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4. 数列、不等式第四篇回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点栏目索引要点回扣1 1易错警示2 2 查缺补漏3 3 要点回扣1.等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an1and(d为常数)或an1ananan1 (n2).(2)等差数列的性质若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0、0、0三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况.在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合.问题5解关于x的不等式ax2(a1)x10).当a1时，不等式的解集为 .解析答案6.处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法.(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零.(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来.(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形.问题6如果kx22kx(k2)0恒成立，则实数k的取值范围是()A.1k0 B.1k0C.1k0 D.1k0解析解析当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立，所以k0符合题意.当k0时，由题意得，解得1k0.所以1k0.解析7.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑.(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元.(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值.解析所以log4(3a4b)log4(ab)，8.解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象).(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离.(3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值.利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题：(1)截距型：如求zyx的取值范围.(2)条件含参数型：(4)距离型(圆半径平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范围.A.3 B.2C.2 D.3解析返回解析解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，所以2a04，此时a2.返回易错点1忽视等比数列中q的范围例1设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q_. 易错警示解析易错分析答案1或1解析解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立.当q1时，由S3S6S9，q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.易错点2忽视分类讨论易错分析易错分析要去掉|an|的绝对值符号，要考虑an的符号，对n不讨论或讨论不当容易导致错误.解析答案易错分析例2若等差数列an的首项a121，公差d4，求：Sn|a1|a2|a3|an|.解解an214(n1)254n.当n6时，Sk|a1|a2|an|a1a2an2n223n；当n7时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.易错点3已知Sn求an时忽略n1例3数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)，求数列an的通项an.易错分析易错分析anSnSn1成立的条件是n2，若忽略对n1时的验证则出错.易错分析解析答案解解因为an12Sn，因为S1a11，所以数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn3n1 (nN*).所以当n2时，an2Sn123n2(n2)，易错点4数列最值问题忽略n的限制易错分析解析易错分析易错分析求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误.当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.易错点5裂项法求和搞错剩余项易错分析易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误.一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.易错分析解析易错点6线性规划问题最优解判断错误易错分析易错分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看参数a的符号.忽视参数的符号变化，易导致最值错误.易错分析例6P(x，y)满足|x|y|1，求axy的最大值及最小值.解析答案解解当a1时，直线yaxt分别过点(1,0)与(1,0)时，axy取得最大值与最小值，其值分别为a，a.易错点7运用基本不等式忽视条件返回解析易错分析答案易错分析易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域.返回1.等差数列an中，a3a4a512，那么an的前7项和S7等于()A.22 B.24C.26 D.28 查缺补漏解析解析由已知得a44，S77a428.解析2.在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am (m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为()A.4 B.5 C.6 D.7解析解析因为an是正项等比数列，解析所以22m151229，m5.3.数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A.3 690 B.3 660C.1 845 D.1 830解析解析当n2k时，a2k1a2k4k1；当n2k1时，a2ka2k14k3.所以a2k1a2k12，所以a2k1a2k32，所以a2k1a2k3，所以a1a5a61.所以a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)解析A.83 B.82 C.81 D.80Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然数n的值为81.解析解析令y0，得xx1x2，解析7.若关于x的不等式x2mx40在区间1,4上有解，则实数m的最小值是_.3解析答案解析解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.直线ykx1显然经过定点M(0，1)，由图形直接观察知，当直线ykx1经过直线yx1和直线xy3的交点C(1,2)时，k最小，解析答案3，)故n的最大值为19.19解析答案解析答案解析答案当1k2时，解集为x1，k(2，)；当k2时，解集为x1,2)(2，)；当k2时，解集为x1,2)k，).解析答案12.已知数列an与bn满足an1an2(bn1bn)(nN*).(1)若a11，bn3n5，求数列an的通项公式；解析答案解解an1an2(bn1bn)，bn3n5，an1an6，an是等差数列.an的首项为a11，公差为6，an6n5.(2)若a16，bn2n (nN*)且an2nn2对一切nN*恒成立，求实数的取值范围.解析答案返回解解bn2n，an1an2(2n12n)2n1.当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12.当n1时，a16，符合上式，an2n12.解析答案返回
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