资源描述
知识点知识点1 1 矩形的性质与判定矩形的性质与判定1.1.矩形：有一个角是直角的矩形：有一个角是直角的_叫作矩形叫作矩形. .2.2.矩形的性质：矩形的性质：（1 1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. .（2 2）矩形的四个内角相等且都是）矩形的四个内角相等且都是_._.（3 3）矩形的两条对角线）矩形的两条对角线_._.（4 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴. .平行四边形平行四边形直角直角相等相等2 23.3.矩形的判定：矩形的判定：（1 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形）有一个角是直角的平行四边形是矩形. .（2 2）对角线）对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形. .（3 3）有）有_是直角的四边形是矩形是直角的四边形是矩形. .相等相等三个角三个角知识点知识点2 2 菱形的性质与判定菱形的性质与判定1.1.菱形：有一组邻边菱形：有一组邻边_的平行四边形叫作菱形的平行四边形叫作菱形. .2.2.菱形的性质：菱形的性质：（1 1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质性质. .（2 2）菱形的四条边都）菱形的四条边都_._.相等相等相等相等（3 3）菱形的对角线互相）菱形的对角线互相_，每条对角线，每条对角线平分一组对角平分一组对角. .（4 4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴. .垂直且平分垂直且平分2 23.3.菱形的判定：菱形的判定：(1)(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形. .(2)(2)四条边都四条边都_ _的四边形是菱形的四边形是菱形. .(3)(3)对角线相互对角线相互_ _的四边形是菱形的四边形是菱形. .4.4.菱形面积的计算：菱形面积的计算：(1)(1)可以作为平行四边形来计算面积：可以作为平行四边形来计算面积：S=_.S=_.(2)(2)利用菱形的对角线的长度计算：利用菱形的对角线的长度计算：S=S=两条对角线乘积的两条对角线乘积的_._.相等相等垂直且平分垂直且平分底底高高一半一半知识点知识点3 3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定1.1.正方形的性质：正方形的性质：（1 1）正方形具有矩形和菱形的所有性质；正方形的四个）正方形具有矩形和菱形的所有性质；正方形的四个角都是角都是_，四条边都，四条边都_；正方形的两条对角；正方形的两条对角线相等且线相等且_，每条对角线平分一组对角，每条对角线平分一组对角. .（2 2）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴. .直角直角相等相等垂直平分垂直平分4 42.2.正方形的判定：正方形的判定：（1 1）有一个角是）有一个角是_的菱形是正方形的菱形是正方形. .（2 2）有一组邻边）有一组邻边_的矩形是正方形的矩形是正方形. .（3 3）有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形）有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形是正方形. .（4 4）对角线相等且相互）对角线相等且相互_的四边形是正方形的四边形是正方形. .直角直角相等相等垂直垂直3.3.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形又矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的菱形，还是特殊的矩形，他们之间的关系如图：是特殊的菱形，还是特殊的矩形，他们之间的关系如图：【名师指点】本考点主要考查矩形的判定及性质的运用名师指点】本考点主要考查矩形的判定及性质的运用. .解答这类问题时，既要注意运用矩形的特殊性质，也要注解答这类问题时，既要注意运用矩形的特殊性质，也要注意运用矩形作为一般平行四边形所具有的性质意运用矩形作为一般平行四边形所具有的性质. .考点考点1 1 矩形的性质与判定矩形的性质与判定【分析分析】由四边形由四边形ABCDABCD是矩形，得出是矩形，得出AB=CDAB=CD，B=CB=C，再，再由由BF=CEBF=CE，得出，得出BE=CF,BE=CF,从而证明从而证明ABEABEDCFDCF，即可证明，即可证明AE=DF.AE=DF.【解答解答】四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，AB=CDAB=CD，B=C=90B=C=90. .又又BF=CEBF=CE，BF+FE=CE+EF.BF+FE=CE+EF.即即BE=CF.BE=CF.ABEABEDCF,AE=DF.DCF,AE=DF. （20142014贵州安顺）如图贵州安顺）如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC,垂足为点垂足为点D,AND,AN是是ABCABC的外角的外角CAMCAM的平分线的平分线,CEAN,CEAN,垂足垂足为点为点E.E.(1)(1)求证：四边形求证：四边形ADCEADCE为矩形；为矩形；(2)(2)当当ABCABC满足什么条件时满足什么条件时, ,四边形四边形ADCEADCE是一个正方形？