高考数学难点突破专题辅导13 数列的通项与求和

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2009年高考数学难点突破专题辅导十三难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列Sn的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法.难点磁场()设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列an的前3项.(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=(nN*),求 (b1+b2+b3+bnn).案例探究例1已知数列an是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列,若函数f(x)=(x1)2,且a1=f(d1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q1),(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设数列cn的前n项和为Sn,对一切nN*,都有=an+1成立,求.命题意图:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限,以及运算能力和综合分析问题的能力.属级题目.知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和,实质上是该数列前n项和与数列an的关系,借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.错解分析:本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法:本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生蛋”构造新数列dn,运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣.解:(1)a1=f(d1)=(d2)2,a3=f(d+1)=d2,a3a1=d2(d2)2=2d,d=2,an=a1+(n1)d=2(n1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q1)=(q2)2,=q2,由qR,且q1,得q=2,bn=bqn1=4(2)n1(2)令=dn,则d1+d2+dn=an+1,(nN*),dn=an+1an=2,=2,即cn=2bn=8(2)n1;Sn=1(2)n.例2设An为数列an的前n项和,An= (an1),数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式;(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列dn的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列dn的第n项是数列bn中的第r项,Br为数列bn的前r项的和;Dn为数列dn的前n项和,Tn=BrDn,求.命题意图:本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系;集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.知识依托:利用项与和的关系求an是本题的先决;(2)问中探寻an与bn的相通之处,须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析:待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行;注意不到r与n的关系,使Tn中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清.技巧与方法:(1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为41,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.解:(1)由An=(an1),可知An+1=(an+11),an+1an= (an+1an),即=3,而a1=A1= (a11),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4n+3,32n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1),32nbn,而数列an=a2n+1a2n,dn=32n+1.(3)由32n+1=4r+3,可知r=,Br=,锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.2.数列an前n项和Sn与通项an的关系式:an=3.求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.累差叠加法.最基本形式是:an=(anan1+(an1+an2)+(a2a1)+a1.归纳、猜想法.4.数列前n项和常用求法重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:错项相消法并项求和法数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法.歼灭难点训练一、填空题1.()设zn=()n,(nN*),记Sn=z2z1+z3z2+zn+1zn,则Sn=_.2.()作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_.二、解答题3.()数列an满足a1=2,对于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0,又知数列bn的通项为bn=2n1+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn;(2)求数列bn的前n项和Tn;(3)猜想Sn与Tn的大小关系,并说明理由.4.()数列an中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)设bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m,使得对任意nN*均有Tn成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.5.()设数列an的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)man.对任意正整数n都成立,其中m为常数,且m1.(1)求证:an是等比数列;(2)设数列an的公比q=f(m),数列bn满足:b1=a1,bn=f(bn1)(n2,nN*).试问当m为何值时,成立?6.()已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.7.()设数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求证:数列an是等比数列;(2)设数列an的公比为f(t),作数列bn,使b1=1,bn=f()(n=2,3,4),求数列bn的通项bn;(3)求和:b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1.参考答案难点磁场解析:(1)由题意,当n=1时,有,S1=a1,解得a1=2.当n=2时,有,S2=a1+a2,将a1=2代入,整理得(a22)2=16,由a20,解得a2=6.当n=3时,有,S3=a1+a2+a3,将a1=2,a2=6代入,整理得(a32)2=64,由a30,解得a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(2)解法一:由(1)猜想数列an.有通项公式an=4n2.下面用数学归纳法证明an的通项公式是an=4n2,(nN*).当n=1时,因为412=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.假设当n=k时,结论成立,即有ak=4k2,由题意,有,将ak=4k2.代入上式,解得2k=,得Sk=2k2,由题意,有,Sk+1=Sk+ak+1,将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2),整理得ak+124ak+1+416k2=0,由ak+10,解得ak+1=2+4k,所以ak+1=2+4k=4(k+1)2,即当n=k+1时,上述结论成立.根据,上述结论对所有的自然数nN*成立.解法二:由题意知,(nN*).整理得,Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2,an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2.整理得(an+1+an)(an+1an4)=0,由题意知an+1+an0,an+1an=4,即数列an为等差数列,其中a1=2,公差d=4.an=a1+(n1)d=2+4(n1),即通项公式为an=4n2.解法三:由已知得,(nN*),所以有,由式得,整理得Sn+12+2Sn=0,解得,由于数列an为正项数列,而,因而,即Sn是以为首项,以为公差的等差数列.所以=+(n1)=n,Sn=2n2,故an=即an=4n2(nN*).(3)令cn=bn1,则cn=歼灭难点训练一、答案:1+2.解析:由题意所有正三角形的边长构成等比数列an,可得an=,正三角形的内切圆构成等比数列rn,可得rn=a,这些圆的周长之和c=2(r1+r2+rn)= a2,面积之和S=(n2+r22+rn2)=a2答案:周长之和a,面积之和a2二、3.解:(1)可解得,从而an=2n,有Sn=n2+n,(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21,验证可知,n=1时,T1=S1,n=2时T2S2;n=3时,T3S3;n=4时,T4S4;n=5时,T5S5;n=6时T6S6.猜想当n5时,TnSn,即2nn2+1可用数学归纳法证明(略).4.解:(1)由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差数列,d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5,当n5时,Sn=n2+9n,当n5时,Sn=n29n+40,故Sn=(3)bn=;要使Tn总成立,需T1=成立,即m8且mZ,故适合条件的m的最大值为7.5.解:(1)由已知Sn+1=(m+1)man+1,Sn=(m+1)man,由,得an+1=manman+1,即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立.m为常数,且m1,即为等比数列.(2)当n=1时,a1=m+1ma1,a1=1,从而b1=.由(1)知q=f(m)=,bn=f(bn1)= (nN*,且n2),即,为等差数列.=3+(n1)=n+2,(nN*).6.解:(1)设数列bn的公差为d,由题意得:解得b1=1,d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+),logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)(1+)与的大小,取n=1时,有(1+1)取n=2时,有(1+1)(1+)由此推测(1+1)(1+)(1+)若式成立,则由对数函数性质可判定:当a1时,Snlogabn+1,当0a1时,Snlogabn+1,下面用数学归纳法证明式.()当n=1时,已验证式成立.()假设当n=k时(k1),式成立,即:.那么当n=k+1时,这就是说式当n=k+1时也成立.由()()可知式对任何正整数n都成立.由此证得:当a1时,Snlogabn+1;当0a1时,Snlogabn+1.7.解:(1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)(2t+3)=3t.a2=.又3tSn(2t+3)Sn1=3t,3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0.,n=2,3,4,所以an是一个首项为1公比为的等比数列;(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1.可见bn是一个首项为1,公差为的等差数列.于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首项分别为1和,公差均为的等差数列,于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n)内容总结(1)2009年高考数学难点突破专题辅导十三难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列Sn的通项(2)+n=n(n+1)12+22+(3)+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+
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