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第第5课时空间中的垂直关系课时空间中的垂直关系第八章立体几何第八章立体几何教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)定义定义如果一条直线和一个平面相交于点如果一条直线和一个平面相交于点O,并且和这个平面内过交点并且和这个平面内过交点(O)的的_直线都垂直直线都垂直,就说这条直线和这个平就说这条直线和这个平面互相垂直面互相垂直.任何任何(2)判定定理及推论判定定理及推论判定定理：如果一条直线与平面内的判定定理：如果一条直线与平面内的_垂直垂直,则这条直线与这个则这条直线与这个平面垂直平面垂直,符号表示：符号表示：a,b,abP,la,lbl.推论推论1：如果在两条平行直线中：如果在两条平行直线中,有一条有一条垂直于平面垂直于平面,那么另一条直线也那么另一条直线也_于这于这个平面个平面.符号表示：符号表示：ab,ab.两条相交直线两条相交直线垂直垂直推论推论2：如果两条直线：如果两条直线_同一个平同一个平面面,那么这两条直线平行那么这两条直线平行.符号表示：符号表示：a,bab.(3)直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面如果一条直线垂直于一个平面,那么那么它就和平面内的它就和平面内的_直线垂直直线垂直.上述推论上述推论2.垂直于垂直于任意一条任意一条2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定义定义如果两个相交平面的交线与第三个平面如果两个相交平面的交线与第三个平面_,又这两个平面与第三个平面相又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线交所得的两条交线_,就称这两就称这两个平面互相垂直个平面互相垂直(如墙角的两个竖面如墙角的两个竖面).垂直垂直互相垂直互相垂直(2)判定定理判定定理如果一个平面过另一个平面的如果一个平面过另一个平面的_,则两个平面互相垂直则两个平面互相垂直.符号表示为：符号表示为：a,a.一条垂线一条垂线(3)性质定理性质定理如果两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直,那么在一个平那么在一个平面内垂直于它们面内垂直于它们_的直线垂直于另的直线垂直于另一个平面一个平面.符号表示为：符号表示为：_.交线交线,l,b,blb思考探究思考探究垂直于同一平面的两平面是否平行垂直于同一平面的两平面是否平行?提示：提示：可能平行可能平行,也可能相交也可能相交.3.直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角的角.当直线与平面垂直和平行当直线与平面垂直和平行(含直线在平含直线在平面内面内)时时,规定直线和平面所成的角分别规定直线和平面所成的角分别为为_.90和和0课前热身课前热身1.(2012德州调研德州调研)已知已知,表示两个表示两个不同的平面不同的平面,m为平面为平面内的一条直线内的一条直线,则则“m ”是是“ ”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A2.如图如图,如果如果MC菱形菱形ABCD所在平面所在平面,那么那么MA与与BD的位置关系是的位置关系是()A.平行平行B.垂直但不相交垂直但不相交C.异面异面D.相交但不垂直相交但不垂直答案：答案：B3.若若m,n是两条不同的直线是两条不同的直线,是三是三个不同的平面个不同的平面,则下列命题中的真命题则下列命题中的真命题是是()A.若若m,则则mB.若若m,m,则则C.若若,则则D.若若m,n,mn,则则答案：答案：B4.(教材改编教材改编)ABC中中,ABC90,PA平面平面ABC,则图中直角三角形的个数是则图中直角三角形的个数是_.答案：答案：45.已知平面已知平面、和直线和直线m,给出条件：给出条件：m;m;m;.(1)当满足条件当满足条件_时时,有有m;(2)当满足条件当满足条件_时时,有有m.(填填所选条件的序号所选条件的序号)答案：答案：考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理利用判定定理.(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(ab,ab).(3)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a,a).(4)利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时,该直线垂直于平该直线垂直于平面内的任一直线面内的任一直线,常用来证明线线垂直常用来证明线线垂直. 如图如图,已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在的平面所在的平面,M、N分别是分别是AB、PC的中的中点点,若若PDA45,求证：求证：MN平面平面PCD.例例1四边形四边形AMNE为平行四边形为平行四边形.MNAE.PA平面平面ABCD,PDA45,PAD为等腰直角三角形为等腰直角三角形.AEPD.又又CDAD,CDPA,CD平面平面PAD,而而AE平面平面PAD,CDAE.又又CDPDD,AE平面平面PCD.MN平面平面PCD.【方法指导方法指导】欲证线面垂直欲证线面垂直,一般是一般是先证线线垂直先证线线垂直,而线线垂直一般来源于而线线垂直一般来源于线面垂直、面面垂直及几何体本身的特线面垂直、面面垂直及几何体本身的特点点,如等腰三角形底边的中线、直棱柱如等腰三角形底边的中线、直棱柱等等.互动探究互动探究本例中本例中,连接连接BD,则当矩形则当矩形ABCD满足什满足什么条件时么条件时,PCBD?解：若解：若PCBD,又又PABD,PAPCP,BD平面平面PAC,BDAC,即矩形即矩形ABCD的对角线互相垂直的对角线互相垂直.矩形矩形ABCD为正方形为正方形,即当矩形即当矩形ABCD为正方形时为正方形时,PCBD.