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第二篇思想方法精析第一讲函数与方程思想 【思想解读【思想解读】1.1.函数的思想函数的思想: :是通过建立函数关系或构造函数是通过建立函数关系或构造函数, ,运用运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题函数的图象和性质去分析问题、转化问题, ,从而使问题从而使问题得到解决的思想得到解决的思想. .2.2.方程的思想方程的思想: :是建立方程或方程组是建立方程或方程组, ,或构造方程或构造方程, ,通过通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析、转化问题解方程或方程组或运用方程的性质去分析、转化问题, ,使问题获得解决的思想使问题获得解决的思想. .热点热点1 1解决图象交点或方程根的问题解决图象交点或方程根的问题【典例【典例1 1】(2016(2016忻州一模忻州一模) )设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的偶上的偶函数，对任意函数，对任意xRxR，都有，都有f(x-2)=f(x+2)f(x-2)=f(x+2)且当且当x-2x-2，00时，时，f(xf(x)= -1)= -1，若在区间，若在区间(-2(-2，66内关于内关于x x的方程的方程f(x)-logf(x)-loga a(x+2)=0(a1)(x+2)=0(a1)恰有恰有3 3个不同的实数根，则个不同的实数根，则a a的的取值范围是取值范围是( () )x1( )233A (2 1) B ( 4 2) C.(2) D.( 4 4) ， ，【解析【解析】选选B.B.因为对于任意的因为对于任意的xRxR，都有，都有f(x-2)=f(x+2)f(x-2)=f(x+2)，所以函数所以函数f(xf(x) )是一个周期函数，且是一个周期函数，且T=4.T=4.又当又当x-2x-2，00时，时，f(xf(x)= -1)= -1，且函数，且函数f(xf(x) )是定义是定义在在R R上的偶函数，上的偶函数，若在区间若在区间(-2(-2，66内关于内关于x x的方程的方程f(x)-logf(x)-loga a(x+2)=0(a1)(x+2)=0(a1)恰有恰有3 3个不同的实数根，个不同的实数根， x1( )2则函数则函数y=f(xy=f(x) )与与y=logy=loga a(x+2)(x+2)在区间在区间(-2(-2，66上有上有3 3个个不同的交点，如图所示，不同的交点，如图所示，又又f(-2)=f(2)=3f(-2)=f(2)=3，因此，对于函数，因此，对于函数y=logy=loga a(x+2)(x+2)，由题意可得，当由题意可得，当x=2x=2时的函数值小于时的函数值小于3 3，当当x=6x=6时的函数值大于时的函数值大于3 3，即即logloga a434383，解得，解得 a2.a0),)= +1(t0),则则g(tg(t)= )= 令令g(tg(t)=0,)=0,得得t=1,t=1,当当t(0,1)t(0,1)时时,g(t,g(t)0;)0,)0,所以所以g(t)g(t)minmin=g(1)= ,=g(1)= ,tln t2211t122t2t，32所以所以|AB| ,|AB| ,所以所以|AB|AB|的最小值为的最小值为 . .3232【规律方法【规律方法】求最值或参数范围的技巧求最值或参数范围的技巧(1)(1)充分挖掘题设条件中的不等关系充分挖掘题设条件中的不等关系, ,构建以待求字母构建以待求字母为元的不等式为元的不等式( (组组) )求解求解. .(2)(2)充分应用题设中的等量关系充分应用题设中的等量关系, ,将待求参数表示成其将待求参数表示成其他变量的函数他变量的函数, ,然后应用函数知识求解然后应用函数知识求解. .(3)(3)当问题中出现两数积与这两数和时当问题中出现两数积与这两数和时, ,是构建一元二是构建一元二次方程的明显信息次方程的明显信息, ,构造方程再利用方程知识使问题巧构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决妙解决. .(4)(4)当问题中出现多个变量时当问题中出现多个变量时, ,往往要利用等量关系去往往要利用等量关系去减少变量的个数减少变量的个数. .【变式训练【变式训练】1.(20161.(2016赤峰一模赤峰一模) )如图如图,A,A是单位圆与是单位圆与x x轴的交点轴的交点, ,点点P P在单位圆上在单位圆上,AOP=(0), ,AOP=(0), 四边四边形形OAQPOAQP的面积为的面积为S,S,当当 +S+S取得最大值时取得最大值时的值的值为为( () )OQOAOP ，OA OP A. B. C. D.6432【解析【解析】选选B.B.由由 知四边形知四边形OAQPOAQP为平行四边为平行四边形形, ,故故 所以所以= = 时时, ,有最大值有最大值 . .OQOAOP, OA OPSOA OP cosOA OP sin cossin2sin()4，422.(20162.