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第二十七讲 圆的认识1.1.了解：圆和圆的有关概念，三角形的外接圆及外心的概念了解：圆和圆的有关概念，三角形的外接圆及外心的概念. .2.2.掌握：垂直于弦的直径的性质；圆心角、弧、弦之间的关系；掌握：垂直于弦的直径的性质；圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角和圆心角的关系；确定圆的条件及依据圆周角和圆心角的关系；确定圆的条件及依据. .3.3.会：运用圆的有关概念和性质进行计算、论证会：运用圆的有关概念和性质进行计算、论证. .一、圆及圆的有关概念一、圆及圆的有关概念1.1.圆：平面上到定点的距离等于圆：平面上到定点的距离等于_的所有点组成的图形叫的所有点组成的图形叫做圆做圆. .其中，定点称为其中，定点称为_，_称为半径称为半径. .2.2.与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弧：圆上任意弧：圆上任意_的部分叫做圆弧，简称弧的部分叫做圆弧，简称弧. .(2)(2)弦：连接圆上任意两点的弦：连接圆上任意两点的_叫做弦叫做弦. .(3)(3)直径：经过直径：经过_的弦叫做直径的弦叫做直径. .定长定长圆心圆心定长定长两点间两点间线段线段圆心圆心【即时应用【即时应用】1.1.已知圆已知圆O O的周长为的周长为8 cm8 cm，若，若OA=2 cmOA=2 cm，则点，则点A A在在O_O_，若，若OB=4 cm,OB=4 cm,则点则点B B在在O_O_，若，若OC=5 cmOC=5 cm，则点，则点C C在在O_(O_(填填“内内”或或“外外”或或“上上”).).2.2.如图所示，如图所示，OAOA，OBOB是是OO的两条半径，若的两条半径，若OAB=35OAB=35，则，则AOB=_.AOB=_.上上外外110110内内二、圆的有关性质二、圆的有关性质1.1.圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，其对称轴是圆是轴对称图形，其对称轴是_的直线，的直线，有有_条对称轴条对称轴. .(2)(2)圆是中心对称图形，对称中心为圆是中心对称图形，对称中心为_._.(3)(3)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转_，都能与原来的图形重合，都能与原来的图形重合. .任意一条过圆心任意一条过圆心无数无数圆心圆心任意一个任意一个角度角度2.2.垂直于弦的直径的性质垂直于弦的直径的性质(1)(1)垂径定理：垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且这条弦，并且_弦所弦所对的弧对的弧. .(2)(2)推论：平分弦推论：平分弦(_)(_)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦弦所对的两条弧所对的两条弧. .平分平分平分平分不是直径不是直径垂直垂直平分平分3.3.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系(1)(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的，所对的弦弦_._.(2)(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量一组量_，那么它们所对应的其余各组量都分别，那么它们所对应的其余各组量都分别_._.相等相等相等相等相等相等相等相等4.4.圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系(1)(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_._.(2)(2)同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_._._所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角；9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_._.一半一半相等相等直径直径直径直径【即时应用【即时应用】1.1.如图，半径为如图，半径为1010的的OO中，弦中，弦ABAB的长为的长为1616，则圆心到这条弦，则圆心到这条弦的距离为的距离为_._.6 62.2.如图，如图，ABAB为为OO的直径，点的直径，点C C在在OO上，若上，若ACO=16ACO=16, ,则则BOC=_.BOC=_.32323.3.如图，如图，OO是是ABCABC的外接圆，的外接圆，OCBOCB4040, ,则则BACBAC的度数的度数等于等于_._.50504.4.如图，如图，OO的弦的弦ABAB4 4，M M是是ABAB的中点，且的中点，且OMOM2 2，则，则OO的的半径等于半径等于_._.2 2三、确定圆的条件三、确定圆的条件1.1.