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第五节 平面与平面垂直1.1.二面角二面角(1)(1)二面角的定义二面角的定义一条直线和由这条直线出发的一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角. .这条这条直线叫做直线叫做_._.每个半平面叫每个半平面叫做做_._.如图的二面角，可记作如图的二面角，可记作: :二面角二面角_或二面角或二面角_或二面角或二面角_._.两个半两个半平面平面二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面-l-AB-AB-M-AB-NM-AB-N(2)(2)二面角的平面角二面角的平面角如图，从二面角如图，从二面角-l-的棱的棱l上任取一上任取一点点O O在两个半平面内分别作在两个半平面内分别作OBOBl，OAOAl, ,则则_就叫做二面角就叫做二面角-l-的平面角的平面角. .(3)(3)二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围设二面角的平面角为设二面角的平面角为，则，则0,0,. .AOBAOB2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是是_，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直. .直二面角直二面角(2)(2)平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 判判定定定定理理 如果一个平面经如果一个平面经过另一个平面的过另一个平面的一条一条_，那，那么这两个平面互么这两个平面互相垂直相垂直. . l _垂线垂线l(3)(3)平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 性性质质定定理理 如果两个平面互如果两个平面互相垂直，那么在相垂直，那么在一个平面内垂直一个平面内垂直于它们于它们_的的直线垂直于另一直线垂直于另一个平面个平面. . =a=a_交线交线lllaa判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0(0， . .( )( )(2)(2)二面角是指两个相交平面构成的图形二面角是指两个相交平面构成的图形.( ).( )(3)(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面于另一个平面.( ).( )2(4)(4)若平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则内的无数条直线，则.( ).( )(5)(5)垂直于同一个平面的两个平面平行垂直于同一个平面的两个平面平行.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是(0(0， , ,而二面而二面角的范围是角的范围是0 0，. .(2)(2)错误错误. .二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. .(3)(3)错误错误. .若平面若平面平面平面，则平面，则平面内的直线内的直线l与与可平行，可平行，可相交，也可在平面可相交，也可在平面内内. .(4)(4)错误错误. .平面平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，内的无数条直线，不能保证该直线垂直于此平面不能保证该直线垂直于此平面，故不能推出，故不能推出. .(5)(5)错误错误. .垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)21.1.设设，为不重合的平面，为不重合的平面，m,nm,n为不重合的直线，则下列命为不重合的直线，则下列命题正确的是题正确的是_(_(填序号填序号).).(1)(1)若若,=n,mn,=n,mn, ,则则mm(2)(2)若若m m,n,n,mn,mn, ,则则nn(3)(3)若若n,n,mn,n,m, ,则则mm(4)(4)若若m,n,mnm,n,mn，则，则【解析【解析】(1)(1)错误错误. .如图如图所示，所示，,=n,mn,=n,mn, ,但但m m. .(2)(2)错误错误. .如图如图所示，所示，m m,n,n,mn,mn, ,但但n n与与不垂直不垂直. .(3)(3)正确正确.n,n,.n,n,. .又又m,mm,m. .(4)(4)错误错误. .如图如图所示，所示，m,n,mnm,n,mn, ,但但. .答案：答案：(3)(3)2.2.已知已知,表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m m为平面为平面内的一条直线，内的一条直线，则则“”是是“mm”的的_条件条件.