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第二节等差数列及其前第二节等差数列及其前n项和项和第五章数第五章数 列列考考 纲纲 要要 求求1理解等差数列的概念理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、等差数列的概念一、等差数列的概念1定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列列 ，首项记作，首项记作a1，公差记作，公差记作d.2符号表示：符号表示： an1and(nN*)二、通项公式二、通项公式若数列若数列 为等差数列，则为等差数列，则ana1(n1)dam(nm)d.三、前三、前n项和公式项和公式Sn na1 . na na12nn aa12n nd 四、等差中项四、等差中项如果三数如果三数a，A，b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a和和b的等差中项，即的等差中项，即A .五、等差数列的判定方法五、等差数列的判定方法1定义法：定义法： an1and (常数常数)(nN*) 是等差数列是等差数列2中项公式法中项公式法 : 2an1anan2(nN*) 是等差数是等差数列列3通项公式法：通项公式法： anknb(k，b是常数是常数)(nN*) 是等是等差数列差数列4前前n项和公式法：项和公式法：SnAn2Bn(A，B是常数是常数)(nN*) 是等差数列是等差数列2a b na na na na六、用函数观点认识等差数列六、用函数观点认识等差数列1andna1d，d0时是关于时是关于n的一次函数的一次函数2Sn n2 ，d0时是关于时是关于n的常数项为零的常数项为零的二次函数的二次函数七、等差数列的重要性质七、等差数列的重要性质1在等差数列在等差数列 中，若中，若pqmn，则有，则有apaqaman；若；若2mpq，则有，则有2amapaq(p，q，m，nN*，简称为，简称为下标和性质下标和性质)2在等差数列在等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即数列，即an，ank，an2k，an3k，为等差数列，公差为为等差数列，公差为kd.3若数列若数列 是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前n项的和，项的和，kN*，那，那么么Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差数列，公差为也成等差数列，公差为k2d.2d12dan na na na基础自测基础自测1(2012重庆卷重庆卷)在等差数列在等差数列an中，中，a21，a45则则an的前的前5项和项和S5()A7B15C20D25解析：解析：a21，a45，a1a5a2a46.数列的数列的前前5项和为项和为S5 615.故故选选B.答案：答案：B1552aa2452aa522(2012大连、沈阳联考大连、沈阳联考)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a2，a4是方程是方程x2x20的两个实数根，则的两个实数根，则S5的值是的值是()A. B5C D5 5252解析：解析：因为因为a2a41，所以，所以S5 .故选故选A.答案：答案：A1552aa2452aa523(2012湖南师大附中模拟湖南师大附中模拟)各项不为零的等差数列各项不为零的等差数列an中，中，2a3 2a110，则，则a7的值为的值为_27a解析：解析：由由2a3 2a110，得，得 2(a3a11) 04a7 0，a7(4a7)0，a70，a74.答案：答案：427a27a27a4(2012南京市二模南京市二模)设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项项和若和若 ，则，则 _.36SS1367SS考考 点点 探探 究究考点一考点一等差数列基本量的计算等差数列基本量的计算【例【例1】(2011福建卷福建卷)已知等差数列已知等差数列an中，中，a11，a33.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列an的前的前k项和项和Sk35，求，求k的值的值思路点拨：思路点拨：先运用等差数列的通项公式求出公差，进而先运用等差数列的通项公式求出公差，进而求得通项公式及前求得通项公式及前n项和公式，再将项和公式，再将n用用k代换，得到关于代换，得到关于k的的方程，解方程即可求得项数方程，解方程即可求得项数k.解析：解析：(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则，则ana1(n1)d.由由 a11，a33可得可得12d3，解得，解得d2.从而从而an1(n1)(2)32n.(2)由由(1)可知可知an32n，所以所以Sn 2nn2.由由Sk35可得可得2kk235，即即k22k350，解得，解得k7或或k5.又又kN*，故，故k7为所求为所求1322nn 点评：点评：解决等差数列的问题时，通常考虑两类方法：解决等差数列的问题时，通常考虑两类方法：(1)基本量法，即运用条件转化成关于基本量法，即运用条件转化成关于a1和和d的方程；的方程；(2)巧妙运用巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简等差数列的性质，可化繁为简变式探究变式探究1(1)(2012唐山市三模唐山市三模)等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，已，已知知S721，S11121，则该数列的公差，则该数列的公差d()A5 B4 C3 D2(2)(2012江西卷江西卷)设数列设数列an，bn都是等差数列，若都是等差数列，若a1b17，a3b321，则，则a5b5_.