解析坐标小于1的区间为0,1，长度为1，0,3区间长度为3， 121()2logx 2.(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1 1”发生的概率为答案解析121()2logx 由几何概型的概率计算公式得所求概率 3.(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是答案解析P(A)P(C)P(D)P(B).答案解析如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_.答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，题型分类题型分类深度剖析深度剖析 题型一与长度、角度有关的几何概型题型一与长度、角度有关的几何概型例例1(1)(2016全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为答案解析答案解析解答因为B60，C45，所以BAC75.引申引申探究探究 解答2.本例(3)中，若将“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM1的概率. 解答求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华 跟踪训练跟踪训练1(1)(2016全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是答案解析如图所示，画出时间轴.答案解析 命题点命题点1与平面图形面积有关的问题与平面图形面积有关的问题例例2(2016全国甲卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 答案 解析题型二与面积有关的几何概型题型二与面积有关的几何概型由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，命题点命题点2与线性规划知识交汇命题的问题与线性规划知识交汇命题的问题 答案 解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，命题点命题点3与定积分交汇命题的问题与定积分交汇命题的问题例例4 (2015福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_. 答案 解析求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.思维升华 跟踪训练跟踪训练2(1)(2016昌平模拟)设不等式组 表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是答案解析作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域.当点在AEF区域内时，点到直线y20的距离大于2.(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_.答案解析 题型三与体积有关的几何概型题型三与体积有关的几何概型例例5(1)(2016贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为答案解析 当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，答案解析求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求.思维升华跟踪训练跟踪训练3(2016哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于 的概率是_.答案解析 几何概型中的“测度”现场纠错系列现场纠错系列16(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.典例典例(1)在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_.错解展示 现场纠错 纠错心得解析解析(1)因为C90，CAM30，答案答案 返回解析解析(1)因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“测度”是长度.设直角边长为a，(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0 x1，且0y1.答案答案 返回课时作业课时作业1.(2016佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为A.16.32 B.15.32C.8.68 D.7.68答案解析12345678910111213故S16.32.12345678910111213 答案 解析以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，123456789101112131234567891011121312345678910111213答案解析4.已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为 答案 解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形，123456789101112135.(2017武昌质检)如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)sin x和余弦曲线g(x)cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 答案 解析12345678910111213123456789101112136.欧阳修的卖油翁中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好答案解析12345678910111213落入孔中的概率是_.7.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率12345678910111213为_.答案解析如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分， 答案 解析12345678910111213 答案 解析半圆区域如图所示.设A表示事件1234567891011121310.(2017大连质检)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_. 答案 解析1234567891011121311.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足ab1的概率； 解答将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，12345678910111213(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率. 解答12345678910111213若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6，满足ab0的基本事件的结果为画出图形如图，12345678910111213A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.12345678910111213 解答要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，12345678910111213依条件可知事件的全部结果所构成的区域为12345678910111213*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 解答12345678910111213设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部.12345678910111213
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