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第一部分教材梳理第第2节图形的相似节图形的相似第六章图形与变换、坐标第六章图形与变换、坐标知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1. 比例的有关概念和性质比例的有关概念和性质（1）线段的比：两条线段的长度之比叫做两条线段的比.（2）比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫做成比例线段成比例线段，简称比例线段.（4）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例成比例.推论：平行平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例成比例.（5）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），使得AC2ABBC，则点C叫做线段AB的黄金分割点黄金分割点，其中2. 相似图形相似图形（1）定义：形状形状相同的图形叫做相似图形.（2）性质相似图形的形状必须完全相同完全相同.相似图形的大小不一定相同不一定相同.两个物体形状相同、大小相同时它们是全等全等的，全等是相似的一种特殊情况.3. 相似多边形相似多边形（1）定义：如果两个多边形的对应角相等相等，对应边成比例成比例，则这两个多边形是相似多边形.（2）相似多边形对应边的比叫做相似比相似比.（3）相似比为1的相似多边形是全等形全等形.（4）性质：对应角相等相等；对应边成比例成比例；周长比等于相似比相似比，面积比等于相似比的平方相似比的平方.4. 相似三角形相似三角形（1）定义：如果两个三角形的对应边成比例成比例，对应角相等相等，那么这两个三角形相似相似.（2）相似三角形的判定基本定理：平行平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1：三边成比例三边成比例的两个三角形相似.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：两角分别相等两角分别相等的两个三角形相似.（3）相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相等，对应边成比例成比例.相似三角形的周长的比等于相似比相似比.相似三角形的对应线段（对应中线中线、对应角平分线角平分线、对应高高）的比都等于相似比相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方相似比的平方.5. 图形的位似图形的位似（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形相似图形，而且对应顶点的连线相交相交于一点，对应边互相平行平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似中心.注意：两个图形必须是相似形相似形；对应点的连线都经过同经过同一点一点；对应边平行平行.（2）位似图形与坐标:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k k或或- -k k.主要公式主要公式 如图1-6-2-1，在RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则满足ABCDBADAC，则有：AB2=BDBC；AD2=BDDC；AC2=CDBC. 方法规律方法规律 判定三角形相似的几种思路方法判定三角形相似的几种思路方法（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图1-6-2-2）和“X”型（如图1-6-2-2），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点考点1比例的有关概念和性质比例的有关概念和性质考点精讲考点精讲【例【例1 1】如图1-6-2-3，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F. 已知 则 的值为（）考题再现考题再现1. （2016兰州）如图1-6-2-4，在ABC中，DEBC，（）C2. （2016杭州）如图1-6-2-5，已知直线abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若（）B考点演练考点演练3. 的值为（）4. 已知点C是AB的黄金分割点（ACBC），若AB=4 cm，则AC的长为（）DA5. 如图1-6-2-6，ADBECF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， DE=6，则EF=_.9考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握比例、平行线分线段成比例、黄金分割等的概念及性质（相关要点详见“知识梳理”部分）.考点考点2相似多边形和相似比相似多边形和相似比考点精讲考点精讲【例【例2 2】两个相似多边形的面积比是916，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为（）A. 48 cm B. 54 cmC. 56 cm D. 64 cm思路点拨：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可. 答案：A考题再现考题再现1. （2014佛山）若两个相似多边形的面积之比为14，则它们的周长之比为（）A. 14 B. 12C. 21D. 41B考点演练考点演练2. 如图1-6-2-7，梯形ABCD中，ADBC，E，F两点分别在AB，DC上. 若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为 （）A. 12B. 23C. 25 D. 49D考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握相似多边形的概念和性质.注意以下要点：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例（即相似比）；（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.考点考点3相似三角形的性质相似三角形的性质考点精讲考点精讲【例【例3 3】（2015佛山）如图1-6-2-8所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是AD上的点，且AE=EF=FD. 连接BE，BF，使它们分别与AO相交于点G，H.