解析解析：(1)依题意有依题意有7a121d21,11a155d121，解解得得a19，d4.故选故选B.(2)设数列设数列an，bn的公差分别为的公差分别为d，b，则由，则由a3b321，得，得a1b12(bd)21，即，即2(bd)21714，bd7.a5b5a1b14(bd)74735.答案：答案：(1)B(2)35考点二考点二等差数列性质的运用等差数列性质的运用【例【例2】(1)(2011富阳市模拟富阳市模拟)在等差数列在等差数列an中，若中，若a4a6a8a10a12120，则，则2a10a12的值为的值为_(2)(2011广州市一模广州市一模)已知数列已知数列 an 是等差数列，若是等差数列，若a42a6a812，则该数列前，则该数列前11项的和为项的和为_解析：解析：(1)a4a12a6a102a8，由由a4a6a8a10a12120得得5a8120，a824，于是，于是2a10a122(a82d)(a84d)a824.(2)由由a42a6a812，得得4a612，a63.S11 11333.答案答案：(1)24(2)33111112aa611 22a点评：点评：本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和性本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和性质，通项公式的变式，使解答过程很简捷质，通项公式的变式，使解答过程很简捷变式探究变式探究2(1)(2012汕头市教学质量测评汕头市教学质量测评)已知正项组成的等差数已知正项组成的等差数列列an的前的前20项的和为项的和为100，那么，那么a6a15的最大值为的最大值为()A25 B50 C100 D. 不存在不存在(2)(2012凯里市二模凯里市二模)等差数列等差数列an中，中，an0，且，且a1a2a1a4a2a5a4a536，则，则a3_.考点三考点三求等差数列前求等差数列前n项和的各种方法项和的各种方法【例【例3】(1)已知已知an为等差数列，前为等差数列，前10项的和项的和S10100，前前100项的和项的和S10010，求前，求前110项的和项的和S110.(2)数列数列an中，中，a18，a42，且满足，且满足an22an1an0，nN*.求数列求数列an的通项；的通项；设设Sn|a1|a2|an|，求，求Sn.思路点拨：思路点拨：对于题对于题(1)，常用的思路有三条思路一：运，常用的思路有三条思路一：运用方程的思想，将题目条件应用公式表示成关于首项用方程的思想，将题目条件应用公式表示成关于首项a1与公差与公差d的两个方程；思路二：运用前的两个方程；思路二：运用前n项和公式项和公式 SnAn2Bn去求去求(先求出待定系数先求出待定系数A，B)；思路三：巧妙运用前；思路三：巧妙运用前n项和、等差数项和、等差数列的性质列的性质(下标和的性质下标和的性质)，可化繁为简，可化繁为简对于题对于题(2)，易知，易知an为等差数列，先求出通项为等差数列，先求出通项an，然后再，然后再由通项由通项an判断哪些项为正，哪些项为负，进而可将判断哪些项为正，哪些项为负，进而可将 的绝对的绝对值符号去掉，将求数列值符号去掉，将求数列 的前的前n项和转化为求数列项和转化为求数列 的的前前n项和的问题项和的问题nan|a | na(2)由由an22an1an0，得得2an1anan2，an1anan2an1，所以数列所以数列an是等差数列，是等差数列，d 2，an2n10，nN*.4141aa点评：点评：(1)解决等差解决等差(比比)数列的问题时，通常考虑两类方数列的问题时，通常考虑两类方法：法：基本量法，即运用条件转化成关于基本量法，即运用条件转化成关于a1和和d(q)的方程；的方程；巧妙运用等差巧妙运用等差(比比)数列的性质数列的性质(如下标和的性质、子数列如下标和的性质、子数列的性质、和的性质的性质、和的性质)，可化繁为简，可化繁为简(2)数列数列 求和问题先由求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成然后分类讨论转化成an的求和问题的求和问题n|a |变式探究变式探究3(1)(2012海南嘉积中学期末海南嘉积中学期末)等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an2n1，其前，其前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 的前的前10项和为项和为()A. 70 B. 75 C. 100 D. 120(2)(2012南昌市调研南昌市调研)等差数列等差数列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是数列的前是数列的前n项的和，则下列正确的是项的和，则下列正确的是 ()AS1，S2，S3均小于均小于0, S4，S5，S6，均大于均大于0 BS1，S2，S5均小于均小于0, S6，S7，均大于均大于0CS1，S2，S9均小于均小于0, S10，S11，均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13，均大于均大于0nSn解析：解析：(1)等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an2n1，Snn22n. n2，3451275.