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第五章数列第五章数列第五章数列第五章数列第1课时数列的概念第五章数列第五章数列回归教材回归教材 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1数列的定义数列的定义数列是按数列是按_排成的一列数，从排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集或它的有限子集)的函数的函数f(n)，一定次序一定次序当自变量当自变量n从从1开始依次取正整数时所开始依次取正整数时所对应的一列函数值对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(n)，.通常用通常用an代替代替f(n)于是数列于是数列的一般形式为的一般形式为a1，a2，an，简记为简记为_an2数列的通项公式数列的通项公式一个数列一个数列an的第的第n项项an与与_之之间的间的_，如果可以用一个公式，如果可以用一个公式_来表示，我们把这个公式来表示，我们把这个公式_叫做这个数列的通项公式叫做这个数列的通项公式项数项数函数关系函数关系anf(n)anf(n)思考探究思考探究数列都有通项公式吗？如果有是惟一数列都有通项公式吗？如果有是惟一的吗？的吗？提示：提示：数列不一定都有通项公式，只数列不一定都有通项公式，只要按一定次序排成的一列数就可以称要按一定次序排成的一列数就可以称之为一个数列因而排列成的这一列之为一个数列因而排列成的这一列“数数”，就不一定能写出一个，就不一定能写出一个an与与n的函数关系，而数列的通项公式有时的函数关系，而数列的通项公式有时也不一定是惟一的也不一定是惟一的3数列的表示方法数列的表示方法数列的表示方法有数列的表示方法有_、_、_列举法列举法公式法公式法图象法图象法课前热身课前热身1(2012扬州质检扬州质检)下列说法不正确下列说法不正确的是的是_数列可以用图象来表示；数列可以用图象来表示；数列的通项公式不惟一；数列的通项公式不惟一；数列中的项不能相等；数列中的项不能相等；数列可以用一群孤立的点表示数列可以用一群孤立的点表示答案：答案：答案：答案：234已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snn22n2，nN*，则，则an的通项公式为的通项公式为_考点探究考点探究 讲练互动讲练互动根据下列各数列的前几项的值，根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：写出数列的一个通项公式：例例1考点考点1由数列的前几项写出数列的通由数列的前几项写出数列的通项公式项公式(4)观察数列发现，数列可改写成：观察数列发现，数列可改写成：21,41,81,161,321，所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为an2n1.【名师点评名师点评】由数列的前几项写出由数列的前几项写出其通项公式应先观察哪些因素随项数其通项公式应先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；分析的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、字母与项数符号、数字、字母与项数n在变化过程在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取中的联系，初步归纳出公式，再取n的的特殊值进行检验，如果有误差再做调特殊值进行检验，如果有误差再做调整整变式训练变式训练1(1)如图甲是第七届国际数学教育如图甲是第七届国际数学教育大会大会(简称简称ICME7)的会徽图案，会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形继续作下如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记去，记OA1，OA2，OAn，的的长度构成数列长度构成数列an，则此数列的通项，则此数列的通项公式为公式为an_.(2)下列关于星星的图案构成一个数列下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是，该数列的一个通项公式是_ 考点2利用an与Sn的关系求通项公式例例2当当n2时，时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5.又又a11符合该式，符合该式，an6n5(nN*)【名师点评名师点评】(1)已知已知an的前的前n项项和和Sn，求，求an时应注意以下三点：时应注意以下三点：应重视分类讨论的应用，分应重视分类讨论的应用，分n1和和n2两种情况讨论，特别注意用两种情况讨论，特别注意用anSnSn1时需时需n2.由由SnSn1an推得的推得的an，若当，若当n1时，时，a1也适合也适合“an式式”，则需统一，则需统一“合写合写”由由SnSn1an推得的推得的an，若当，若当n1时，时，a1不适合不适合“an式式”，则数列的，则数列的通项公式应分段表示通项公式应分段表示(“分写分写”)，变式训练变式训练2已知下面各数列已知下面各数列an的前的前n项和项和Sn的公式，求的公式，求an的通项公式的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2；(3)Sn3an2.