资源描述
成才之路成才之路数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索新课标版新课标版 二轮专题复习二轮专题复习集合与常用逻辑用语、函数与导数专题一第五讲导数及其应用专题一命题角度聚焦命题角度聚焦 方法警示探究方法警示探究 核心知识整合核心知识整合 命题热点突破命题热点突破 课后强化作业课后强化作业 学科素能培养学科素能培养 命题角度聚焦命题角度聚焦 这是高考的重点必考内容，一般命制一个大题或一大一小两个题(1)导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中的关键一步(2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点(3)选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题(4)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，高考出题较少，一般是一个小题，有时也可能在大题中的一个问题中涉及核心知识整合核心知识整合 4函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减5(理)利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：画出图形；确定被积函数；求出交点坐标，确定积分的上、下限；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值被积函数为yf(x)，由曲线yf(x)与直线xa，xb(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a、b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值分析(1)运用导数的几何意义即可求解；(2)根据导函数的正负可求出函数的单调区间；根据导函数的零点与1的关系分类讨论，求得函数的最值利用导数研究函数单调性解析(1)f (x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f (1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.点评本题考查了切线、函数单调性、极值等基础知识，考查分类讨论的数学思想本题是较常规的题目，学生一般都能掌握，难点在于第二问，两个极值点和最值的求解，对学生的概念理解要求很高，数学思维也要清晰，因此在复习中，应加大这方面的训练方法规律总结1利用导数研究函数的单调性的步骤(1)找出函数f(x)的定义域；(2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，f (x)0或f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在xx0两侧f (x)不变号，则xx0不是f(x)的极值点第五步，求f(x)的最值，比较各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大值、最小的一个为最小值第六步，得出问题的结论方法规律总结1利用导数研究函数最值的一般步骤(1)求定义域；(2)求导数f (x)；(3)求极值，先解方程f (x)0，验证f (x)在根左右两侧值的符号确定单调性，若在xx0左侧f (x)0，右侧f (x)0)现已知相距36km的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值方法规律总结1解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点2利用导数解决优化问题的步骤审题，设未知数；结合题意列出函数关系式；确定函数的定义域；在定义域内求极值、最值；下结论学科素能培养学科素能培养 分类讨论思想由f (x)0得x1或xa，若0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f (x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点若a1，则当x(0,1)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，a)时，f (x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点综上，当0a1时，x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点分析(1)求函数f(x)的单调区间，按用导数法求单调区间的一般步骤求解，由于f(x)解析式中含参数，故需分类讨论第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于1列方程求解方法规律总结1分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类2分类讨论的步骤：(1)确定分类讨论的对象和分类标准；(2)合理分类，逐类讨论；(3)归纳总结，得出结论3分类讨论的常见类型(1)由数学概念引发的分类讨论：如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数、一次、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、复数的概念、三角函数的定义域(2)由性质、定理、公式、法则的限制条件引起的分类讨论，如等比数列前n项和公式、不等式的一些性质、函数的单调性、根式的性质(3)由数学运算引起的分类，如除数不为0，偶次方根的被开方数非负，对数函数的底数a0且a1，指数运算中对底数的限制，不等式两边同乘以一个正数(负数)，排列组合中的分类计数(4)由图形的不确定性引起的讨论，如图形的类型、位置，角的终边所在象限、点线面位置等，点斜式(斜截式)直线方程适用范围，直线与圆锥曲线的位置关系(5)由参数的变化引起的分类讨论：含参数的问题(方程、不等式、函数等)，由于参数的不同取值会导致结果不同或不同的参数求解、证明的方法不同等(6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论(2014全国大纲文，21)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围解析(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则0，因此f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数(文)(2014新课标文，21)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2cex.解析(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln2.当xln2时，f(x)ln2时，f(x)0，f(x)单调递增；所以当xln2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)无极大值(2)令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln2)2ln40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x2g(x)时，可构造函数h(x)f(x)g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等2应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决3有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理4和函数与方程思想密切关联的知识点函数yf(x)，当y0时转化为不等式f(x)0.数列是自变量为正整数的函数直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解5注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别6含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略：(1)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最小值g(x)在c，d上的最大值(2)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的最小值(3)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最小值g(x)在c，d上的最小值(4)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的最大值(5)x1a，b，当x2c，d时，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域与g(x)在c，d上的值域交集非空(6)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域(7)x2c，d，x1a，b，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域.极值的概念不清致误辨析极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“f (1)0/ x1是f(x)的极值点”的情况当a4，b11时，f (x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f (x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知，a4，b11，ab7.警示对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f (x0)0，又要考虑在xx0两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根函数f(x)ax33x在(1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是_导数与单调性的关系理解不准致误辨析错解混淆了f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A，f(x)在区间A上单调递减时，A可能是f(x)的单调减区间的一个真子集警示若f(x)的单调减区间为m，n，则在xm(xn)两侧函数值异号，f (m)0(f (n)0)；若f(x)在区间m，n上单调递减，则f (x)0在m，n上恒成立
展开阅读全文