（1）求EGBG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求abc的值.思路点拨：（1）根据平行四边形的性质可得AO= AC，AD=BC，ADBC，从而可得AEGCBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EGBG的值；（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO= AC=2AG，即可得到GO=AO-AG=AG；（3）根据相似三角形的性质可得AG= AO，AH= AC，结合AO= AC，即可得到a= AC，b= AC，c= AC，从而可得到abc的值.解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AO= AC，AD=BC，ADBC.AEGCBG.AE=EF=FD，BC=AD=3AE.GC=3AG，GB=3EG.EGBG=13.（2）GC=3AG，AC=4AG.AO= AC=2AG，GO=AO-AG=AG.考题再现考题再现1. （2015广东）若两个相似三角形的周长比为23，则它们的面积比是_.2. （2016广州）如图1-6-2-9，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点 点D的坐标为（0，1）.（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当BOD与BCE相似时，求点E的坐标. 4 9解：（解：（1 1）设直线）设直线ADAD的解析式为的解析式为y y= =kxkx+ +b b，（2）直线AD与x轴的交点为（-2，0），OB=2. 点D的坐标为（0，1），OD=1. y=-x+3与x轴交于点C（3，0），OC=3. BC=5. BOD与BCE相似，3. （2015茂名）如图1-6-2-10，RtABC中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为 连接MN.（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）如图1-6-2-10，连接AN，CM，若ANCM，求t的值.ANANCMCM，ACBACB=90=90，CANCAN+ACMACM=90=90，MCDMCD+ACMACM=90=90. .CANCAN=MCDMCD. .MDMDCBCB，MDCMDC=ACBACB=90=90. .CANCANDCMDCM. .考点演练考点演练4. 如果两个相似三角形对应边的比为23，那么这两个相似三角形面积的比是（）A. 23 B. 23C. 49 D. 8275. 两个相似三角形对应中线的比为23，周长的和是20，则这两个三角形的周长分别为（）A. 8和12B. 9和11 C. 7和13D. 6和14CA6. 如图1-6-2-11，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与PDC相似，则AP=_. 1或或5或或97. 如图1-6-2-12，已知ABCADE，AB=30 cm，AD=18 cm，BC=20 cm，BAC=75，ABC=40.（1）求ADE和AED的度数；（2）求DE的长.解：（解：（1 1）BACBAC=75=75，ABCABC=40=40，C C=180=180-BACBAC-ABCABC=180=180-75-75- -4040=65=65. .ABCABCADEADE，ADEADE=ABCABC=40=40，AEDAED=C C=65=65. .（2 2）ABCABCADEADE，解得解得DEDE=12=12（cmcm）. .考点点拨：考点点拨：本考点的题型不固定，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握相似三角形的性质（相关要点详见“知识梳理”部分）. 注意以下要点：两个三角形相似，如果未指明哪一组边是对应边，哪一对角是对应角，则应进行分类讨论，将各种可能的情况一一呈现出来，不遗漏、不偏颇地进行求解或证明. 考点考点4相似三角形的判定相似三角形的判定考点精讲考点精讲【例【例4 4】（2016齐齐哈尔）如图1-6-2-13，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F. （1）求证：ACDBFD；（2）当tanABD=1，AC=3时，求BF的长. 思路点拨：（1）由C+DBF=90，C+DAC=90，推出DBF=DAC，由此即可得证； （2）先证明AD=BD，由ACDBFD，得 即可得解. （1）证明：ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90. C+DAC=90,C+DBF=90. DBF=DAC.ACDBFD.考题再现考题再现1. （2016广东）如图1-6-2-14，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC=30，过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. 求证：ACFDAE. 证明：证明：BCBC是是O O的直径，的直径，BACBAC=90=90. . ABCABC=30=30，ACBACB=60=60. . OAOA= =OCOC，AOCAOC=60=60. . AFAF是是O O的切线，的切线，OAFOAF=90=90. . AFCAFC=30=30. . DEDE是是O O的切线，的切线，DBCDBC=90=90. . D D=AFCAFC=30=30. . 又又DAEDAE=ACFACF=180=180-60-60=120=120，ACFACFDAEDAE. .2. （2016杭州）如图1-6-2-15，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：ADFACG；（2）（1 1）证明：）证明：AEDAED=B B，DAEDAE=DAEDAE，ADFADF=C C. . ADFADFACGACG. . （2 2）解：）解：ADFADFACGACG，考点演练考点演练3. 如图1-6-2-16，下列条件不能判定ADBABC的是（）A. ABD=ACB B. ADB=ABCC. AB2=ADAC D. D4. 如图1-6-2-17，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B. 求证：ADFDEC.证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC，ABABCDCD. . ADFADF=CEDCED，B B+C C=180=180. . AFEAFE+AFDAFD=180=180，AFEAFE=B B，AFDAFD=C C. . ADFADFDECDEC. . 