(.(填填“充分不必充分不必要要”“”“必要不充分必要不充分”“”“充要充要”) )【解析【解析】由条件知，当由条件知，当mm时，一定有时，一定有；但反之不一；但反之不一定成立定成立. .故填必要不充分故填必要不充分. .答案：答案：必要不充分必要不充分3.3.若平面若平面平面平面,平面平面平面平面,平面平面平面平面=直线直线l，则直线则直线l与平面与平面的关系是的关系是_._.【解析【解析】l. .理由如下：理由如下：取取PP, ,但但P P l, ,过过P P作作与与的交线的垂线的交线的垂线PA,PA,由由知知PAPA, ,故故lPAPA, ,过过P P作作与与的交线的垂线的交线的垂线PB,PB,由由知知PBPB, ,故故lPBPB, ,又又PAPB=P,PAPB=P,故故l. .答案：答案：l4.4.将正方形将正方形ABCDABCD沿沿ACAC折成直二面角后，折成直二面角后，DAB=_.DAB=_.【解析【解析】如图如图, ,取取ACAC的中点的中点O O，连结，连结DODO，BOBO，则则DOACDOAC，BOACBOAC，故，故DOBDOB为二面角的平为二面角的平面角，从而面角，从而DOB=90DOB=90. .设正方形边长为设正方形边长为1 1，则则DO=BO= DO=BO= ，所以，所以DB=1DB=1，故，故ADBADB为等边为等边三角形，所以三角形，所以DAB=60DAB=60. .答案：答案：606022考向考向 1 1 面面垂直的判定面面垂直的判定 【典例【典例1 1】如图所示，如图所示，ABCABC为正三角形，为正三角形，CECE平面平面ABCABC，BDCEBDCE，CE=CA=2BDCE=CA=2BD，M M是是EAEA的中点的中点. .求证：求证：(1)DE=DA.(1)DE=DA.(2)(2)平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)由于由于CE=2BDCE=2BD，故可考虑取，故可考虑取CECE的中点的中点F F，通过证，通过证明明DEFDEFADBADB来证明来证明DE=DA.DE=DA.(2)(2)证明面面垂直，应先证明线面垂直证明面面垂直，应先证明线面垂直. .【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示，取如图所示，取CECE的中点的中点F F，连结，连结DF.DF.ECEC平面平面ABCABC，ECBC.ECBC.BDCEBDCE，BD= CE=CF=FEBD= CE=CF=FE，四边形四边形FCBDFCBD是矩形，是矩形，DFEC.DFEC.又又BA=BC=DFBA=BC=DF，RtRtDEFRtDEFRtADBADB，DE=DA.DE=DA.12(2)(2)如图所示，取如图所示，取ACAC中点中点N N，连结，连结MNMN，NBNB，MM是是EAEA的中点，的中点，MN CE.MN CE.由由BD CE,BD CE,且且BDBD平面平面ABCABC，可得四边形，可得四边形MNBDMNBD是矩形，是矩形，于是于是DMMN.DE=DADMMN.DE=DA，M M是是EAEA的中点，的中点，DMEA.DMEA.又又EAMN=MEAMN=M，DMDM平面平面ECAECA，而，而DMDM平面平面BDMBDM，平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.1212【拓展提升【拓展提升】证明面面垂直的两种思路证明面面垂直的两种思路(1)(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线个平面的一条垂线. .(2)(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题. .【变式训练【变式训练】(2013(2013常州模拟常州模拟) )如图的几何体中，如图的几何体中，ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACDACD，ACDACD为等边三角形，为等边三角形，AD=DE=2AB=2,FAD=DE=2AB=2,F为为CDCD的中点的中点. .(1)(1)求证：求证：AFAF平面平面BCE.BCE.(2)(2)求证：平面求证：平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.【证明【证明】(1)(1)取取CECE的中点的中点G G，连结，连结FG,BG.FG,BG.FF为为CDCD的中点，的中点，GFDEGFDE且且GF= DE.GF= DE.ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACD.ACD.ABDE,GFAB.ABDE,GFAB.又又AB= DE,GF=AB.AB= DE,GF=AB.