高考数学一轮复习总教案103 空间点线面之间的位置关系

10.3 空间点、线、面之间的位置关系典例精析题型一证明三线共点【例1】 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且2.求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P.【证明】因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EFBD，且EFBD.又因为2，所以GHBD，且GHBD，所以EFGH且EFGH，所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点P，因为EG平面ABC，FH平面ACD，所以P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，所以PAC，故直线EG、FH、AC相交于同一点P.【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.【变式训练1】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线.【证明】M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.题型二空间直线的位置关系【例2】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FGA1B1.【证明】因为E为CD的中点，在正方体中AE平面ABCD，又AEBCF，所以FAE，所以F平面ABCD，同理G平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为ECAB，故在RtFBA中，CFBC，同理DGAD，所以在正方体中CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FGCD，又CDAB，ABA1B1，所以直线FGA1B1.【点拨】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有理有据.【变式训练2】已知AC的长为定值，点D平面ABC，点M、N分别是DAB和DBC的重心.求证：无论B、D如何变换位置，线段MN的长必为定值.【解析】如图，延长DM交AB于F，延长DN交BC于E.因为M、N为重心，所以F、E分别为AB、BC的中点，所以EFAC且EFAC.又在DEF中，DMMFDNNE21，所以MNEF且MNEF，所以MNAC且MNAC，即MN为与B、D无关的定值.题型三异面直线所成的角【例3】 在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC且ADBC，对角线BD，AC，求AC和BD所成的角.【解析】作平行线，找出与异面直线所成的角相等的平面角，将空间问题转化为平面问题.如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理，GH，HF，GHAD，HFBC.又ADBC，所以GHF90，所以GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，所以GEF90，即AC和BD所成的角为90.【点拨】立体几何中，计算问题的一般步骤：(1)作图；(2)证明；(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.【变式训练3】线段AB的两端在直二面角CD的两个面内，并与这两个面都成30角，求异面直线AB与CD所成的角.【解析】在平面内作AECD，因为CD是直二面角，由面面垂直的性质定理，所以AE，所以ABE是AB与平面所成的角.所以ABE30，所以AEAB，同理作BFCD，则易得BFAB.在平面内作BGEF，则四边形BGEF是矩形，即BGGE.又因为AE，BG，所以AEBG.所以BG平面AEG，所以BGAG.因为BGEF，所以BGCD，所以ABG是异面直线AB与CD所成的角.又因为在RtAEG中，AGAB，所以在RtABG中，sinABG，所以ABG45.总结提高本节内容主要以四个公理为依托，导出异面直线，等角定理，线线、线面、面面关系.可见，解决此类问题要以公理为标准，以眼前的点、线、面的实际物体为参考，培养空间想象能力，重点是点共线、线共面、异面直线、等角定理应用.内容总结