是一个正方形？并给出证明并给出证明. .【分析分析】(1)(1)四边形四边形ADCEADCE中已知有两个直角中已知有两个直角, ,要判定其是矩要判定其是矩形形, ,只需再证明有一个角是直角即可只需再证明有一个角是直角即可, ,通过观察可知通过观察可知, ,判断判断DAEDAE是直角比较方便是直角比较方便. .(2)(2)此题是条件结论都开放型问题此题是条件结论都开放型问题, ,答案不唯一答案不唯一. .一般地一般地, ,使使矩形变为正方形可以添加邻边相等或是对角线垂直矩形变为正方形可以添加邻边相等或是对角线垂直, ,可以通可以通过添加过添加ABCABC的条件间接获得证明的条件间接获得证明. .【解答解答】(1)(1)在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC,BAD=DAC.BAD=DAC.ANAN是是ABCABC的外角的外角CAMCAM的平分线的平分线, ,MAE=CAEMAE=CAE，又又ADBC,CEAN,ADBC,CEAN,ADC=CEA=90ADC=CEA=90，四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形. .1DAEDACCAE18090 .2 (2)(2)例如例如, ,当当BAC=90BAC=90时时, ,四边形四边形ADCEADCE是正方形是正方形. .BAC=90BAC=90,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC于点于点D,D,ACD=DAC=45ACD=DAC=45, ,DC=AD.DC=AD.由由(1)(1)知四边形知四边形ADCEADCE为矩形为矩形, ,矩形矩形ADCEADCE是正方形是正方形. . 1.(20151.(2015高新一模高新一模) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=4BC=4，对角线对角线ACAC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交ADAD，ACAC于点于点E E，O O，连接，连接CECE，则则CECE的长是的长是( )( )A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.5A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.52.(20152.(2015天桥二模天桥二模) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中， BADBAD的平分线交的平分线交BCBC于点于点E E，DHAEDHAE于点于点H H，连接，连接BHBH并延长交并延长交CDCD于点于点F F，连接，连接DEDE交交BFBF于点于点O O，下列结论：，下列结论：AED=CEDAED=CED；OE=ODOE=OD；BH=HFBH=HF；BC-CF=2HEBC-CF=2HE；AB=HF.AB=HF.其中结论正确其中结论正确的是的是_(_(填序号填序号).).AD2AB，3.(20143.(2014济南济南) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是矩形，点是矩形，点E E是边是边ADAD的中的中点，求证：点，求证：EB=EC.EB=EC.解：在解：在ABEABE和和DCEDCE中，中，AB=DC,AE=DE,EAB=EDC,AB=DC,AE=DE,EAB=EDC,ABEABEDCE,DCE,EB=EC.EB=EC.4.4.（20152015聊城）如图，在聊城）如图，在ABCABC中，中，AB=BCAB=BC，BDBD平分平分ABC.ABC.四边形四边形ABEDABED是平行四边形，是平行四边形，DEDE交交BCBC于点于点F F，连接，连接CE.CE.求证：四边形求证：四边形BECDBECD是矩形是矩形. .证明：证明：四边形四边形ABEDABED是平行四边形，是平行四边形，BEAD,BE=AD.BEAD,BE=AD.AB=BC,BDAB=BC,BD平分平分ABC,ABC,AD=CD,AD=CD,四边形四边形BECDBECD是平行四边形是平行四边形. .AB=BCAB=BC，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .又又BDBD平分平分ABCABC，BDAC.BDAC.即即BDC=90BDC=90. .四边形四边形BECDBECD是矩形是矩形. .【名师指点】本考点主要考查菱形的判定及性质的运用名师指点】本考点主要考查菱形的判定及性质的运用. .菱菱形具有四条边都相等，对角线相互垂直平分，且每条对角形具有四条边都相等，对角线相互垂直平分，且每条对角线都平分一组对角的特殊性质，又有一般平行四边形的性线都平分一组对角的特殊性质，又有一般平行四边形的性质质. .在解答有关菱形的问题时，要灵活运用这些性质在解答有关菱形的问题时，要灵活运用这些性质. .考点考点2 2 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 (2015 (2015济南济南) )如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，中，AB=6AB=6，DAB=60DAB=60，AEAE分别交分别交BCBC，BDBD于点于点E E，F F，CE=2CE=2，连接，连接CFCF，以下结论：以下结论：ABFABFCBFCBF；点；点E E到到ABAB的距离是的距离是 ABFABF的面积为的面积为 其中一定成立的是其中一定成立的是_._.