(2016西宁一模西宁一模) )已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为 , ,则正则正四棱锥的侧棱长的最小值为四棱锥的侧棱长的最小值为( () )A.2 A.2 B.2B.2 C.2 C.2 D.4D.432323【解析【解析】选选A.A.如图所示如图所示, ,设正四棱锥的底面边长为设正四棱锥的底面边长为a,a,高为高为h.h.则该正四棱锥的体积则该正四棱锥的体积V=V=故故a a2 2h=32,h=32,即即a a2 2= .= .则其侧棱长为则其侧棱长为l= = 令令f(hf(h)= )= 2132a h33，32h2222a16()hh .2h216hh ，则则f(hf(h)= )= 令令f(hf(h)=0,)=0,解得解得h=2.h=2.显然当显然当h(0,2)h(0,2)时时,f(h,f(h)0,f(h)0,f(h)0,f(h)单调递增单调递增. .所以当所以当h=2h=2时时,f(h,f(h) )取得最小值取得最小值f(2)= +2f(2)= +22 2=12,=12,故其侧棱长的最小值故其侧棱长的最小值l = = 322162h162hhh，16212 2 3.热点热点3 3解决与不等式有关的问题解决与不等式有关的问题【典例【典例3 3】(2016(2016保定一模保定一模) )已知函数已知函数f(x)=lnxf(x)=lnx -1-1，g(xg(x)=-x)=-x2 2+2bx-4+2bx-4，若对任意，若对任意x x1 1(0(0，2)2)，x x2 211，22，不等式，不等式f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )恒成立，则实数恒成立，则实数b b的取值范围的取值范围为为_._.13x44x【解析【解析】问题等价于问题等价于f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax. .f(x)=lnxf(x)=lnx -1 -1，所以所以f(xf(x)= )= 令令f(xf(x)0)0得得x x2 2-4x+30-4x+30，解得，解得1x31x3，故函数故函数f(xf(x) )的单调递增区间是的单调递增区间是(1(1，3)3)，单调递减区间是单调递减区间是(0(0，1)1)和和(3(3，+)+)，13x44x2221134xx3x44x4x ，故在区间故在区间(0(0，2)2)上，上，x=1x=1是函数的极小值点，这个极小是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，值点是唯一的，故也是最小值点，所以所以f(x)f(x)minmin=f(1)=- .=f(1)=- .由于函数由于函数g(xg(x)=-x)=-x2 2+2bx-4+2bx-4，x1x1，2.2.当当b1b2b2时，时，g(x)g(x)maxmax=g(2)=4b-8.=g(2)=4b-8.12故问题等价于故问题等价于解得解得b1b0),f(x-a)4x(a0)恒成立恒成立, ,则实数则实数t t的最大值是的最大值是( () )A.4A.4B.7B.7C.8C.8D.9D.9【解析【解析】选选D.D.由图可知由图可知, ,当函数当函数y=f(xy=f(x-a)-a)的图象经过点的图象经过点(1,4)(1,4)时时, ,有有x1,t,f(x-a)4x(a0)x1,t,f(x-a)4x(a0)恒成立恒成立, ,此时此时t t取得最大值取得最大值, ,由由(1-a)(1-a)2 2+4(1-a)+4=4,+4(1-a)+4=4,得得a=5a=5或或a=1(a=1(舍舍),),所以所以4t=(t-5+2)4t=(t-5+2)2 2, ,所以所以t=1(t=1(舍舍) )或或t=9,t=9,故故t=9.t=9.2.(20162.(2016太原二模太原二模)f(x)f(x)=ax)=ax3 3-3x+1-3x+1对于对于x-1,1x-1,1总总有有f(x)0f(x)0成立成立, ,则则a=_.a=_.【解析【解析】若若x=0,x=0,则不论则不论a a取何值取何值, ,f(x)0f(x)0显然成立显然成立; ;当当x0 x0即即x(0,1x(0,1时时, ,f(xf(x)=ax)=ax3 3-3x+10-3x+10可化为可化为a a 设设g(xg(x)= )= 则则g(xg(x)= )= 所以所以g(xg(x) )在区间在区间 上单调递增上单调递增, ,在区间在区间 上单调上单调递减递减, ,因此因此g(x)g(x)maxmax=g =4,=g =4,从而从而a4;a4;当当x0 x0即即x-1,0)x-1,0)时时, ,2331.xx2331,xx43 1 2xx，1(0,21,121( )2f(xf(x)=ax)=ax3 3-3x+10-3x+10可化为可化为a a g(xg(x)= )= 在区间在区间-1,0)-1,0)上单调递增上单调递增, ,因此因此g(x)g(x)minmin=g(-1)=4,=g(-1)=4,从而从而a4,a4,综上综上a=4.a=4.答案答案: :4 42331,xx2331xx
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