四边形四边形GFABGFAB为平行四边形，则为平行四边形，则AFBG.AFBG.AFAF 平面平面BCE,BGBCE,BG平面平面BCE,BCE,AFAF平面平面BCE.BCE.1212(2)(2)ACDACD为等边三角形，为等边三角形，F F为为CDCD的中点，的中点，AFCDAFCD，DEDE平面平面ACDACD，AFAF平面平面ACDACD，DEAF.BGAF,BGDE,BGCDDEAF.BGAF,BGDE,BGCD，又，又CDDE=D,CDDE=D,BGBG平面平面CDE.CDE.BGBG平面平面BCEBCE，平面平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.考向考向 2 2 面面垂直的性质面面垂直的性质 【典例【典例2 2】(2013(2013连云港模拟连云港模拟) )如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面的底面为矩形，且为矩形，且AB= ,BC=1,E,FAB= ,BC=1,E,F分别为分别为AB,PCAB,PC的中点的中点. .(1)(1)求证：求证：EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)若平面若平面PACPAC平面平面ABCDABCD，求证：平面，求证：平面PACPAC平面平面PDE.PDE.2【思路点拨【思路点拨】(1)(1)可作辅助线构造平行四边形，在平面可作辅助线构造平行四边形，在平面PADPAD内作内作出与出与EFEF平行的直线，也可作辅助线构造过平行的直线，也可作辅助线构造过EFEF且与平面且与平面PADPAD平行平行的平面的平面. .(2)(2)注意确定平面注意确定平面PACPAC与平面与平面ABCDABCD的交线，并在平面的交线，并在平面ABCDABCD内寻找内寻找与交线垂直的直线，可得线面垂直关系与交线垂直的直线，可得线面垂直关系. .【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一：取线段方法一：取线段PDPD的中点的中点M M，连结，连结FMFM，AM.AM.因为因为F F为为PCPC的中点，所以的中点，所以FMCD,FMCD,且且FM= CD.FM= CD.因为四边形因为四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，E E为为ABAB的中点，的中点，所以所以EACDEACD，且，且EA= CD,EA= CD,所以所以FMEAFMEA，且，且FM=EA.FM=EA.所以四边形所以四边形AEFMAEFM为平行四边形，所以为平行四边形，所以EFAM.EFAM.又又AMAM平面平面PADPAD，EFEF 平面平面PADPAD，所以，所以EFEF平面平面PAD.PAD.1212方法二：取方法二：取CDCD的中点的中点Q Q，连结，连结FQ,EQ.FQ,EQ.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，E E为为ABAB的中点，所以的中点，所以AE=DQ,AE=DQ,且且AEDQ.AEDQ.所以四边形所以四边形AEQDAEQD为平行四边形，所以为平行四边形，所以EQAD.EQAD.又又ADAD平面平面PAD,EQPAD,EQ 平面平面PAD,PAD,所以所以EQEQ平面平面PAD.PAD.因为因为Q,FQ,F分别为分别为CDCD，CPCP的中点，所以的中点，所以FQPD.FQPD.又又PDPD平面平面PADPAD，FQFQ 平面平面PAD,PAD,所以所以EQEQ平面平面PAD.PAD.因为因为Q,FQ,F分别为分别为CDCD，CPCP的中点，所以的中点，所以FQPD.FQPD.又又PDPD平面平面PADPAD，FQFQ 平面平面PAD,PAD,所以所以FQFQ平面平面PAD.PAD.又又FQ,EQFQ,EQ平面平面EQF,FQEQ=Q,EQF,FQEQ=Q,所以平面所以平面EQFEQF平面平面PAD.PAD.因为因为EFEF平面平面EQFEQF，所以，所以EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)设设AC,DEAC,DE相交于相交于G.G.在矩形在矩形ABCDABCD中，因为中，因为AB= BCAB= BC，E E为为ABAB的中点，所以的中点，所以又又DAE=CDA,DAE=CDA,所以所以DAEDAECDA,CDA,所以所以ADE=DCA.ADE=DCA.又又ADE+CDE=ADC=90ADE+CDE=ADC=90, ,所以所以DCA+CDE=90DCA+CDE=90. .由由DGCDGC的内角和为的内角和为180180, ,得得DGC=90DGC=90, ,即即DEAC.DEAC.2DACD2.AEDA又因为平面又因为平面PACPAC平面平面ABCDABCD，平面，平面PACPAC平面平面ABCD=AC,ABCD=AC,DEDE平面平面ABCDABCD，所以，所以DEDE平面平面PAC,PAC,又又DEDE平面平面PDE,PDE,所以平面所以平面PACPAC平面平面PDE.PDE.