资源描述
第40课 探索型问题1条件探索型问题：给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，需要采用证明、推断去探索发现并补充完善，使结论成立它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因2结论探索型问题：给定明确条件但未明确结论或结论不唯一，要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，然后对猜想的结论进行证明这类题主要考查解题者的发散思维和所学基本知识的应用能力要点梳理要点梳理3存在探索型问题：指在一定条件下需探索发现某种数学关系是否存在的问题解题时一般是先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论1按探索对象分类 按探索对象的不同，探索题可分为条件探索题和结论探索题，即执果索因和执因导果2按探索方法分类 (1)直观探索法，对所学的新知识的思维迁移，进行发现，这种方法多用于图形性质的发现； (2)归纳探索法，让读者对某些单个的、特殊的事物进行分析比较，从中总结出规律性的东西，从而进行发现； (3)类比探索法，把所要解决的新问题和与之有关的问题进行分类比较，发现它们之间的共同特点和规律 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1(2010湛江)观察下列算式：313, 329, 3327, 3481, 35243, 36729, 372187, 386561，通过观察，用你所发现的规律确定32010的个位数字是() A3 B9 C7 D1 解析：通过观察可知规律：幂的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1， ，所以2010除以4，得余数是2，幂的个位数字是9.基础自测基础自测B2(2011綦江綦江)如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第第2011个格子中的数为个格子中的数为() A. 3 B2 C0 D1 解析：由题意得解析：由题意得3ababcbc1， 得得a1，c3； 201167031， 第第2011个格子中的数为个格子中的数为3.31b31b3abc12A3(2011嘉兴)一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是() A2011 B2011 C2012 D2013 解析：设这个纸环链共有5x个纸环，只有当5x122013, 5x2025，x405，是整数，故选D.D4(2011安顺)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0,0)(0,1) (1,1) (1,0)，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是() A(4,0) B(5,0) C(0,5) D(5,5)B解析：当跳蚤所在位置在第一象限的角平分线上， 点(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)， 所对应的时间分别为第2秒、第6秒、第12秒、第20秒， 24681030， 在第30秒，跳蚤所住位置是(5,5)， 则第35秒的位置是(5,0)5(2011镇江)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分 别为A(1,1)，B(1,1)，C(1,1)，D(1,1)，y轴上有一点P(0,2)作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，按此操作下去，则点P2011的坐标为() A(0,2) B(2,0) C(0,2) D(2,0) 解析：易求点P1(2,0)，P2(0,2)，P3(2,0)，P4(0,2)，P5(2,0)，P6(0,2)，而201145023， 故点P2011的坐标同点P3(2,0)，所以选D.D题型一规律探索型问题【例 1】 如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1,0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按 逆时针方向旋转45，长度伸长 为OP1的2倍，得到线段OP2；如 此下去，得到线段OP3，OP4， ，OPn. (n为正整数) (1)求点P6的坐标； (2)求P5OP6的面积；题型分类题型分类 深度剖析深度剖析(3)我们规定：把点Pn(xn，yn)(n0，1,2,3，)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|，|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来 解：(1)P6(0,64) (2)SP5OP6 6416 512 . (3)点Pn的坐标可分三类情况： 当n8k或n8k4时(其中k为自然数)，点Pn落在x轴上， 此时，点Pn的绝对坐标为(2n,0)；12 2 2 当n8k1或8k3或8k5或8k7时(其中k为自然数)，点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为( 2n， 2n)，即(2n1 ，2n1 )当n8k2或8k6时(其中k为自然数)，点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(0,2n)22 22 2 2 探究提高 本题属于规律探索型问题，数学对象所具备的状态或关系不明确时，需对其本质属性进行探索，从而寻求、发现其所服从的某一特定规律或具有的不变性解题方法一般是利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律知能迁移1已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：x210；x2x20；x22x30； x2(n1)xn0. (1)请解上述一元二次方程、 ； (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可 解：(1)方程x210的解是x11，x21； 方程x2x20的解是x11，x22； 方程x22x30的解是x11，x23； 方程 x2(n1)xn0的解是x11，x2n. (2)这n个方程都有一个根是x1.n 题型二存在探索型问题【例 2】 已知：如图，ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)当t为何值时，PBQ是直角三角形？ (2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y 与t的关系式；是否存在某一时刻t，使 四边形APQC的面积是ABC面积的 ？ 如果存在，求出相应的t值；若不存在， 说明理由解：(1)当BPQ90时， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt. cosB ，BPBQcosB，即3tt . 解之，得t2. 当BQP90时， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt， cosB ， BQBPcosB，即t(3t) . 解之，得t1. 综上，t1或t2时，PBQ是直角三角形BPBQ 12 BQBP 12 (2)S四边形APQCSABCSPBQ，y 33sin60 (3t)tsin60 t2 t .又S四边形APQC SABC， t2 ( 33sin60)，整理得，t23t30，(3)24131)，BP1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC BC的值；(结果用含m的式子表示) (3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的 圆B和以CA为半径的圆C的位置关系， 并写出相应m的取值范围 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)证明：AP2PBPBBOPO， AO2PO. 2. POCO， . COABOC， CAOBCO. 4分AOPOPOBO AOCOCOBO (2)解：设OPx，则OBx1，OAxm，OP是OA、OB的比例中项，x2(x1)(xm)，得x ，即OP . OB .OP是OA、OB的比例中项，即 ，又OPOC， . 6分设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P、点Q不重合时，AOCCOB，CAOBCO. . m. 8分mm1 mm1 1m1 OAOPOPOB OAOCOCOB ACBCOCOB ACBCOCOBOPOB (3)由(2)得，ACBC，且ACBC(m1)BC(m1)，ACBC(m1)BC，圆B和圆C的圆心距dBC，显然BC(m1)BC，圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含 11分当圆B与圆C相交时，(m1)BCBC(m1)BC，得0m1，1m2； 12分当圆B与圆C内切时，(m1)BCBC，得m2； 13分当圆B与圆C内含时，BC2. 14分探究提高 本题给定条件但无明确结论，或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论知能迁移3(2011绵阳)已知ABC是等腰直角三角形，A90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1. (1)若BD是AC的中线，如图2，求 的值； (2)若BD是ABC的角平分线，如图3，求 的值； (3)结合(1)、(2)，请你推断 的值的取值范围(直接写出结论，不必证明)，并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由解：(1)设ADx，则AB2x， 根据勾股定理，可得BD x， AE，ADBEDC， ABDECD， ， 可得CE x，所以 . (2)设ADx，根据角平分线定理， 可知DC x，AB xx， 由勾股定理可知BD . 由ABDECD，得 ， 由勾股定理知EC2CD2DE2， EC ， 2.5 BDCDABCE 25 BDCE52 2 2 42 2 x2 ABADECDE1 21 x22 2 BDCE (3)由前面两步的结论可以看出，由前面两步的结论可以看出， 1，所以这样的点，所以这样的点是存在的，是存在的，D在在AC边的五等分点和点边的五等分点和点A之间之间BDCE 题型四条件探索型问题【例 4】 已知：如图，在RtACB中，C90，AC4 cm， BC3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s； 连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0t2)，解答下列问题： (1)当t为何值时，PQBC? (2)设AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和 面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明 理由；(4)如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为 菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明 理由解：(1)由题意：BPt cm, AQ2t cm， 则CQ(42t) cm， C90，AC4 cm，BC3 cm， AB5 cm， AP(5t) cm. PQBC， APQABC. AP ABAQ AC， 即(5t) 52t 4， 解得t ，当t为(s)时，PQBC.107 (2)过点Q作QDAB于点D，则易证AQDABC， AQ QDAB BC，2t DQ5 3， QD t. APQ的面积： APQD (5t ) t， y与t之间的函数关系为：y3t t2.