考点考点2平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质证明面面垂直常用的方法有：证明面面垂直常用的方法有：(1)利用利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明证明,即证明其中一个平面经过另一个即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线平面的一条垂线,可以先找到其中一个可以先找到其中一个平面的一条垂线平面的一条垂线,再证明这条垂线在另再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线一个平面内或与另一个平面的一条垂线平行平行.(2)利用定义转化利用定义转化,证明二面角的平面角证明二面角的平面角为直角为直角,可先作出二面角的平面角可先作出二面角的平面角,再由再由条件证明这个平面角是直角即可条件证明这个平面角是直角即可. (2010高考安徽卷高考安徽卷)如图如图,在多面体在多面体ABCDEF中中,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AB2EF2,EFAB,EFFB,BFC90,BFFC,H为为BC的中点的中点.(1)求证：求证：FH平面平面EDB;(2)求证：求证：AC平面平面EDB;(3)求四面体求四面体BDEF的体积的体积.例例2【思路分析思路分析】AC与与BD的交点为的交点为G,连连EG,证明证明EGFH,EGAC.考点考点3与垂直有关的探究性问题与垂直有关的探究性问题对于这类问题应先把题目中已确定的位对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的推置、大小关系作出全面认识和正确的推理理,再对变化不定的线面关系进行观察再对变化不定的线面关系进行观察,尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断行判断,另外还要灵活运用观察、联想、类比、另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法科学的思维方法,才能使开放性问题快才能使开放性问题快速有效地解决速有效地解决. 如图如图,四棱锥四棱锥PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB60的菱形的菱形,侧面侧面PAD为正三角形为正三角形,其所在平面垂直于底其所在平面垂直于底面面ABCD.(1)求证：求证：ADPB;(2)若若E为为BC边的中点边的中点,能否在棱能否在棱PC上找上找到一点到一点F,使平面使平面DEF平面平面ABCD?并证并证明你的结论明你的结论.例例3【名师点评名师点评】本题也可取本题也可取PC的中点的中点F,连连PE,证明面证明面PBG面面FED,由由(1)知知PG面面ABCD,面面PBG面面ABCD,面面FED面面ABCD.方法技巧方法技巧(3)判定定理判定定理2：ab,ab;( 4 ) 面 面 平 行 的 性 质 ：面 面 平 行 的 性 质 ：,aa;(5)面面垂直的性质：面面垂直的性质：,l,a,ala.2.证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为90;(2)平面几何中证明线线垂直的方法平面几何中证明线线垂直的方法;( 3 ) 线 面 垂 直 的 性 质 ：线 面 垂 直 的 性 质 ：a,bab;(4)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a,bab.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交利用定义：两个平面相交,所成的二所成的二面角是直二面角面角是直二面角;(2)判定定理：判定定理：a,a.一般要用性质定理一般要用性质定理,在一个平面内作交在一个平面内作交线的垂线线的垂线,使之转化为线面垂直使之转化为线面垂直,然后进然后进一步转化为线线垂直一步转化为线线垂直.故熟练掌握故熟练掌握“线线线线垂直垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化条件是解间的转化条件是解决这类问题的关键决这类问题的关键.失误防范失误防范1.在解决直线与平面垂直的问题过程在解决直线与平面垂直的问题过程中中,要注意直线与平面垂直定义要注意直线与平面垂直定义,判定定判定定理和性质定理的联合交替使用理和性质定理的联合交替使用,即注意即注意线线垂直和线面垂直的互相转化线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据个重要依据.我们要作一个平面的一条我们要作一个平面的一条垂线垂线,通常是先找这个平面的一个垂面通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中在这个垂面中,作交线的垂线即可作交线的垂线即可.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,线面垂直的线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质判定与性质、面面垂直的判定与性质,以及线面角、二面角的求法等是高考以及线面角、二面角的求法等是高考的热点的热点,题型既有选择题、填空题题型既有选择题、填空题,又有解答题又有解答题,难度中等偏高难度中等偏高.客观题突出客观题突出“小而巧小而巧”,主要考查垂直的判定及性质主要考查垂直的判定及性质,考查线面角、二面角的概念及求法考查线面角、二面角的概念及求法,求求解时多利用空间向量法求解解时多利用空间向量法求解;主观题考主观题考查较全面查较全面,在考查上述知识的同时在考查上述知识的同时,还注还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力及分析问题、解决问题的能力.预测预测2013年高考仍将以线面垂直、面年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考查点面垂直、线面角、二面角为主要考查点,重点考查学生的空间想象能力以及逻辑重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力推理能力.规范解答规范解答例例
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