5. 如图1-6-2-18，点P是ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A. 0对B. 1对 C. 2对D. 3对D6. 已知如图1-6-2-19，在ABC中，ABC=90，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E. 求证：ACAD=ABAE. 证明：如答图证明：如答图1-6-2-31-6-2-3，连接，连接DEDE. . AEAE是直径，是直径，ADEADE=90=90. . ABCABC=90=90, ,ADEADE=ABCABC. . 又又DAEDAE=BACBAC，ADEADEABCABC. . ACACADAD= =ABABAEAE. . 考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度中等偏高. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握并灵活运用相似三角形的判定方法（相关要点详见“知识梳理”部分）.注意以下要点：相似三角形的判定问题常在三角形或圆的综合题出现，无论怎样出题，解题时关键是要根据已知条件提供的信息，灵活选择判定三角形相似的方法与思路，正确地证出三角形相似. 考点考点5图形的位似图形的位似考点精讲考点精讲【例【例5 5】如图1-6-2-20，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA=10 cm，OA=20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是_.思路点拨：由五边形ABCDE与五边形ABCDE位似，可得五边形ABCDE五边形ABCDE，又由OA=10 cm，OA=20 cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长比等于其相似比，即可得解.答案：12考题再现考题再现1. （2016十堰）如图1-6-2-21，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知OB=3OB，则ABC与ABC的面积比为（）A. 13B. 14 C. 15 D. 19D2. （2016威海）如图1-6-2-22，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，BOC与BOC是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为13，则点B的对应点B的坐标为_. （-8，-3）或（）或（4，3）考点演练考点演练3. 如图1-6-2-23，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为 （）A. 1B. 2 C. 4D. 84. 如图1-6-2-24，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形ABCD，若OA=4，OA=8，则四边形ABCD和四边形ABCD的周长的比为_. B1 2考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握位似图形的概念和性质，同时抓住位似是相似的特殊形式. 注意以下要点：满足：两个图形是相似形；两个图形对应点的连线经过同一点；对应边平行，这样的两个图形才是位似图形.课堂巩固训练课堂巩固训练1. 若xy=13，2y=3z，则 的值是（）2. 如图1-6-2-25，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）AC3. 如图1-6-2-26，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则 的值为（）4. 两个相似多边形的一组对应边分别是3 cm和4.5 cm，如果它们的面积之和是78 cm2，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8 cm2B. 42 cm2C. 52 cm2D. 54 cm2DD5. 在ABC中，AC=6，AB=9，D是AC边上一点，且ADDC=12，若E为AB边上的点，ABC与以A，D，E为顶点的三角形相似，则AE的长度为（）A. 3B. 4.5C. 43或3D. 2或4.56. （2016随州）如图1-6-2-27，D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，且DEAC，AE,CD相交于点O，若SDOESCOA=125，则SBDE与SCDE的比是（）A. 13B. 14C. 15D. 125CB7. （2016临夏州）如图1-6-2-28，已知ECAB，EDA=ABF. （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OEOF.证明：（证明：（1 1）ECECABAB，EDAEDA=DABDAB. . EDAEDA=ABFABF，DABDAB=ABFABF. . ADADBCBC. . 又又DCDCABAB，四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. . （2 2）ECECABAB，OABOABOEDOED. . ADADBCBC，OBFOBFODAODA. . OAOA2 2= =OEOEOFOF. .8. （2016怀化）如图1-6-2-29，ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E,H分别在AB,AC上，已知BC=40 cm，AD=30 cm. （1）求证：AEHABC；（2）求这个正方形的边长与面积. （1 1）证明：）证明：四边形四边形EFGHEFGH是正方形，是正方形，EHEHBCBC. . AEHAEH=B B，AHEAHE=C C. . AEHAEHABCABC. . （2 2）解：如答图）解：如答图1-6-2-41-6-2-4，设设ADAD与与EHEH交于点交于点M M. . EFDEFD=FEMFEM=FDMFDM=90=90，四边形四边形EFDMEFDM是矩形是矩形. . EFEF= =DMDM. . 设正方形设正方形EFGHEFGH的边长为的边长为x x，AEHAEHABCABC，正方形正方形EFGHEFGH的边长为的边长为 cmcm，面积为，面积为 cmcm2 2. .
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