两个要素：两个要素：_和和_._.2._2._的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆. .3.3.三角形的外心是三角形三角形的外心是三角形_的交点，它到三角的交点，它到三角形形_的距离相等的距离相等. .圆心圆心半径半径不在同一条直线上不在同一条直线上三边垂直平分线三边垂直平分线三个顶点三个顶点【即时应用【即时应用】1.1.ABCABC的三边长分别为的三边长分别为5 5，1212，1313，则其外接圆的半径为，则其外接圆的半径为_._.2.2.等边三角形的边长为等边三角形的边长为6 6，则其外接圆的半径为，则其外接圆的半径为_._.6.56.52 3【核心点拨【核心点拨】1.1.半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆. .2.2.直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. .3.3.等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧. .4.4.圆中一条弦所对的弧有两条，圆内两条平行的弦与圆心的位圆中一条弦所对的弧有两条，圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种情况，因此，在解决相关问题时不要漏解置关系有两种情况，因此，在解决相关问题时不要漏解. .5.5.圆中常用的辅助线圆中常用的辅助线(1)(1)作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形.(2).(2)作半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形作半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形.(3).(3)作弦、直径等构造所对的圆周角作弦、直径等构造所对的圆周角. . 圆的对称性圆的对称性中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛垂直于弦的直径的性质即垂径定理，是圆中证明两条线垂直于弦的直径的性质即垂径定理，是圆中证明两条线段相等、两条弧相等、两直线垂直以及计算线段长度的段相等、两条弧相等、两直线垂直以及计算线段长度的常用理论依据常用理论依据. .在运用垂直于弦的直径的性质时，一般做在运用垂直于弦的直径的性质时，一般做法为：作出圆心到弦的垂线段，垂足为弦的中点，利用法为：作出圆心到弦的垂线段，垂足为弦的中点，利用半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段组成直角三角形来半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段组成直角三角形来解题解题. . 特特别别提提醒醒平分弦的直径垂直于弦是错误的说法，应满足被平平分弦的直径垂直于弦是错误的说法，应满足被平分的弦不是直径分的弦不是直径. . 【例【例1 1】(2012(2012南通中考南通中考) )如图，如图，OO的半径为的半径为17 cm17 cm，弦，弦ABCDABCD，ABAB30 cm30 cm，CDCD16 cm16 cm，圆心，圆心O O位于位于ABAB，CDCD的上方，的上方，求求ABAB和和CDCD间的距离间的距离. . 【思路点拨【思路点拨】 连半径构造直角三角形连半径构造直角三角形 求求OEOE和和OF OF 结果结果作作OEABOEAB于于E E作作OFCDOFCD于于F F【自主解答【自主解答】过点过点O O分别作弦分别作弦ABAB，CDCD的垂线，设垂足为的垂线，设垂足为E E，F F，ABCDABCD，OFABOFAB，OEOE，OFOF在同一条直线上在同一条直线上. .AB=30 cmAB=30 cm，CD=16 cmCD=16 cm，AE= AB= AE= AB= 30=15 cm30=15 cm，CF= CD= CF= CD= 16=8 cm16=8 cm，12121212在在RtRtAOEAOE中，中，在在RtRtOCFOCF中，中，EF=OF-OE=15-8=7 cm.EF=OF-OE=15-8=7 cm.2222OEOAAE17158 cm，2222OFOCCF17815 cm，【对点训练【对点训练】1.(20121.(2012黄冈中考黄冈中考) )如图，如图，ABAB为为OO的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于于E E，已，已知知CD=12CD=12，BE=2BE=2，则，则OO的直径为的直径为( )( )(A)8 (B)10 (C)16 (D)20(A)8 (B)10 (C)16 (D)20【解析【解析】选选D.D.