【拓展提升【拓展提升】面面垂直的性质应用技巧面面垂直的性质应用技巧两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面平面. .这是把面面垂直转化为线面垂直的依据这是把面面垂直转化为线面垂直的依据. .运用时要注意运用时要注意“平面内的直线平面内的直线”. .【变式训练【变式训练】(2013(2013东海模拟东海模拟) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底中，底面面ABCDABCD是菱形，是菱形，BAD=60BAD=60,AB=2,PA=1,PA,AB=2,PA=1,PA平面平面ABCDABCD，E E是是PCPC的中点，的中点，F F 是是ABAB的中点的中点. .(1)(1)求证：求证：BEBE平面平面PDF.PDF.(2)(2)求证：平面求证：平面PDFPDF平面平面PAB.PAB.【证明【证明】(1)(1)取取PDPD的中点为的中点为M M，连结，连结MEME，MFMF，因为，因为E E是是PCPC的中点的中点. .所以所以MEME是是PCDPCD的中位线的中位线. .所以所以MECD,ME= CD,MECD,ME= CD,又因为又因为F F是是ABAB的中点，且由于的中点，且由于ABCDABCD是菱形，是菱形，ABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,所以所以MEFB,MEFB,且且ME=FB,ME=FB,所以四边形所以四边形MEBFMEBF是平行四边形，所以是平行四边形，所以BEMF.BEMF.因为因为BEBE 平面平面PDF,MFPDF,MF平面平面PDFPDF，所以，所以BEBE平面平面PDF.PDF.12(2)(2)因为因为PAPA平面平面ABCDABCD，DFDF平面平面ABCDABCD，所以，所以DFPA,DFPA,连结连结BDBD，因为底面因为底面ABCDABCD是菱形，是菱形，BAD=60BAD=60, ,所以所以DABDAB为正三角形，因为正三角形，因为为F F是是ABAB的中点，所以的中点，所以DFAB.DFAB.因为因为PA,ABPA,AB是平面是平面PABPAB内的两条相内的两条相交直线，所以交直线，所以DFDF平面平面PAB,PAB,因为因为DFDF平面平面PDFPDF，所以平面，所以平面PDFPDF平面平面PAB.PAB.考向考向 3 3 垂直关系的综合应用垂直关系的综合应用 【典例【典例3 3】如图所示，如图所示，M M，N N，K K分别是分别是正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ABAB，CDCD，C C1 1D D1 1的中点的中点. .求证：求证：(1)AN(1)AN平面平面A A1 1MK.MK.(2)(2)平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)要证线面平行，需证线线平行；要证线面平行，需证线线平行；(2)(2)要证面面要证面面垂直，需证线面垂直垂直，需证线面垂直. .【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示，连结如图所示，连结NK.NK.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，四边形四边形AAAA1 1D D1 1D D，DDDD1 1C C1 1C C都为正方形，都为正方形，AAAA1 1DDDD1 1，AAAA1 1=DD=DD1 1，C C1 1D D1 1CDCD，C C1 1D D1 1=CD.=CD.NN，K K分别为分别为CDCD，C C1 1D D1 1的中点，的中点，DNDDND1 1K K，DN=DDN=D1 1K K， 四边形四边形DDDD1 1KNKN为平行四边形为平行四边形. .KNDDKNDD1 1，KN=DDKN=DD1 1，AAAA1 1KNKN，AAAA1 1=KN=KN，四边形四边形AAAA1 1KNKN为平行四边形，为平行四边形，ANAANA1 1K.K.AA1 1K K平面平面A A1 1MKMK，ANAN 平面平面A A1 1MKMK，ANAN平面平面A A1 1MK.MK.(2)(2)连结连结BCBC1 1. .在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABCABC1 1D D1 1，AB=CAB=C1 1D D1 1. .MM，K K分别为分别为ABAB，C C1 1D D1 1的中点，的中点，BMCBMC1 1K K，BM=CBM=C1 1K K，四边形四边形BCBC1 1KMKM为平行四边形，为平行四边形，MKBCMKBC1 1. .