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目 录 Contents考情精解读考点1A.知识全通关B.题型全突破考法1考法2考法3C.能力大提升易混易错考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 数学 第一讲 两个基本计数原理考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势 数学 第一讲 两个基本计数原理考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域两个基本计数原理【20%】全国,5,5分2015四川,6,5分2014浙江,14,4分考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测两个基本计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点,主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.题型以选择题、填空题为主,分值为5分.2.趋势分析计数原理与概率的综合是高考的趋势,应引起重视.命题趋势 数学 第一讲 两个基本计数原理知识全通关知识全通关1考点1两个基本计数原理继续学习 数学 第一讲 两个基本计数原理1.分类加法计数原理的概念完成一件事可以有n类方案,各类方案相互独立,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.假如完成一件事有A,B两类方案,集合A与集合B的交集为空集,在A中有m1个元素(即m1种方法),在B中有m2个元素(即m2种方法),则完成这件事的不同方法数即集合AB的元素的个数: card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=m1+m2-0=m1+m2.知识全通关2 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习2.分步乘法计数原理的概念分步乘法计数原理的概念完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共N=m1m2mn种不同的方法.设完成一件事的方法的集合是U,且card(U)=N.如果完成这件事需要分成A,B两个步骤,即U=AB=(a,b)|aA,bB.记card(A)=m,card(B)=n,那么,N=card(U)=card(AB)=card(A)card(B)=mn.返回目录 数学 第一讲 两个基本计数原理题型全突破3【辨析比较】两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类方法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,只有各个步骤都完成了才能完成这件事区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏题型全突破考法1分类加法计数原理的应用继续学习 数学 第一讲 两个基本计数原理题型全突破1考法指导能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点:(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.【思路分析】明确所完成的一件事情是“抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆车”每个车队抽调1辆车后,还需抽调3辆车利用分类加法计数原理求解 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破2考法示例1某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有多少种不同的抽调方法? 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破3【解析】在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分成三类:第一类,从某1个车队抽调3辆,有 种抽调方法;第二类,从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有 种抽调方法;第三类,从3个车队中各抽调1辆,有 种抽调方法.故共有 抽调方法17C27A37C12377784()CAC种 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破4【突破攻略】分类时,首先,要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理. 数学 第一讲 两个基本计数原理考法2 分步乘法计数原理的应用继续学习题型全突破5考法指导能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点:(1)完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;(2)完成每一步有若干种方法;(3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.分布必须满足两个条件：一是步骤相互独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破6考法示例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(六名同学不一定都能参加)(1)每人只参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限. 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破7【解析】(1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种). (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有654=120(种). (3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).【点评】一类元素允许重复选取的计数问题,可以采用分步乘法计数原理来解决,关键是明确要完成的一件事是什么.也就是说,用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据. 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破8考法3 两个基本计数原理的综合应用考法指导 完成一件事的方法种数的计算步骤:第一步,由于计数问题一般是解决实际问题,故要先审清题意,弄清要完成的事件是怎样的;第二步,分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中的哪一种;第三步,弄清在每一类或每一步中的方法种数;第四步,根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数. 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破9考法示例3用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)【思路分析】按首位数字的奇偶性分类在每一类中利用分步乘法计数原理计数利用分类加法计数原理计数 数学 第一讲 两个基本计数原理继续学习题型全突破9【解析】要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中四个数字不重复,因此应先分类,再分步.第1类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,有3454=240(种)取法.第2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,有3354=180(种)取法.根据分类加法计数原理,共可以组成240+180=420(个)无重复数字的四位偶数.返回目录 数学 第一讲 两个基本计数原理题型全突破10【点评】本题需注意两点:一是因为0的特殊性,所以最高位数字不能为0;二是组成的数不允许数字重复出现,这会影响数字的选择.处理有关数字的问题时,我们还会遇到一些倍数问题,这时可以利用数字的个位数字或各位数字之和来处理.【突破攻略】 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”,步步相连能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.能力大提升对两个基本计数原理认识不清致误继续学习 数学 第一讲 两个基本计数原理能力大提升1示例4(1)把3封信投到4个信箱,则不同的投法共有 A.24种 B.4种C.43种D.34种(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3趟,则此人的走法可有种. 【易错分析】对于(1),误认为每个信箱有三种选择,所以不同的投法有34种,没有注意到一封信只能投在一个信箱中;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地先乘火车后坐轮船,而使用分步乘法计数原理计算继续学习 数学 第一讲 两个基本计数原理能力大提升2【解析解析】(1)第1封信投到信箱有4种投法,第2封信投到信箱有4种投法,第3封信投到信箱也有4种投法.只要把这3封信投完,就完成了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种投法,故选C.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,得此人的走法可有4+3=7(种).故填7.返回目录 数学 第一讲 两个基本计数原理能力大提升3【温馨提示】在处理具体的应用问题时,必须先弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理问题,可以避免计数的重复或遗漏.
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