故选故选B.nSn答案：答案：(1)B(2)C考点四考点四等差数列的证明等差数列的证明点评：点评：判断或证明数列是等差数列的方法有：判断或证明数列是等差数列的方法有：(1)定义法：定义法：an1and(常数常数)(nN*)an是等差数列是等差数列(2)中项公式法：中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数是等差数列列(3)通项公式法：通项公式法：anknb(k，b是常数是常数)(nN*)an是等是等差数列差数列(4)前前n项和公式法：项和公式法：SnAn2Bn(A，B是常数是常数)(nN*) an是等差数列是等差数列变式探究变式探究考点五考点五等差数列中的最值问题等差数列中的最值问题【例【例5】(2012北京市东城区期末北京市东城区期末)在等差数列在等差数列an中，若中，若a5a74，a6a82，则数列，则数列an的公差等于的公差等于_；其前；其前n项和项和Sn的最大值为的最大值为_(法三法三)将已知两式相减，得将已知两式相减，得2d4(2)，d3，又由中项公式得又由中项公式得a620，a710，根据等差数列的单调，根据等差数列的单调性知，该数列的前性知，该数列的前6项都大于项都大于0，从第，从第7项起都是负值，项起都是负值，前前6项和最大，又可得项和最大，又可得a117，S6 57. 1662aa点评：点评：由于公差不等于零的等差数列不是单调递增的就由于公差不等于零的等差数列不是单调递增的就是单调递减的，求其前是单调递减的，求其前n项和项和Sn的最值时，可以建立的最值时，可以建立Sn关于项关于项数数n的函数关系，用二次函数的方法求解，如法一；也可以通的函数关系，用二次函数的方法求解，如法一；也可以通过数列中的项的正负变化过数列中的项的正负变化(也要考虑可能等于零的项也要考虑可能等于零的项)确定何时确定何时Sn取得最值，如法二、法三取得最值，如法二、法三变式探究变式探究5. (2012厦门市模拟厦门市模拟)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S410，S515，则，则a4的最大值为的最大值为_考点六考点六与等差数列有关的创新问题与等差数列有关的创新问题变式探究变式探究6(2012上海五校联合调研上海五校联合调研)对于实数对于实数x，用，用x表示不超表示不超过过x的最大整数，如的最大整数，如0.980，1.21.若若nN*，an ，Sn为数列为数列an的前的前n项和，则项和，则S4n等于等于()A2n2n B2n22n C2n2n D2n22n4n解析：解析：当当n1,2,3时，数列的前时，数列的前3项都为项都为0；当；当n4,5,6,7时，时，数列的第数列的第4到第到第7项都为项都为1；当；当n8,9,10,11时，数列的第时，数列的第8到第到第11项都为项都为2；以此类推，；以此类推，a4n4a4n3a4n2a4n1n1，a4nn，S4n30412(n1)n，即，即S4n2n2n.故选故选A.答案：答案：A课时升华课时升华 1理解等差数列的定义与特征确定等差数列通项、前理解等差数列的定义与特征确定等差数列通项、前n项和解析式的关键是确定首项项和解析式的关键是确定首项a1和公差和公差d. 2通项的拓展：通项的拓展：anam(nm)d. 3等差数列中的巧妙设元：三个数成等差数列可设为等差数列中的巧妙设元：三个数成等差数列可设为ad，a，ad；四个数成等差数列可设为；四个数成等差数列可设为a3d，ad，ad，a3d.4等差数列等差数列an中，若能灵活运用以下性质中，若能灵活运用以下性质(即下标和性即下标和性质质)：“若若pqmn，则有，则有apaqaman；若；若2mpq，则有则有2amapaq(p，q，m，nN*)”，可使解题过程简洁明，可使解题过程简洁明快快5方程思想的应用：利用公式列方程方程思想的应用：利用公式列方程(组组)，解决，解决“知三求知三求二二”(即知道即知道an，a1，n，d，Sn这五个量中的任意三个就可以求这五个量中的任意三个就可以求出其余的两个出其余的两个)问题，要求选用公式要恰当问题，要求选用公式要恰当特别要注意运用函数、方程的观点和方法，揭示等差数列特别要注意运用函数、方程的观点和方法，揭示等差数列的特征及基本量之间的关系的特征及基本量之间的关系.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012辽宁卷辽宁卷)在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a4a816，则，则a2a10()A12 B16 C20 D24解析：解析：由等差数列的性质由等差数列的性质mnij，m，n，i，jN*，则则amanaiaj，故而，故而a4a8a2a1016.故选故选B.答案：答案：B2(2012湖北卷湖北卷)已知等差数列已知等差数列an前三项的和为前三项的和为3，前，前三项的积为三项的积为8.(1)求等差数列求等差数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若a2，a3，a1成等比数列，求数列成等比数列，求数列|an|的前的前n项和项和所以由等差数列通项公式可得所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或或an43(n1)3n7.故故an3n5或或an3n7.记数列记数列|an|的前的前n项和为项和为Sn.当当n1时，时，S1|a1|4；当当n2时，时，S2|a1|a2|5；当当n3时，时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)高考预测高考预测1(2012山东实验中学第一次诊断山东实验中学第一次诊断)已知已知an为等差数列，为等差数列，其公差为其公差为2，且，且a7是是a3与与a9的等比中项，的等比中项，Sn为为an的前的前n项和，项和，nN*，则，则S10的值为的值为()A110 B. 90 C. 90 D. 110解析：解析：a7是是a3 与与a9的等比中项，公差为的等比中项，公差为2，所以，所以 a3a9，所以，所以 (a78)(a74)，解得，解得 a78，所以，所以a120，所以所以S10102010 (2)110.故选故选D.答案：答案：D27a27a92
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