在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1B B1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，BCBC1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1B B1 1BCBC1 1. .MKBCMKBC1 1,A,A1 1B B1 1MK.MK.四边形四边形BBBB1 1C C1 1C C为正方形，为正方形，BCBC1 1BB1 1C.C.MKBMKB1 1C.AC.A1 1B B1 1平面平面A A1 1B B1 1C C，B B1 1C C平面平面A A1 1B B1 1C C，A A1 1B B1 1BB1 1C=BC=B1 1，MKMK平面平面A A1 1B B1 1C.C.又又MKMK平面平面A A1 1MKMK，平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK.【拓展提升【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法垂直关系综合题的类型及解法(1)(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化面面垂直间的转化. .(2)(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用判定的综合应用. .(3)(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积表示高的线段，进而求得体积. .【变式训练【变式训练】如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥A-BPCA-BPC中，中，APPCAPPC，ACBCACBC，M M为为ABAB的中点，的中点，D D为为PBPB的的中点，且中点，且PMBPMB为正三角形为正三角形. .(1)(1)求证：求证：DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)求证：平面求证：平面ABCABC平面平面APC.APC.(3)(3)若若BCBC4 4，ABAB2020，求三棱锥，求三棱锥D-BCMD-BCM的体积的体积. .【解析【解析】(1)M(1)M为为ABAB中点，中点，D D为为PBPB中点，中点，DMAP.DMAP.又又DMDM 平面平面APCAPC，APAP平面平面APC,APC,DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)PMBPMB为正三角形，且为正三角形，且D D为为PBPB中点，中点，MDPB.MDPB.又由又由(1)(1)知知MDAPMDAP，APPB.APPB.又又APPCAPPC，PBPC=PPBPC=P，APAP平面平面PBCPBC，APBC.APBC.又又ACBCACBC，APAC=AAPAC=A，BCBC平面平面APC.APC.又又BCBC平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面APC.APC.(3)AB(3)AB2020，MPMP1010，PBPB10.10.又又BCBC4 4，PCPC= = 又又DMDM100 16 2 21, BCDPBC111SSPC BC2 21 42442 21.11AP400 100 5 322，D BCMM BCDBCD11VVSDM2 21 5 3 10 7.33【满分指导【满分指导】平行、垂直关系综合证明题的规范解答平行、垂直关系综合证明题的规范解答【典例【典例】(14(14分分)(2012)(2012江苏高考江苏高考) )如图，如图，在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，A A1 1B B1 1=A=A1 1C C1 1,D,D,E E分别是棱分别是棱BC,CCBC,CC1 1上的点上的点( (点点D D不同于点不同于点C)C)且且ADDE,FADDE,F为为B B1 1C C1 1的中点的中点. .求证：求证：(1)(1)平面平面ADEADE平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .(2)(2)直线直线A A1 1FF平面平面ADE.ADE.