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1911111111.ABCDABC DMNAABBCMD N正方体中， 分别是与的中点，则直线与的夹角的余弦值等于11111120,2,02,0,10,0,22,2,1(22,1)(2,21)1cos91.9CMDNCMD NCM D NCM D NCM D NCMD N 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ， 则点， 所以向量， ， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值等于解析：22(1,2 )(1)|2.A nnnBnnAB 若点， ， ，则的最小值为22222|121126()|22ABnnnnAB 解因为，所以的最小值为析：10511111111423.ABCDABC DABBCCCBCDBB D已知长方体中，则直线和平面所成角的正弦值为1111111114,0,04,4,04,4,24,4,00,4,2cos1610.516416 16BCCACBB D DACBB D DBCBCACBC ACBCAC 如图建立空间直角坐标系，则，显然平面，所以为平面的一个法向解量又，所以， 析：231111114.ABCDABC DEBBAEDABCD在正方体中，点 为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为11111.0,0,1(1,0 )0,1,01(0,11)(1,0)2(1)AAEDADAEDnyz 为原点建系，设棱长为 则， ， 所以， ， 设平面的法向量为，解，析：121202.121021,2,20,0,122cos.3 132.3yzyzzABCD则，所以所以，因为平面的一个法向量为所以 ， 即所成的锐二面角的余弦值为nnnn6 1111425.ABCDCGABCDCGEFABADCGEF已知正方形的边长为 ，平面， ， 分别是，的中点，则点 到平面的距离为0,0,21,1,366 111111CxyzOGGEFCGEFOGd建立如图所示的空间直角坐标系，则 由题意易得平面的一个法向量 所以点 到平面：距解析的离为nnn异面直线所成的角异面直线所成的角111111 21.ABCABCABBBABC B在正三棱柱中，求与所成角【】的大小例111111111116261(0)(22221)(021)26262(1)(1)22220.90 .ABBBBCABBCAB BCABBCABC B 以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系取，则， ，所以，所以，则所以与所成角的大小是【解析】用向量法求异面直线所成的角的关键是构造直线的方向向量，利用向量的数量积进行计算.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,E ,H分别是A1B1和BB1的中点.求：(1)异面直线EH与AD1所成的角的余弦值；(2)异面直线AC1与B1C所成的角的余弦值.【变式练习1】11112,0,02,2,00,2,00,0,110,2,12,1,1(2,2)2,2,12DADCDDxyzABCDCEHB分别以、所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系 则，析，：，解， 1111111111(01)2,0,1 |522,2,12,0,1 | 3 |5.112112cos.55521.5HEADHEADACCBACCBHE ADHE ADEHAD 所以， ， ，因为，所以，所以异面直线与所成的角的余弦值为 11114152cos|5355.5AC CBACBC 因为， ，所以异面直线与所成的角的余弦值为直线与平面所成的角直线与平面所成的角 .2 23.2.SABCDABCDSBCABCDABCABBCSASBSABCSDSAB45212四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，证明：；求直线与平面所成【】角的正弦值例解析：(1)证明：作SOBC，垂足为O，连结AO.由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD.因为SA=SB，所以AO=BO.又ABC=45，所以AOB为等腰直角三角形所以AOOB.如图，以O为坐标原点，OA为x 轴正向，建立直角坐标系Oxyz.( 2 0,0)(02 0)(00)0,0,1( 2 01)(0,2 0)0.ABCSSACBSA CBSABC 则， ， ， ， 所以， 所以 222(0)2222 1()44222 122()(1)(22 0)4422200.ABEESESEGOGGOGOG SEAB OGOGSABSEABOGSABOGDSSDS 取的中点 ，则，连接，取的中点 ，连接，则， 故， ， ， ， 所以， 所以与平面内两条相交直线、垂直， 所以平面与的夹角记为 ，与平面 AB所成的角记为，则 与 互余( 22 2 0)(2 2 21)cos22 122 212244 211111222sin1122.11DOG DSDSOGDSSDSAB 因为，所以，所以，则所以，直线与平面所成的角的正弦值为利用向量法求直线与平面所成的角是通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再转化为直线与平面所成的角，这一过程中向量的数量积发挥了重要作用.