连接连接OCOC，设，设OC=ROC=R，则，则OE=R-2OE=R-2，由垂径定理得，由垂径定理得CE=6CE=6，由勾股定理得由勾股定理得6 62 2+(R-2)+(R-2)2 2=R=R2 2，解得，解得R=10R=10，所以，所以OO的直径为的直径为20.20.2.(20112.(2011兰州中考兰州中考) )如图，如图，OO过点过点B B，C C，圆心圆心O O在等腰直角在等腰直角ABCABC的内部，的内部，BAC=90BAC=90，OA=1OA=1，BC=6.BC=6.则则OO的半径为的半径为( )( )(A)6 (B)13 (C) (D)(A)6 (B)13 (C) (D)132 13【解析【解析】选选C.C.连接连接OB,OB,延长延长AOAO交交BCBC于点于点D D，则，则ADAD垂直平分垂直平分BCBC，BD=AD=3BD=AD=3，OD=3-1=2OD=3-1=2，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得OB=OB=223213.3.(20123.(2012衢州中考衢州中考) )工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是口，假设钢珠的直径是10 mm10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距，测得钢珠顶端离零件表面的距离为离为8 mm8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口，如图所示，则这个小圆孔的宽口ABAB的长度为的长度为_mm._mm.【解析【解析】设圆心为设圆心为O O，过点，过点O O作作ODABODAB于点于点D D，连接，连接OA,OA,根据根据题意知，题意知，OA=5 mmOA=5 mm，OD=8OD=85=3(mm)5=3(mm)，根据勾股定理，得：，根据勾股定理，得： =4(mm)=4(mm)，则，则AB=2AD=8 mm.AB=2AD=8 mm.答案：答案：8 822ADOAOD4.(20114.(2011上海中考上海中考) )如图，如图，ABAB，ACAC都是圆都是圆O O的弦，的弦，OMABOMAB，ONACONAC，垂足分别为，垂足分别为M M，N N，如果，如果MNMN3 3，那么，那么BCBC_._.【解析【解析】因为因为OMABOMAB，ONACONAC，根据垂径定理可以推得，根据垂径定理可以推得M M，N N为弦为弦ABAB，ACAC的中点，由中位线定理可以推得的中点，由中位线定理可以推得MN= BCMN= BC，即，即BC=2MN=6.BC=2MN=6.答案：答案：6 612 圆周角与圆心角圆周角与圆心角中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛圆周圆周( (心心) )角与它所对弧常互相转化角与它所对弧常互相转化, ,即欲求证圆周即欲求证圆周( (心心) )角相等角相等, ,可转化为证可转化为证“圆周圆周( (心心) )角所对的弧相等角所对的弧相等”. .弧弧相等的条件可转化为它们所对的圆周相等的条件可转化为它们所对的圆周( (心心) )角相等的结角相等的结论论. . 特特别别提提醒醒 圆心角与圆周角本来没有必然的联系，只有当它们都圆心角与圆周角本来没有必然的联系，只有当它们都对着同一段弧时，才有数量关系存在对着同一段弧时，才有数量关系存在. .因此在应用时，因此在应用时，一定要注意前提条件一定要注意前提条件. . 【例【例2 2】(2011(2011凉山州中考凉山州中考) )如图，如图，AOBAOB=100=100，点，点C C在在OO上，且点上，且点C C不与不与A A，B B重合，重合，则则ACBACB的度数为的度数为( )( )(A)50(A)50 (B)80 (B)80或或5050(C)130(C)130 (D)50 (D)50或或130130【思路点拨思路点拨】 分类讨论分类讨论 点点C C在优弧上在优弧上 点点C C在劣弧上在劣弧上 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 结果结果【自主解答【自主解答】选选D.D.当点当点C C在优弧上时，在优弧上时，ACB= AOB= ACB= AOB= 100100=50=50，当点，当点C C在劣弧上时，在劣弧上时，ACB= (360ACB= (360AOB)= AOB)= (360(360100100)=130)=130. .12121212【对点训练【对点训练】5.(20125.(2012枣庄中考枣庄中考) )如图，直径为如图，直径为1010的的A A经过点经过点C(0,5)C(0,5)和点和点O (0,0)O (0,0)，B B是是y y轴右侧轴右侧AA优弧上一点，则优弧上一点，则cosOBCcosOBC 的值为的值为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)12353245【解析【解析】选选B.B.