【思路点拨【思路点拨】 【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱，是直三棱柱，所以所以CCCC1 1平面平面ABCABC，1 1分分又又ADAD平面平面ABCABC，所以，所以CCCC1 1ADAD， 2 2分分又因为又因为ADDEADDE,CC,CC1 1,DE,DE平面平面BCCBCC1 1B B1 1,CC,CC1 1DE=E,DE=E,所以所以ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1， 4 4分分又又ADAD平面平面ADE,ADE,所以平面所以平面ADEADE平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .6 6分分(2)(2)因为因为A A1 1B B1 1=A=A1 1C C1 1,F,F为为B B1 1C C1 1的中点，的中点，所以所以A A1 1FBFB1 1C C1 1. .因为因为CCCC1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1, ,且且A A1 1F F平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以所以CCCC1 1AA1 1F F，8 8分分又因为又因为CCCC1 1,B,B1 1C C1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1，CCCC1 1BB1 1C C1 1=C=C1 1, ,所以所以A A1 1FF平面平面BCCBCC1 1B B1 1， 1010分分由由(1)(1)知知ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以A A1 1FADFAD. .1212分分又又ADAD平面平面ADE,AADE,A1 1F F 平面平面ADEADE，所以所以A A1 1FF平面平面ADE.ADE.1414分分【失分警示【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20131.(2013南京模拟南京模拟) )已知已知,为平面，为平面，m m，n n为直线，下列命为直线，下列命题：题：若若mn,nmn,n, ,则则mm; ;若若m,mm,m，则，则; ;若若=n,m,m=n,m,m, ,则则mnmn. .其中是真命题的有其中是真命题的有_(_(填写所有正确命题的序号填写所有正确命题的序号).).【解析【解析】错误错误.mn,n.mn,n，则，则mm或或m m. .正确正确. .垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行. .正确正确. .如图，过如图，过m m作平面作平面,=a,a,=a,a ，则由，则由mm知知mama, ,又又m,am,a. .又又a a,=n,=n,anan, ,故故mnmn. .答案：答案：2.(20132.(2013苏州模拟苏州模拟) )已知两条不同的直线已知两条不同的直线m m，n n，两个不同的平，两个不同的平面面，则下列命题中的真命题是，则下列命题中的真命题是_(_(填序号填序号).).若若mm，nn，则，则mnmn若若mm，nn，则，则mnmn若若mm，nn，则，则mnmn若若mm，nn，则，则mnmn【解析【解析】由由m,m,可得可得mm或或m m，又，又nn，故，故mnmn，即，即正确；如图正确；如图(1)(1)，m,n,m,n, ,但但mnmn，故故错；如图错；如图(2)(2)知知错；如图错；如图(3)(3)正方体中，正方体中，m,nm,n, ,，但，但m,nm,n相交，故相交，故错错. .答案：答案：3.(20133.(2013宿迁模拟宿迁模拟) )若若m m，n n，l是互不重合的直线，是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：是互不重合的平面，给出下列命题：若若,=m,mn,=m,mn，则，则nn或或nn；若若,=m,=m,=n,=n,则则mnmn；若若m m不垂直于不垂直于,则则m m不可能垂直于不可能垂直于内的无数条直线；内的无数条直线；若若=m,mn=m,mn, ,且且n n ,n,n ，则，则nn且且nn；若若=m,=n,=m,=n,= =l，且，且, ,则则mn,mmn,ml,nnl, ,其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_._.【解析【解析】错误错误. .如图如图(1)(1)所示所示, ,=m,mn=m,mn, ,但但n n与与,都不垂直都不垂直. .正确正确. .错误错误. .如图如图(1)(1)所示所示m m与与不垂直，但不垂直，但m m与与内无数条直线垂直内无数条直线垂直. .正确正确. .正确正确. .如图如图(2)(2)所示，所示，, ,=m,m=m,m, ,同理可证同理可证n,n,l, ,mn,mmn,ml,n,nl. .答案：答案：4.(20124.(2012天津高考天津高考) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形是矩形,ADPD,BC=1,PC= PD=CD=2.,ADPD,BC=1,PC= PD=CD=2.