【变式练习2】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，如图.BEB1C，E在C1C上，BE交B1C于F.求A1B与平面BED所成角的正弦值.1111(02)0,2,4(02)0,2,44401.CCDCBCCxyzCEcBEc CBBECBBE CBccc 以 为原点，取直线、分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 设， 则， ， ， 因为， 所以， ，得解析：111112,0,11,1,22,0,41030|cos|62 56DEBEDBAABBEDBABABA 又， 则平面的一个法向量为，且 所以与平面所成角的正弦值等于 ， nnnn二面角二面角【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：EF平面PAD；(2)设PD=2CD，求二面角AEFD的正切值. .1,0,0(0,0)(,0)(0,0)(0)(0)22 2(,0)(0,0)22(,0)2DxyzA aPbaa bB aaCaE aFbaaPDGaaEFAG 如图，建立空间直角坐标系证明：设， ，则， ，故， 取的中点， ，则， 显然解析：， .21,0,01,1,00,1,0110,0,2(10)(01)221 1 1()2 2 2111()1,0,12220.1(00)0.2EFAGAGPADEFPADEFPADABCPEFEFMMD EFMDEFEA EFEAEF 故又平面，平面，所以平面不妨设，则，易知的中点， ，则，所以，所以又，所以，所以2cos11110032222=3312236sin1.33.AEFDMD EAMD EAMDEAMP EAMP EAMPEAAEFD 所以向量和的夹角等于二面角的平面角而， ，所以， 所以二面角的正切值为 利用向量的方法求二面角的大小，先求两个面的法向量，再用向量的数量积求出二面角或其补角.【变式练习3】(2010江苏省无锡市质量调研)如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF90，BECF，CEEF，AD，EF2.(1)求异面直线AD与EF所成的角；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为45？3.() 0,0,0( 3 0)( 3 0,0)( 3,0)(0,0)(0,0)CCBCFCDxyzCxyzABaBEbCFc bcCAaBEbFcDa如图，以点 为坐标原点，以，和分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系 设 ， ，则， ， ，析】，【解 21( 3 0,0)( 3 0,0)( 3,0)| 23()41( 31,0)33cos2| |3230 .DACBFEbcFEbcbcFEDA FEDAFEDAFEADEF ， =， =，由，得，所以，所以，-所以， =，所以异面直线与成 22222(1)00|343 3(13)nyzAEFAEEFBCBECFEFbca 设， ，为平面的法向量，则，由，得 ， ，解得， ，nnn2(0,0)3 32cos2| |4273 3.245 .BABEFC BAaBAn BABAaaABAEFC 又因为平面， ，所以 ， =，得到 所以当为时，二面角的大小为nn点到平面的距离点到平面的距离 111144.(4).ABCDABC DOA B C DPCCCCCPOD APHD HAPPABD11111111112在边长为 的正方体中， 是正方形的中心，点 在棱上，且设 在平面上的射影为 ，求证：；求 到平面【】的距离例 111111110,0,42,2,40,4,14,0,02,2,0(441)880.DDADCDDxyzDOPADOPAPA DOPADOPAOHOHDOOPADOH 以 为原点，取直线、分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系证明：易解析：知， 所以， ， ， 则 于是又，且， 所以平面，所 1111.20,4,04,0,41,0,1| 4 1|3 2223 2.2PAD HABADABDAPPABD 以因为，所以平面的一个法向量为，所以在 上的射影为，即点 到平面的距离为nnnn求点到平面的距离的向量方法是利用向量数量积的几何意义，这是用向量方法求距离的重要应用. 