解：解：(1)当当n1时，时，a1S11，当当n2时，时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.由于由于a1也适合此式，因此也适合此式，因此an4n5(nN*) 考点3数列的性质及应用例例3n9或或n10时，时，an最大，即数列最大，即数列an有最大项，此时有最大项，此时n9或或n10.当当n9时，时，an1an0，即，即an1an；当当n9时，时，an1an0，即，即an1an.故故a1a2a3a11a12，数列数列an中有最大项，为第中有最大项，为第9、10项项【名师点评名师点评】(1)数列是一类特殊的函数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应数，解题时注意函数与方程思想的应用，转化思想也是解题的常用方法用，转化思想也是解题的常用方法(2)数列的单调性是高考常考内容之数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用解决，判断单调性时常用作差法，作差法，作商法，作商法，结合函数图象等方法结合函数图象等方法 0 x1故故02an120，an0，ann，nN*.变式训练变式训练3(2012连云港调研连云港调研)在数列在数列an中，中，已知已知a12，a23，当，当n2时，时，an1是是anan 1的个位数，则的个位数，则 a2 0 1 32 0 1 3_. 解 析 ： 数 列解 析 ： 数 列 an的 前 几 项 依 次 是的 前 几 项 依 次 是2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8，去掉前两，去掉前两项，构成一个周期为项，构成一个周期为6的数列，的数列，2013233561，a20136.答案：答案：6方法技巧方法技巧1根据数列的通项公式判定数列的单根据数列的通项公式判定数列的单调性调性(1)已知已知anf(n)，若，若f(n)的单调性可的单调性可以确定，则以确定，则an的单调性可以确定的单调性可以确定2求数列的通项公式的常见类型及其求数列的通项公式的常见类型及其方法方法(1)已知数列的前几项，求其通项公式已知数列的前几项，求其通项公式常用方法有：观察分析法、逐差法、常用方法有：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等归纳递推法等(2)已知数列的前已知数列的前n项和项和Sn求通项求通项(3)已知递推关系求通项已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由这类问题要求不高，主要掌握由a1和和递推关系先求出前几项，再归纳、猜递推关系先求出前几项，再归纳、猜想想an的方法，以及的方法，以及“化归法化归法”、“累累加法加法”等常见的解题规律有：等常见的解题规律有：anan1f(n)满足一定规律时，可满足一定规律时，可有有an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.an为周期数列，则周期为为周期数列，则周期为T(T为正为正整数整数)时，时，ananT，可将，可将an转化为转化为a1，a2，aT处理处理失误防范失误防范1在在an与与an1有关的递推关系中，有关的递推关系中，序号序号“n”的范围易出错，如的范围易出错，如an1中，中，n2，nN*，才有意义，才有意义考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测1在近几年的江苏高考中，本部分主在近几年的江苏高考中，本部分主要考查数列的项、项数、求通项公式要考查数列的项、项数、求通项公式、an与与Sn的关系，结合等差数列、等的关系，结合等差数列、等比数列等求通项公式，比数列等求通项公式，或把数列看作是一种特殊的函数，结或把数列看作是一种特殊的函数，结合函数的性质研究数列的性质，如考合函数的性质研究数列的性质，如考查数列的最大项、通项或前查数列的最大项、通项或前n项和的最项和的最值问题值问题2预测预测2013年江苏高考中仍重点关年江苏高考中仍重点关注前注前n项和项和Sn和和an之间的相互转化，但之间的相互转化，但按新课标的要求，考查的难度有可能按新课标的要求，考查的难度有可能会适当的降低会适当的降低 典例透析 例例【答案答案】4【得分技巧得分技巧】解决本题的关键，抓解决本题的关键，抓住住ak是数列是数列an的最大项等价于对任的最大项等价于对任意意k2(kN*)，ak都比它的前后两项都比它的前后两项大，从而列出大，从而列出k的不等式，求出的不等式，求出k的范的范围，再根据围，再根据kN*，求出，求出k值值【失分溯源失分溯源】本题失分的主要原因本题失分的主要原因(1)不能把原题等价转换成第不能把原题等价转换成第k项比它项比它前后两项都大前后两项都大(2)不能正确解出所列的不等式组不能正确解出所列的不等式组
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