(3)由题意：当面积被平分时有：3t t2 34， 解得：t ， 当周长被平分时有：(5t)2tt(42t)3， 解得t1， 不存在这样t的值65 12 12 65 35 35 12 12 5 52 (4)过点P作PEBC于E，易证PBEABC， 当PEQC时，PQC为等腰三角形，此时四边形PQPC为菱形 理由如下： PBEABC， PE PBAC AB，PE t4 5，解得：PE t. QC42t， 2 t42t，解得t ， 当t 时，四边形PQPC为菱形 此时，PE ，BE ，CE . 在RtCPE中，根据勾股定理可知： PC ， 此菱形的边长为 cm.45 45 109 109 89 23 73 PE2CE2 892 7325059 5059 探究提高探究提高 本题结论明确，而本题结论明确，而需探索发现使结论成需探索发现使结论成立的条件立的条件知能迁移4如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折痕CE5 ，且tanEDA . (1)判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； (2)求直线CE与x轴交点P的坐标； (3)是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成 的三角形相似？如果存在，请直接 写出其解析式并画出相应的直线； 如果不存在，请说明理由54 解：(1)OCD与ADE相似理由如下： 由折叠知：CDEB90， 1290， 1390， 23. 又CODDAE90， OCDADE.图图1(2)tanEDA ， 设AE3t，则AD4t. 由勾股定理得DE5t. OCABAEEBAEDE 3t5t8t. 由(1)可知，OCDADE， ， ，CD10t. 在DCE中，CD2DE2CE2， (10t)2(5t)2(5 )2，解得t1. OC8，AE3，点C的坐标为(0,8)， 点E的坐标为(10,3)AEAD34 OCADCDDE 8t4tCD5t 5 设直线CE的解析式为ykxb，y x8，则点P的坐标为(16,0)(3)满足条件的直线l有2条：y2x12，y2x12.如图2中的l1、l2. 10kb3，b8，解得解得 k12，b8， 12 28规律探索问题分析不严密试题探索nn的正方形钉子板上(n是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与 ，所以不同长度值的线段只有二种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S2；当n3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1、 、2、 、2 五种，比n2时增加了三种，即S235.易错警示易错警示(1)观察下图，并填写下表：观察下图，并填写下表：(2)写出写出(n1)(n1)和和nn的两个钉子板上，不同长度值的线的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系段种数之间的关系(用式子或语言表述均可用式子或语言表述均可)；(3)对对nn的钉子板，写出用的钉子板，写出用n表示表示S的代数式的代数式钉子数钉子数(nn)S值值22233234423()55()学生答案展示 解：(1)4；2345. (2)设(n1)(n1)和nn两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为Sn1和Sn，则 Sn1234(n1)；Sn23n. (3)Sn234n.剖析(1)填对了； (2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S值之间关系，而不是每个钉子板上的S值与每边上的钉子数n的关系，显然，Sn比Sn1的值大n； (3)写对了，但应化成不含省略号的代数式正解(1)4；2345. (2)设(n1)(n1)和nn两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为Sn1和Sn，则 Sn1234(n1)；Sn23n. SnSn1n， 即在(n1)(n1)和nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n种 (3)Sn234n(1234n)1 .n n1 21n2n22 批阅笔记 错在分析不严密，审题不清楚，还有变形不熟练，没有按问题的要求写好答案在进行规律总结时，考虑问题要全面并注意等式两边的式子随着“序号”变化而变化的情况，最重要的是总结规律要加以验证，若不对，则重新观察归纳. 方法与技巧 1. 规律探索型问题：通过观察、类比特殊情况中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确 2. 条件探索型问题：该类问题结论明确，需要完备条件，因此需要利用结论进行积极的探索，分析已知条件，要使结论成立还需什么条件，写出符合题意的条件思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 结论探索型问题：该类问题仅给出某种情境而没有明确的结论，或结论不唯一，或结论需要类比、引伸推广，或题目给出特例，要通过归纳总结得出一般结论探索时要将观察、猜想和结论有机地结合起来 4. 存在探索型问题：是指在某种条件下判断具有某种性质的数学结论是否存在的一类问题解题时先假设结论成立，以此为条件进行运算或推理若无矛盾，则假设成立，由此得出符合条件的结论成立；否则结论不存在失误与防范 1探索型问题的解答，应突出数学思想方法，主要有等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合的思想，以及分析法、反证法、待定系数法、配方法、换元法等运用这些思想解答，可以提高解题的能力，举一反三，防止就题论题，陷入题海，与此同时，要注意总结思路，把握常见题型，抓住解题规律 2解探索型问题应注意以下三点： (1)认真审题，确定目标，也就是把握题中涉及的有关概念、公式、定理、法则、方法，尽可能地进行联想，以获得最佳解题途径； (2)善于挖掘隐含条件，提高准确性，做到不漏条件、判断准确、运算合理； (3)开阔思路，因题定法，此类问题解答无定法，只有在分析命题的基础上联想并利用与之有关的概念，把问题转化为熟悉的情形处理，才能找到切实可行的解法完成考点跟踪训练 40
展开阅读全文