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数学（人教A版 理科）(AH) 第第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差节离散型随机变量的分布列及均值与方差 数学（人教A版 理科）(AH) 基 础 梳 理 数学（人教A版 理科）(AH) 1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 ，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量随机变量数学（人教A版 理科）(AH) 2离散型随机变量的分布列(1)定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率为P(Xxi)pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了简单起见，也用等式_ _表示X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipnP(Xxi)pi，i1，2，n数学（人教A版 理科）(AH) pi0，i1,2，n 数学（人教A版 理科）(AH) 超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)_，(k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*)，称分布列为超几何分布列如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 3均值与方差(1)均值称E(X)_为随机变量X的均值或_它反映了离散型随机变量取值的_(2)方差称D(X)_ 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_，称其算术平方根为_随机变量X的标准差 x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平平均偏离程度数学（人教A版 理科）(AH) (3)均值与方差的性质E(aXb).D(aXb)(a，b为常数)aE(X)ba2D(X)数学（人教A版 理科）(AH) 质疑探究：随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个随机变量，随着试验次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 考 点 突 破 数学（人教A版 理科）(AH) 例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率离散型随机变量的分布列 数学（人教A版 理科）(AH) 思维导引(1)用组合数分别求出任取3个小球及3个小球数字各不相同的取法，然后利用古典概型的公式求值；(2)先依据题意确定X的取值，然后分别求出每个取值所对应事件的概率，列成表格的形式即可；(3)确定计分介于20分到40分之间所对应的X的取值，利用互斥事件的加法公式求解数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 求解离散型随机变量的分布列，首先要根据实际情况确定离散型随机变量的取值，然后利用排列、组合与概率知识求出每个变量取值所对应事件的概率，最后以表格的形式给出数学（人教A版 理科）(AH) 即时突破1 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 例2(2013年高考天津卷)一个盒子里装有7张卡片， 其中有红色卡片4张， 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张， 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率. (2) 在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望 离散型随机变量的期望与方差数学（人教A版 理科）(AH) 思维导引(1)利用组合的知识分别求出任取4张卡片以及含有编号为3的取法种数，然后代入古典概型公式中求解；(2)先确定X的取值，求出相应的分布列，然后代入期望的公式求解数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)理解的意义，写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值的定义求E()；(5)由方差的定义求D()数学（人教A版 理科）(AH) 即时突破2 (2014河北省衡水中学高三第八次模拟)为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人(1)求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 例3(2014山西省太原市第五中学高三月考)近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 超几何分布患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 思维导引(1)先根据已知概率求出患心肺疾病的人数，从而得出表格中的各个数据；(2)利用22列联表中的数据代入公式求K2，然后利用临界值表进行判断；(3)先确定的取值，利用超几何分布的概率公式求其每个取值所对应的概率，列出分布列，最后代入期望与方差的计算公式求解数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型数学（人教A版 理科）(AH) 即时突破3 某校高一年级共有学生320人为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位：分钟)，按照以下区间分为7组：0,10)，10，20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60，70，得到频率分布直方图如图已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的有4人数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) (1)求n的值；(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(3)问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望数学（人教A版 理科）(AH) 解：(1)由题图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06，则n(0.020.06)4，解得n50.(2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi，由题图知p10.02，p20.06，p30.3，p40.4，p50.12，p60.08，p70.02，数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 离散型随机变量的分布列、期望与方差典例(12分)(2013年高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 数学（人教A版 理科）(AH) 答题模板失分警示第一步：弄清题目意思，找到内部及边界各个点；第二步：计算出从三角形地块内部及边界各取一株作物结果种数及相近的种数；第三步：数出各点相近点的株数，分类；第四步：求每类的概率；第五步：列出分布列；第六步：计算期望(1)不懂题意，无法解答；(2)不知从边界及内部各取一点的计算方法致误；(3)数每个相近点个数致误；(4)计算每个Y的值对应的概率有误；(5)不知道求期望的公式导致错误
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