11111111114 (2011(2)12ABCDABC DABA AECCAEBDDAB E在正四棱柱中，点 是棱的中点求异面直线与所成角的余弦值；【变式练习 】苏、锡、求点到平面常、镇四市教学情况调查 二的距离11111,0,00,1,11,1,11,1,00,0,2( 11,2)1 122|3 |6AEAEBDBDAE BDAEBD 如图所示，建立空间直角坐标系，则解析，所以，所以，所以，又，：，1111112cos.32.3(2)(,1)0,1,2002010AEAE BDAE BDAEBDAB EabABABAEbab 所以，所以异面直线与所成角的余弦值等于设平面的一个法向量为，因为，由及，得，nnn1111111112( 12,1)1,1,01 236.2abD BD BD BDAB Ed 所以，则，因为，所以，所以点到平面的距离nnnn1.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面、且都与此两平面的交线l 垂直，则二面角-l-的大小是. 60或1202.在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_.1111,1,1(0 )22OA OB OCABCnOM 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可求得平面的一个法向量是， ， ，【解析】，6sin|cos|3|3costan23.OMABCn OMn OMn OMOMABC 设与平面所成角为 ，则 ， ，则，所以，即与平面所成角的正切值是11111111111190.3.ABCABCBCADFABACBCCACCBDAF直三棱柱中，、分别是、的中点若，则与所成角 的余弦值是301011111111111 11,0,00,1,0(1)(01)2 21 11(1)(01)2 223304cos.10|3524CCBCACCxyzBCCACCBADFBDBD AFBDAF 以 为原点，取、所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系设，则，所以，= ，【解析】-，所以11111111111 11,0,00,1,0(1)(01)2 21 11(1)(01)2 223304cos.10|3524CCBCACCxyzBCCACCBADFBDBD AFBDAF 以 为原点，取、所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系设，则，所以，= ，【解析】-，所以 2.1. 2.4ABCDPDABCDPDADPCBDPBEPCADEE如图所示，已知四边形是正方形，平面，求异面直线与所成的角的大小；在线段上是否存在一点 ，使平面？若存在，确定 点的位置；若不存在，说明理由 0,0,02,0,00,2,00,0,22,2,01(0,22)2,2,041cos22 22 2DACPBPCDBPC DBPC DBPCDB 如图建立空间直角坐标系，则， 因为， 所以， 解析：， 6060 .2.(2,22)(222 )(2222 )(22,222 )PC DBPCBDPBEPCADEPEPBPBPEE 所以， ，所以异面直线与所成的角为假设在上存在 点，使平面记因为，所以， ，所以， ，所以，184021,1,1.PCADEPCAEPC AEEADPDCPCADAEADAPCADEEEPBPCADE 若平面，则有， 即，所以，则 又因为平面，所以 而，所以平面 所以存在 点，且 为的中点时，能使平面 5.(2011)1212OABCOAOBOCOAOBOCEOCBEACABEC在三棱锥 中，、两两垂直，且，点 是棱的中点求异面直线与所成角的余弦值；求二面角 江苏省海的门期末考试余弦值 1OOBOCOAxyz以 为原点，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角【解析】坐标系，0,0,12,0,00,2,00,1,0( 2,1,0)(0,21)|2cos.5| |ABCEBEACBEACBE ACBEAC 则，所以，- 设异面直线与所成角为 ，则 122221220,0,1()( 2,1,0)(0,11)20.021,2,2cos.3231212BECnnxyzABEBEAEn BExyn ACyzn nnnn|n |n |ABECABEC 易知平面的一个法向量为，不妨设， ， 为平面的一个法向量又， =，- ，则取， ， =因为所求二面角 为钝二面角，所以所求二面角 的余弦值为-.1.空间中的角空间的各种角可以看作是通过平移来实现的.在向量方法中，根据向量的数量积研究角的大小，如直线所成的角，确定直线的方向向量，利用向量的数量积求角；直线与平面所成的角，确定直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的数量积求角；对于二面角，确定两平面的法向量，利用向量的数量积求角.2.“”“”.(APddP空间中的距离 空间的各种距离都是通过垂线或公垂线，按最 短原则定义的，因此 转化 是求各种距离最重要的思想方法在空间距离中，点到平面的距离最重要从几何方法来看，线面距离和面面距离都是转化为点到平面的距离来表示的异面直线的距离是通过作辅助平面转化为面面或线面距离获得的在向量方法中，距离是通过射影来体现的求 点到平面的距离：是点 到平 面的nn).An距离，在平面上， 为平面的法向量
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