( (把所有正确结论的序号都填在横线上把所有正确结论的序号都填在横线上) )2 3 ；3 3tan DCF7；123.5【分析分析】利用利用SASSAS证明证明ABFABFCBFCBF，从而正确；根据含，从而正确；根据含3030角的直角三角形的性质得出点角的直角三角形的性质得出点E E到到ABAB的距离是的距离是 从从而正确；进而得出而正确；进而得出ABFABF的面积及的面积及tanDCFtanDCF的值，从而判的值，从而判断的正误断的正误. .2 3 ，【解答】【解答】四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，AB=BC=6.AB=BC=6.DAB=60DAB=60，AB=AD=DBAB=AD=DB，ABD=DBC=60ABD=DBC=60. .在在ABFABF和和CBFCBF中，中，AB=BCAB=BC，ABF=FBCABF=FBC，BF=BFBF=BF，ABFABFCBF.CBF.故正确故正确. .过点过点E E作作EGABEGAB，过点，过点F F作作MHCDMHCD，MHABMHAB，如图：，如图：CE=2CE=2，BC=6BC=6，ABC=120ABC=120，BE=6-2=4.BE=6-2=4.EGABEGAB，EG=EG=即点即点E E到到ABAB的距离是的距离是故正确故正确. .2 3.2 3.BE=4BE=4，EC=2EC=2，S SBFEBFESSFECFEC=42=21=42=21，S SABFABFSSFBEFBE=32=32，ABFABF的面积为的面积为故错误故错误. .ABE318 3S.55故正确故正确. .【答案答案】ADBDFCADBABFDFC1S6 3 3 9 3218 327 3SSS9 3.55127 39 3S6 FMFM255FM9DM53921CM DC DM 655FM3 3tan DCF.CM7 ， (2015 (2015济宁济宁) )如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，DACDAC是是ABCABC的一个外角的一个外角. .实践与操作：实践与操作：根据要求尺规作图，并在图根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母中标明相应字母( (保留作图痕保留作图痕迹，不写作法迹，不写作法).).(1)(1)作作DACDAC的平分线的平分线AMAM；(2)(2)作线段作线段ACAC的垂直平分线，与的垂直平分线，与AMAM交于点交于点F F，与，与BCBC边交于点边交于点E E，连接，连接AE,CF.AE,CF.猜想并证明：猜想并证明：判断四边形判断四边形AECFAECF的形状并加以证明的形状并加以证明. .【分析】【分析】(1)(1)回顾用尺规作一个角的角平分线的方法作出角回顾用尺规作一个角的角平分线的方法作出角平分线平分线. .(2)(2)回顾用尺规作一个线段的垂直平分线的方法作出线段回顾用尺规作一个线段的垂直平分线的方法作出线段ACAC的垂直平分线，先证明四边形的垂直平分线，先证明四边形AECFAECF为平行四边形，再由邻为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形边相等即可证明四边形AECFAECF为菱形为菱形. .【解答解答】(1)(1)如图：如图：(2)(2)猜想：四边形猜想：四边形AECFAECF是菱形是菱形. .证明：证明：AB=ACAB=AC，AMAM平分平分CADCAD，B=ACBB=ACB，CAD=2CAM.CAD=2CAM.CADCAD是是ABCABC的外角，的外角，CAD=B+ACBCAD=B+ACB，CAD=2ACB,CAD=2ACB,CAM=ACBCAM=ACB，AFCE.AFCE.EFEF垂直平分垂直平分ACAC，OA=OCOA=OC，AOF=COE=90AOF=COE=90，AOFAOFCOECOE，AF=CE.AF=CE.在四边形在四边形AECFAECF中，中，AFCEAFCE，AF=CEAF=CE，四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .又又EFACEFAC，四边形四边形AECFAECF是菱形是菱形. .1.(20151.(2015历下一模历下一模) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD交交于点于点O O，下列说法错误的是，下列说法错误的是( )( )A.ABDC B.OA=OC C.ACBD D.AC=BDA.ABDC B.OA=OC C.ACBD D.AC=BD2.(20142.(2014历城一模历城一模) )如图，已知菱形如图，已知菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD的长分别为的长分别为6 cm6 cm，8 cm8 cm，AEBCAEBC于点于点E E，求，求AEAE的长的长. .解：解：四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，CO= AC=3 CO= AC=3 cm,BOcm,BO= BD=4 = BD=4 cm,AOBOcm,AOBO, ,BC= =5 cm,BC= =5 cm,SS菱形菱形ABCD ABCD = =BCAE= =BCAE，即，即 6 68=5AE.8=5AE.