设设AA与与x x轴交于点轴交于点D D，连接，连接CDCD，COD=90COD=90，CDCD为为AA的直径，的直径，CD=10CD=10，OD=OD=cosCDOcosCDO= =又又OBC=CDOOBC=CDO，cosOBCcosOBC= =221055 3，5 33102，3.26.(20126.(2012苏州中考苏州中考) )如图，已知如图，已知BDBD是是OO直径，点直径，点A A，C C在在OO上，上， ，AOB=60AOB=60，则，则BDCBDC的度数是的度数是( )( )(A)20(A)20 (B)25 (B)25 (C)30 (C)30 (D)40 (D)40ABBC【解析【解析】选选C C，连接，连接OCOC，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，所，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，所以以AOB=BOC=60AOB=BOC=60，所以，所以D=30D=30. .7.(20117.(2011海南中考海南中考) )如图，在以如图，在以ABAB为直径的半圆为直径的半圆O O中，中，C C是它的是它的中点，若中点，若AC=2AC=2，则，则ABCABC的面积是的面积是( )( )(A)1.5 (B)2 (C)3 (D)4(A)1.5 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】选选B.B.因为因为ABAB是圆的直径，所以是圆的直径，所以ACB=90ACB=90，而，而C C又是又是中点，所以中点，所以AC=BCAC=BC，所以，所以ABCABC是一个等腰直角三角形，其面积是一个等腰直角三角形，其面积为两直角边乘积的一半，等于为两直角边乘积的一半，等于2.2.8.(20128.(2012湘潭中考湘潭中考) )如图，在如图，在OO中，弦中，弦ABCD,ABCD,若若ABC=40ABC=40，则则BOD=( )BOD=( )(A)20(A)20 (B)40 (B)40 (C)50 (C)50 (D)80 (D)80【解析【解析】选选D.ABCD,ABC=BCD=40D.ABCD,ABC=BCD=40, ,BOD=2BCD=80BOD=2BCD=80. . 三角形的外接圆三角形的外接圆中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛三角形的外心的位置：三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部. . 特特别别提提醒醒 1.1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；2.2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状. . 【例【例3 3】(2011(2011内江中考内江中考) )如图，如图，OO是是ABCABC的外接圆，的外接圆，BAC=60BAC=60，若，若OO的的半径半径OCOC为为2 2，则弦，则弦BCBC的长为的长为( )( )(A)1 (B)(A)1 (B)(C)2 (D)(C)2 (D)【思路点拨【思路点拨】 BACBAC度数度数 BOC BOC的度数的度数 过圆心作弦过圆心作弦BCBC的垂线段的垂线段 求求 BCBC的长的长 BC BC的长的长32 312【自主解答【自主解答】选选D.D.由由BAC=60BAC=60可得可得BOC=120BOC=120，作，作OHBCOHBC，得，得BOH=BOH=6060，BH= BCBH= BC，再根据半径，再根据半径OB=2OB=2，得得OH=1OH=1，BH= BH= ，所以，所以BC=BC=1232 3.【对点训练【对点训练】9.(20119.(2011玉林中考玉林中考) )小英家的圆形镜子被小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图打碎了，她拿了如图( (网格中的每个小正方网格中的每个小正方形边长为形边长为1)1)所示的一块碎片到玻璃店，配所示的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是个镜面的半径是( )( )(A)2 (B) (C) (D)3(A)2 (B) (C) (D)352 2【解析【解析】选选B.B.作出圆的两条弦的垂直平分线，可以得到圆心作出圆的两条弦的垂直平分线，可以得到圆心的位置如图所示的位置如图所示. .由勾股定理求得圆的半径是由勾股定理求得圆的半径是5.10.(201110.(2011烟台中考烟台中考) )如图，如图，ABCABC的外心坐标是的外心坐标是_._.【解析【解析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形，三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形，画出画出ABAB，BCBC的垂直平分线，即可得解的垂直平分线，即可得解. .