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第5课时椭圆第八章平面解析几何第八章平面解析几何回归教材回归教材 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1椭圆的定义椭圆的定义(1)平面内一点平面内一点P与两定点与两定点F1、F2的距离的和等的距离的和等于常数于常数(大于大于F1F2)的点的轨迹，即的点的轨迹，即_.PF1PF22aF1F2若常数等于若常数等于F1F2，则轨迹是，则轨迹是_.若常数小于若常数小于F1F2，则轨迹，则轨迹_注意：一定要注意椭圆定义中限制条注意：一定要注意椭圆定义中限制条件件“大于大于F1F2”是否满足是否满足线段线段F1F2不存在不存在(2)平面内点平面内点M与定点与定点F的距离和它到的距离和它到定直线定直线l的距离的距离d的比是常数的比是常数e(0e1)的点的轨迹，即的点的轨迹，即_.定点定点F为椭圆的为椭圆的_，定直线，定直线l为椭为椭圆的圆的_焦点焦点该焦点对应的准线该焦点对应的准线2椭圆中的几何量椭圆中的几何量(1)长轴长轴A1A2_，短轴，短轴B1B2_，焦距焦距F1F2_，且满足，且满足_.(2)离心率：离心率：e_(0e0)，c2a2b2离离心心率率_通径通径_提示：提示：不对，此处并没有指明不对，此处并没有指明ab0，即此方程中，即此方程中a2，b2与标准方程中与标准方程中a2，b2的意义不同的意义不同答案：答案：(3,4)(4,5)答案：答案：16或或144椭圆椭圆25x29y2225的长轴长、的长轴长、短轴长、离心率依次是短轴长、离心率依次是_考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1椭圆的定义及标准方程椭圆的定义及标准方程例例1(1)求过点求过点A(2,0)且与圆且与圆x24xy2320内切的圆的圆心的轨迹方程内切的圆的圆心的轨迹方程；(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的长是短轴长的3倍，并且过点倍，并且过点P(3,0)，求，求椭圆的方程；椭圆的方程；【解解】(1)将圆的方程化为标准形式将圆的方程化为标准形式(x2)2y262，圆心坐标为，圆心坐标为B(2,0)，半径为，半径为6.作出草图如下作出草图如下设动圆圆心设动圆圆心M的坐标为的坐标为(x，y)，由于动，由于动圆与已知圆相内切，设切点为圆与已知圆相内切，设切点为C.已知已知圆圆(大圆大圆)半径与动圆半径与动圆(小圆小圆)半径之差等半径之差等于两圆心的距离，即于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而，而|BC|6，|BM|CM|6，又又|CM|AM|，|BM|AM|6，根据椭圆的定义知点根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点的轨迹是以点B(2,0)和点和点A(2,0)为焦点、线段为焦点、线段AB的中点的中点(0,0)为中心的椭圆为中心的椭圆(3)设椭圆的方程为设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0且且mn)椭圆经过椭圆经过P1、P2点，点，P1、P2点的点的坐标适合椭圆方程，坐标适合椭圆方程，【名师点评名师点评】(1)根据已知条件求椭根据已知条件求椭圆方程时，主要有以下几个步骤：圆方程时，主要有以下几个步骤：定位：由条件确定椭圆的中心、焦点定位：由条件确定椭圆的中心、焦点所在的坐标轴，从而确定所求的方程所在的坐标轴，从而确定所求的方程是标准方程如无法确定焦点所在的是标准方程如无法确定焦点所在的坐标轴，则要分焦点在坐标轴，则要分焦点在x轴上和焦点在轴上和焦点在y轴上两种情况讨论；轴上两种情况讨论；定量：当根据条件设出椭圆方程后定量：当根据条件设出椭圆方程后，要设法建立基本量，要设法建立基本量a、b、c满足的满足的方程组，解方程组求出基本量方程组，解方程组求出基本量(2)若解题过程中不涉及椭圆的焦点坐若解题过程中不涉及椭圆的焦点坐标、准线方程等量时，可设椭圆方程标、准线方程等量时，可设椭圆方程是是mx2ny21(m0，n0，mn)这样可避开讨论这样可避开讨论变式训练变式训练1在在ABC中，已知中，已知B、C坐标，分坐标，分别为别为B(3,0)和和C(3,0)且且ABC的周的周长为长为16，则顶点，则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为_考点考点2椭圆的性质及应用椭圆的性质及应用主要问题有两类：一类根据椭圆方程主要问题有两类：一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，另一类根据椭研究椭圆的几何性质，另一类根据椭圆几何性质，综合其他知识求椭圆方圆几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题程或者研究其他问题例例2 (1)若F1PF260，求PF1F2的面积； (2)若存在点P，使F1PF290，求椭圆离心率的取值范围； (3)若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，求椭圆离心率【名师点评名师点评】题中题中PF1F2称为椭圆称为椭圆的的“焦点三角形焦点三角形”，根据，根据“焦点三角焦点三角形形”的特征，解题的主要途径是：椭的特征，解题的主要途径是：椭圆的两个定义圆的两个定义(或焦半径公式或焦半径公式)和正、和正、余弦余弦(或勾股或勾股)定理，以及数形结合思定理，以及数形结合思想的应用想的应用考点考点3与椭圆有关的综合问题与椭圆有关的综合问题已知圆已知圆O：x2y28交交x轴于轴于A，B两点，曲线两点，曲线C是以是以AB为长轴，直为长轴，直线线l：x4为准线的椭圆为准线的椭圆例例3(1)求