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第第7课函数的奇偶性课函数的奇偶性课 前 热 身 【解析】由题知定义域x|xR，且x0，x1关于原点对称，且f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数激活思维奇 2. (必修1P94习题28改编)若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_. 【解析】f(2)f(2)1.1 3. (必修1P55习题8改编)若函数f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_. 【解析】因为函数f(x)(xa)(x4)为偶函数，所以f(x)f(x)，由f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，得x2(a4)x4ax2(a4)x4a，即a40，a4.4 4.(必修1P43习题4改编)已知函数f(x)4x2bx3ab是偶函数，其定义域为a6,2a，那么点(a，b)的坐标为_(2,0) 5. (必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(1)2，则不等式f(lg x)2的解集为_ 1.奇、偶函数的定义 对于函数f(x)定义域内的_一个x，都有 _(或_，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 _(或_，则称f(x)为偶函数知识梳理任意f(x)f(x)f(x)f(x)0)f(x)f(x)f(x)f(x)0) 2.奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数，其定义域关于_对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称) (2)奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称 (3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)_. (4)定义在(，)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和原点原点原点y轴0课 堂 导 学判断下列各函数的奇偶性：函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定例例 1 【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域对称的情况下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f(x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断 【解答】(1) 定义域是x|x1，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数 (2) 定义域是1,1，f(x)0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数 (3) 定义域是R，f(x)|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，所以f(x)是奇函数 (4) 当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)； 当x0时，x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x) 综上所述，对任意的x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1) 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称 (2) 确定f(x)与f(x)的关系 (3) 作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数判断下列各函数的奇偶性：变式变式1 【解答】当x0， 则f(x)(x)2x(x2x)f(x)； 当x0时，x0时，f(x)2xx2，则f(1)f(0)f(3)_. 【解析】由题意知，f(0)0，f(1)f(1)，又因为当x0时，f(x)2xx2，所以f(1)f(0)f(3)f(1)0f(3)211223322.2 4. (2016苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)log2(2x)(a1)xb(a，b为常数)若f(2)1，则f(6)的值为_ 【解析】由题意得f(0)0，解得log22b0，所以b1，f(x)log2(2x)(a1)x1.又因为f(2)1，则log2(22)2(a1)11，解得a0，f(x)log2(2x)x1，所以f(6)f(6)log2(26)614.4 5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上为增函数，若f(1a)f(2a)0，求实数a的取值范围 【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上为增函数， 所以f(x)在R上为增函数 又f(1a)f(2a)0， 所以f(1a)f(2a)f(2a)， 微探究2函数奇偶性与单调性的综合应用 问题提出 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性那么，求解此类问题的解题模板是怎样的呢？ 【思维导图】 【规范解答】(1) 函数f(x)为R上的减函数理由如下： 由题知f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.又因为f(x)是R上的单调函数， 由f(3)2，f(0)f(3)，知f(x)为R上的减函数 【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集 总结归纳 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，在研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得 题组强化 1. 已知奇函数f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式f(x3)f(x23)0，那么x的取值范围为_(第2题) 2,0)(0,2 (0,1)(3，)
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