解得解得AE= cm.AE= cm.答：答：AEAE的长是的长是 cm. cm.12122222BOCO43BDAC2122452453.3.（20152015贵州遵义）在贵州遵义）在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，D D是是BCBC的中点，的中点，E E是是ADAD的中点，过点的中点，过点A A作作AFBCAFBC交交BEBE的延长线的延长线于点于点F.F.（1 1）求证：）求证：AEFAEFDEBDEB；（2 2）证明四边形）证明四边形ADCFADCF是菱形；是菱形；（3 3）若）若AC=4AC=4，AB=5AB=5，求菱形，求菱形ADCFADCF的面积的面积. .解解: :（1 1）AFBC,AFE=DBE.AFBC,AFE=DBE.点点E E是是ADAD的中点，的中点，DE=AE.DE=AE.又又AEF=DEB,AEF=DEB,AEFAEFDEB.DEB.（2 2）点点D D是是BCBC的中点，的中点，BD=DC.BD=DC.由（由（1 1）知）知AEFAEFDEBDEB，AF=BD,AF=BD,AF=DC.AF=DC.又又AFBCAFBC，四边形四边形ADCFADCF是平行四边形是平行四边形. .又又在在RtRtABCABC中，点中，点D D是斜边是斜边BCBC的中点，的中点，AD=DC,AD=DC,四边形四边形ADCFADCF是菱形是菱形. .（3 3）S S四边形四边形ADCF ADCF =2S=2SADCADC，S SRtRtABCABC =2S=2SADCADC，S S四边四边ADCFADCF= =S SRtRtABCABC= = ABABAC= AC= 5 54=10.4=10.1212【名师指点】本考点考查正方形的判定及性质运用，正名师指点】本考点考查正方形的判定及性质运用，正方形是一类比较特殊的平行四边形，它既具有矩形的性方形是一类比较特殊的平行四边形，它既具有矩形的性质，也具有菱形的性质，因此正方形的判定方法和性质质，也具有菱形的性质，因此正方形的判定方法和性质比较多，在解答有关正方形的问题时，要注意根据题干比较多，在解答有关正方形的问题时，要注意根据题干中提供的条件选择合适的方法中提供的条件选择合适的方法. .考点考点3 3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 (2015(2015济南济南) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相相交于点交于点O O，ACBACB的角平分线分别交的角平分线分别交ABAB，BDBD于于M M，N N两点两点. .若若AM=2AM=2，则线段，则线段ONON的长为的长为( )( )236A.B.C.1D.222【分析分析】作作MHACMHAC于点于点H H，由正方形的性质得，由正方形的性质得MAH=45MAH=45，则则AMHAMH为等腰直角三角形，进而为等腰直角三角形，进而 再根据角平分线的性质得再根据角平分线的性质得 于是利用正方形的性质得于是利用正方形的性质得 所以所以 然后证明然后证明CONCONCHMCHM，再利，再利用相似比可计算出用相似比可计算出ONON的长的长. .2AH MHAM22；BM MH2AB 22 ，则，AC2AB 2 2 2 OC2 1，CH AC AH 22 ，【解答解答】作作MHACMHAC于点于点H H，如图，如图，四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，MAH=45MAH=45, ,AMHAMH为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，CMCM平分平分ACB,ACB,22AH MHAM22.22 BM MH2,AB 22,AC2AB2(22) 2 2 2,1OCAC2 12 ，BDACBDAC，ONMH,ONMH,CONCONCHM,CHM,ON=1.ON=1.【答案答案】C CCH AC AH 2 2 2222. ONOCON2 1.MHCH222，即 （20152015日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：文出了道题，从下列四个条件：AB=BCAB=BC；ABC=90ABC=90；AC=BDAC=BD；ACBDACBD中选两个作为补充条件，使平行四边形中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCDABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是错误的是( )( )A.A. B. B.C.C. D. D.【分析分析】A.A.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，当当AB=BCAB=BC时，时，平行四边形平行四边形ABCDABCD是菱形，当是菱形，当ABC=90ABC=90时，菱形时，菱形ABCDABCD是是正方形，故此选项错误；正方形，故此选项错误；B.B.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，当当ABC=90ABC=90时，平时，平行四边形行四边形ABCDABCD是矩形，当是矩形，当AC=BDAC=BD时，无法得出四边形时，无法得出四边形ABCDABCD是正方形，故此选项正确；是正方形，故此选项正确；C.C.