(1)(1)求异面直线求异面直线PAPA与与BCBC所成角的正切值所成角的正切值. .(2)(2)证明平面证明平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD.(3)(3)求直线求直线PBPB与平面与平面ABCDABCD所成角的正弦值所成角的正弦值. .2 3,【思路点拨【思路点拨】(1)PAD(1)PAD即是异面直线所成的角即是异面直线所成的角( (或其补角或其补角).).(2)(2)证明证明ADAD平面平面PDC.PDC.(3)(3)过点过点P P作平面作平面ABCDABCD的垂线，垂足设为点的垂线，垂足设为点E E，解直角三角形，解直角三角形PEB.PEB.【解析【解析】(1)(1)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，因为底面因为底面ABCDABCD是矩形，所以是矩形，所以AD=BCAD=BC且且ADBC.ADBC.故故PADPAD为异面直线为异面直线PAPA与与BCBC所成的角所成的角( (或其补角或其补角).).在在RtRtPDAPDA中，中，tanPADtanPAD= =2.= =2.所以，异面直线所以，异面直线PAPA与与BCBC所成角的正切值为所成角的正切值为2.2.PDAD(2)(2)由于底面由于底面ABCDABCD是矩形，故是矩形，故ADCD.ADCD.又由于又由于ADPD,CDPD=D,ADPD,CDPD=D,因此因此ADAD平面平面PDCPDC，而，而ADAD平面平面ABCDABCD，所以平面所以平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD.(3)(3)在平面在平面PDCPDC内，过点内，过点P P作作PECDPECD交直线交直线CDCD于点于点E E，连结，连结EB.EB.由由于平面于平面PDCPDC平面平面ABCDABCD，而直线，而直线CDCD是平面是平面PDCPDC与平面与平面ABCDABCD的交线的交线. .故故PEPE平面平面ABCDABCD，由此得，由此得PBEPBE为直线为直线PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角. .在在PDCPDC中，由于中，由于PD=CD=2,PC= ,PD=CD=2,PC= ,可得可得PCD=30PCD=30, ,在在RtRtPECPEC中，中，PE=PCsinPE=PCsin 30 30= =由由ADBC,ADADBC,AD平面平面PDC,PDC,得得BCBC平面平面PDC,PDC,因此因此BCPC,BCPC,在在RtRtPCBPCB中，中，在在RtRtPEBPEB中，中，sinPBEsinPBE= =2 33,22PBPCBC13,PE39.PB131.1.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，且底面各边都相等，且底面各边都相等，M M是是PCPC上的一动点，当点上的一动点，当点M M满足满足_时，时，平面平面MBDMBD平面平面PCD.(PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可只要填写一个你认为正确的条件即可) )【解析【解析】由由PABDPABD，ACBDACBD可得可得BDBD平面平面PACPAC，所以，所以BDPC.BDPC.所所以当以当DMPC(DMPC(或或BMPC)BMPC)时，即有时，即有PCPC平面平面MBDMBD，而，而PCPC平面平面PCDPCD，平面平面MBDMBD平面平面PCD.PCD.答案答案: :DMPC(DMPC(或或BMPCBMPC等等) )2.2.如图，在长方形如图，在长方形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=1BC=1，E E为为DCDC的中点，的中点，F F为线为线段段EC(EC(端点除外端点除外) )上一动点上一动点. .现将现将AFDAFD沿沿AFAF折起，使平面折起，使平面ABDABD平面平面ABC.ABC.在平面在平面ABDABD内过点内过点D D作作DKABDKAB，K K为垂足为垂足. .设设AK=t,AK=t,则则t t的的取值范围是取值范围是_._.【解析【解析】连结连结KFKF，易证，易证DKKF.DKKF.设设EF=m,EF=m,则则0m1.0m1.在在RtRtDKFDKF中，中，DF=1+mDF=1+m，由勾股定理得由勾股定理得DFDF2 2=DK=DK2 2+KF+KF2 2，即即(1+m)(1+m)2 2=1-t=1-t2 2+1+(1+m-t)+1+(1+m-t)2 2, ,t= .t= .又又0m1,0m1,故故 t1.t1.答案答案: :( ( ，1)1)2222DK1t ,KF11mt,11m1212
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