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；(2)若若M是直线是直线l上的任意一点，以上的任意一点，以OM为直径的圆为直径的圆K与圆与圆O相交于相交于P，Q两点两点，求证：直线，求证：直线PQ必过定点必过定点E，并求出，并求出点点E的坐标；的坐标；【名师点评名师点评】解决椭圆综合题往往解决椭圆综合题往往要进行复杂的计算，为避免较为复杂要进行复杂的计算，为避免较为复杂的计算要注意利用向量的坐标运算或的计算要注意利用向量的坐标运算或韦达定理韦达定理(1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2)若圆若圆M与与y轴有两个交点，求点轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；横坐标的取值范围；(3)是否存在定圆是否存在定圆N，使得圆，使得圆N与圆与圆M恒相切？若存在，求出圆恒相切？若存在，求出圆N的方程；的方程；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由(3)存在圆存在圆N：(x1)2y216与圆与圆M恒相切，圆心恒相切，圆心N为椭圆的左焦点为椭圆的左焦点F1.由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，|MF1|MF2|2a4，|MF1|4|MF2|.两圆相内切两圆相内切方法技巧方法技巧1椭圆的定义有两种形式，习惯上称椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义在第一定义中为第一定义和第二定义在第一定义中，描述椭圆为，描述椭圆为“到两定点的距离之和等到两定点的距离之和等于定长的点的集合于定长的点的集合(轨迹轨迹)”，其中限制，其中限制条件为条件为“两定点间距离小于定长两定点间距离小于定长”，这，这个定义中的条件是常考内容；个定义中的条件是常考内容；在第二定义中，描述椭圆为在第二定义中，描述椭圆为“到定点到定点和定直线的距离之比等于常数和定直线的距离之比等于常数e(0e1)的点的轨迹的点的轨迹”，其中定点和，其中定点和定直线被称为椭圆的焦点和相应准线定直线被称为椭圆的焦点和相应准线两种定义形式各有侧重，两种定义形式各有侧重， 前者对从圆到椭圆的过渡起到一定作用，容易形成距离之和为定值的“焦点三角形”；后者的作用是将两种不同性质的距离(到定点的距离，到定直线的距离)进行了转化(特别提示：“化斜为直”的应用)因此，在解题中凡涉及点到焦点距离时，可先想到用定义来解决，往往有事半功倍之效2椭圆的标准方程有两种形式，其结椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏明确，在解题时要防止遗漏 并能熟练地应用于解题若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程惟一；若无法确定焦点位置，则需考虑两种形式3求椭圆方程的方法，除了直接根据求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法定义外，常用待定系数法(先定性、再先定性、再定型、后定参定型、后定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，其标准方程时，4熟练掌握常用基本方法的同时，注熟练掌握常用基本方法的同时，注意体会解题过程，并优化解题思维，意体会解题过程，并优化解题思维，特别是化简的过程需仔细揣摩特别是化简的过程需仔细揣摩失误防范失误防范1在椭圆类型不确定时，忘记讨论在椭圆类型不确定时，忘记讨论焦点在焦点在x轴和轴和y轴上两种形式轴上两种形式2直线与椭圆相交，联立方程后，直线与椭圆相交，联立方程后，判别式判别式0，此条件易漏掉，此条件易漏掉3椭圆的长轴长为椭圆的长轴长为2a，短轴长为，短轴长为2b，应用时，错记为，应用时，错记为a、b.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测本节内容是高考必考内容之一，对近几本节内容是高考必考内容之一，对近几年江苏高考试题分析可以看出，对椭圆年江苏高考试题分析可以看出，对椭圆的考查常在大题中，主要是以椭圆为载的考查常在大题中，主要是以椭圆为载体，利用椭圆的基本量及性质，研究直体，利用椭圆的基本量及性质，研究直线、圆等相关图形的性质及位置关系，线、圆等相关图形的性质及位置关系，难度中等偏难，对计算能力要求较高难度中等偏难，对计算能力要求较高，预测，预测2013年高考可能仍延续这一方年高考可能仍延续这一方向，但向量等知识和椭圆综合考查的向，但向量等知识和椭圆综合考查的命题趋势较强应予以高度关注命题趋势较强应予以高度关注规范解答规范解答例例 设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.【解解】由题设得由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0)(1)设点设点P(x，y)，则则PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由由PF2PB24，2分分得得(x2)2y2(x3)2y24， 得kMDkND，所以直线MN过D点 因此，直线MN必过x轴上的定点(1,0).16分【得分技巧得分技巧】解决本题的关键在于解决本题的关键在于(1)会用直接法求曲线的轨迹方程，会用直接法求曲线的轨迹方程，(2)会求两曲线交点，会求两曲线交点，(3)能发现能发现kMDkND.【失分溯源失分溯源】本题难度不大，但对本题难度不大，但对计算能力要求较高，本题绝大部分考计算能力要求较高，本题绝大部分考生失分都在计算不准确生失分都在计算不准确
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