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，当当AB=BCAB=BC时，平行四时，平行四边形边形ABCDABCD是菱形，当是菱形，当AC=BDAC=BD时，菱形时，菱形ABCDABCD是正方形，故是正方形，故此选项错误；此选项错误；D.D.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，当当ABC=90ABC=90时，时，平行四边形平行四边形ABCDABCD是矩形，当是矩形，当ACBDACBD时，矩形时，矩形ABCDABCD是正是正方形，故此选项错误方形，故此选项错误. .【答案答案】B B1.(20151.(2015历城模拟历城模拟) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边的边CDCD与正方形与正方形CGFECGFE的边的边在一条直线上，在一条直线上，O O是是EGEG的中点，的中点，EGCEGC的平分线的平分线GHGH过点过点D D，交，交BEBE于于H H，连接，连接OHOH，FHFH，EGEG与与FHFH交于交于M M，对于下面四个结论：，对于下面四个结论：GHBEGHBE；点点H H不在正方形不在正方形CGFECGFE的外接圆上；的外接圆上；GBEGBEGMF.GMF.其中正确的结论有其中正确的结论有( )( )A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个2.2.（20152015湖北黄冈）如图，在正方形湖北黄冈）如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点F F为为CDCD上上一点，一点，BFBF与与ACAC交于点交于点E.E.若若CBF=20CBF=20，则，则AED=_AED=_度度. .65653.(20153.(2015市中二模市中二模) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD内有一折线段，内有一折线段，其中其中AEEFAEEF，EFFCEFFC，并且，并且AE=6AE=6，EF=8EF=8，FC=10FC=10，则正方形，则正方形的边长为的边长为_._.4 104.(20154.(2015槐荫二模槐荫二模) )如图，现有一张边长为如图，现有一张边长为4 4的正方形纸的正方形纸片片ABCDABCD，点，点P P为正方形为正方形ADAD边上的一点边上的一点( (不与点不与点A A、点、点D D重合重合) )将正方形纸片折叠，使点将正方形纸片折叠，使点B B落在落在P P处，点处，点C C落在落在G G处，处，PGPG交交DCDC于点于点H H，折痕为，折痕为EFEF，连接，连接BPBP，BH.BH.(1)(1)求证：求证：APB=BPHAPB=BPH；(2)(2)当点当点P P在边在边ADAD上移动时，上移动时，PDHPDH的周长是否发生变化？并的周长是否发生变化？并证明你的结论；证明你的结论；(3)(3)设设APAP为为x x，四边形，四边形EFGPEFGP的面积为的面积为S.S.求出求出S S与与x x的函数关系的函数关系式式. .试问试问S S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由. .解解:(1)PE=BE:(1)PE=BE，EBP=EPB.EBP=EPB.又又EPH=EBC=90EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP.EPH-EPB=EBC-EBP.即即PBC=BPH.PBC=BPH.又又ADBCADBC，APB=PBC,APB=PBC,APB=BPH.APB=BPH.(2)(2)PHDPHD的周长不变，为定值的周长不变，为定值 8.8.证明：过证明：过B B作作BQPHBQPH，垂足为，垂足为Q.Q.由由(1)(1)知知APB=BPHAPB=BPH，又又A=BQP=90A=BQP=90，BP=BP=BPBP，ABPABPQBP,QBP,AP=QP,AB=BQ.AP=QP,AB=BQ.又又AB=BCAB=BC，BC=BQ.BC=BQ.又又C=BQH=90C=BQH=90，BH=BH=BHBH，BCHBCHBQH,BQH,CH=QH.CH=QH.PHDPHD的周长为的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. (3)(3)过过F F作作FMABFMAB，垂足为，垂足为M,M,则则FM=BC=AB.FM=BC=AB.又又EFEF为折痕，为折痕，EFBP,EFBP,EFM+MEF=ABP+BEF=90EFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP.EFM=ABP.又又A=EMF=90A=EMF=90，EFMEFMPBA,PBA,EM=AP=x.EM=AP=x.在在RtRtAPEAPE中，中，(4-BE)(4-BE)2 2+x+x2 2=BE=BE2 2. .解得解得BE=2+ .BE=2+ .CF=BE-EM=2+ -x.CF=BE-EM=2+ -x.又又四边形四边形PEFGPEFG与四边形与四边形BEFCBEFC全等，全等，S= (BE+CF)BC= (4+ -x)S= (BE+CF)BC= (4+ -x)4.4.即即S= xS= x2 2-2x+8. -2x+8. 配方得配方得S= (x-2)S= (x-2)2 2+6+6，当当x=2x=2时，时，S S有最小值有最小值6.6.2x82x812122x41212
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