答案：答案：( (2 2，1)1)【归纳整合【归纳整合】找圆心的两种方法：找圆心的两种方法：(1)(1)利用利用9090的圆周角所对的弦是直径，找到两条直径，它们的圆周角所对的弦是直径，找到两条直径，它们的交点即为圆心；的交点即为圆心；(2)(2)作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心. .11.(201111.(2011济宁中考济宁中考) )如图，如图，ADAD为为ABCABC外接圆的直径，外接圆的直径，ADBCADBC，垂足为点垂足为点F F，ABCABC的平分线交的平分线交ADAD于点于点E E，连接，连接BDBD，CD.CD.(1)(1)求证：求证：BD=CDBD=CD； (2)(2)请判断请判断B B，E E，C C三点是否在以三点是否在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上，为半径的圆上，并说明理由并说明理由. .【解析【解析】(1)AD(1)AD为直径，为直径，ADBCADBC， .BD=CD. .BD=CD. (2)B(2)B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 理由：由理由：由(1)(1)知：知： ，BAD=CBD.BAD=CBD.DBE=CBD+CBEDBE=CBD+CBE，DEB=BAD+ABEDEB=BAD+ABE，CBE=ABE.CBE=ABE.DBE=DEB.DB=DE.DBE=DEB.DB=DE.由由(1)(1)知：知：BD=CD.DB=DE=DCBD=CD.DB=DE=DC，B B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . BDCDBDCD【创新命题【创新命题】方程思想在圆中的应用方程思想在圆中的应用【例】【例】(2011(2011南宁中考南宁中考) )一条公路弯道处是一条公路弯道处是一段圆弧一段圆弧( (图中的弧图中的弧AB)AB)，点，点O O是这条弧所在是这条弧所在圆的圆心，点圆的圆心，点C C是弧是弧ABAB的中点，半径的中点，半径OCOC与与ABAB相交于点相交于点D D，AB=120 m.CDAB=120 m.CD=20 m=20 m，这段弯道，这段弯道的半径是的半径是( )( )(A)200 m (B) m(A)200 m (B) m(C)100 m (D) m(C)100 m (D) m200 3100 3【解题导引【解题导引】连接连接OAOA，根据垂径定理求出，根据垂径定理求出ADAD的长的长. .设设OA=x mOA=x m，利用利用x x表示表示ODOD的长，然后利用勾股定理列方程求解的长，然后利用勾股定理列方程求解. .【规范解答【规范解答】选选C.C.连接连接OA,OA,因为点因为点C C是弧是弧ABAB的中点，的中点，AB=120 mAB=120 m，所以所以AD=60 mAD=60 m，设，设OA=x mOA=x m，则，则OD=(xOD=(x20) m20) m，根据勾股定理可，根据勾股定理可得：得：OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2，即，即x x2 2=60=602 2+(x-20)+(x-20)2 2，解得，解得x=100.x=100.【名师点评【名师点评】通过对方程思想在圆中的应用类试题的分析和总通过对方程思想在圆中的应用类试题的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创创新新点点拨拨 此类题目往往给出弦和弦的中点到其所对的弧的中点的此类题目往往给出弦和弦的中点到其所对的弧的中点的距离，然后求半径距离，然后求半径. .根据所给的条件，不能直接通过勾根据所给的条件，不能直接通过勾股定理求解，因此需要设出未知数，然后通过列方程求股定理求解，因此需要设出未知数，然后通过列方程求解解. . 解解题题启启示示 首先根据题意设出半径为首先根据题意设出半径为x,x,然后利用未知数表示出圆心然后利用未知数表示出圆心到弦的距离，然后在由弦的一半、半径和圆心到弦的距到弦的距离，然后在由弦的一半、半径和圆心到弦的距离组成的直角三角形中，利用勾股定理列方程求解离组成的直角三角形中，利用勾股定理列方程求解. . (2011(2011镇江中考镇江中考) )如图如图,DE,DE是是OO的直径的直径, ,弦弦ABDE,ABDE,垂足为垂足为C,C,若若AB=6,CE=1,AB=6,CE=1,则则OC=_,CD=_.OC=_,CD=_.【解析【解析】连接连接OAOA，设，设OA=xOA=x，则，则OC=xOC=x1 1，由垂径定理可得，由垂径定理可得AC=3AC=3，则在直角三角形则在直角三角形AOCAOC中，利用勾股定理可得：中，利用勾股定理可得：OAOA2 2=OC=OC2 2+AC+AC2 2，即，即x x2 2=(x-1)=(x-1)2 2+9,+9,解此方程得解此方程得x=5x=5，则，则OC=4OC=4，CD=10CD=101=9.1=9.答案：答案：4 94 9
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