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运动问题一般是指动态几何问题，它以几何知识和图形运动问题一般是指动态几何问题，它以几何知识和图形为背景，研究几何图形在运动变化中存在的数量关系或规律为背景，研究几何图形在运动变化中存在的数量关系或规律，有较强的综合性，有较强的综合性. .解决这类问题时要用运动和变化的眼光去解决这类问题时要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，并特别关注运观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动中求动. .一、动点问题一、动点问题 这类问题就是在几何图形上，设计一个或几个动点，这类问题就是在几何图形上，设计一个或几个动点，探究这些动点在运动变化过程中伴随着的变化规律，如等探究这些动点在运动变化过程中伴随着的变化规律，如等量关系、变量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系量关系、变量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等等. .综合考查代数与几何的知识和方法综合考查代数与几何的知识和方法. . （20142014贵州黔东南）在如图所示的平面直角坐标系贵州黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点中，点P P是直线是直线y=xy=x上的动点，上的动点，A A（1 1，0 0），），B B（2 2，0 0）是）是x x轴轴上的两点，则上的两点，则PA+PBPA+PB的最小值为的最小值为_._.【分析分析】利用一次函数图象上点的坐标性质得出利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA=1OA=1，进而利用勾股定理得出即可进而利用勾股定理得出即可. .【解答解答】如图所示，作如图所示，作A A点关于直线点关于直线y=xy=x的对称点的对称点AA，连接，连接ABAB，交直线，交直线y=xy=x于点于点P P，此时此时PA+PBPA+PB最小，最小，由题意可得出由题意可得出OA=1OA=1，BO=2BO=2，PA=PAPA=PA，【答案答案】22PA PB AB125. 5【点评点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出函数图象上点的特征等知识，得出P P点位置是解题的关键点位置是解题的关键. . （20152015广东东莞）如图，在同一平面上，两块斜边广东东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角形相等的直角三角形RtRtABCABC和和RtRtADCADC拼在一起，使斜边拼在一起，使斜边ACAC完完全重合，且顶点全重合，且顶点B B，D D分别在分别在ACAC的两旁，的两旁，ABC=ADC=90ABC=ADC=90，CAD=30CAD=30，AB=BC=4 cm.AB=BC=4 cm.（1 1）填空：）填空：AD=_cmAD=_cm，DC=_cmDC=_cm；（2 2）点）点M M，N N分别从分别从A A点，点，C C点同时以每秒点同时以每秒1 cm1 cm的速度等速出的速度等速出发，且分别在发，且分别在ADAD，CBCB上沿上沿ADAD，CBCB方向运动，当方向运动，当N N点运动点运动到到B B点时，点时，M M，N N两点同时停止运动，连接两点同时停止运动，连接MN.MN.求当求当M M，N N点运点运动了动了x x秒时，点秒时，点N N到到ADAD的距离（用含的距离（用含x x的式子表示）；的式子表示）；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，取）的条件下，取DCDC中点中点P P，连接，连接MPMP，NPNP，设，设PMNPMN的面积为的面积为y cmy cm2 2，在整个运动过程中，在整个运动过程中，PMNPMN的面积的面积y y存存在最大值，请求出在最大值，请求出y y的最大值的最大值. .（参考数据（参考数据: : ）6262sin 75sin 1544，【分析分析】（1 1）由勾股定理求出）由勾股定理求出ACAC，由，由CAD=30CAD=30，得出，得出 由三角函数求出由三角函数求出ADAD即可即可. .（2 2）过）过N N作作NEADNEAD于点于点E E，作，作NFDCNFDC，交，交DCDC的延长线于点的延长线于点F F，则则NE=DFNE=DF，求出，求出NCF=75NCF=75，FNC=15FNC=15，由三角函数求出，由三角函数求出FCFC，得，得 即可得出结果即可得出结果. .1DCAC 2 22，62NE DFx 2 24，（3 3）由三角函数求出）由三角函数求出FNFN，得出，得出PFPF，PMNPMN的面积的面积y=y=梯形梯形MDFNMDFN的面积的面积- -PNFPNF的面积的面积- -PMDPMD的面积，得出的面积，得出y y是是x x的二次的二次函数，即可得出函数，即可得出y y的最大值的最大值. .1.1.（20152015烟台）如图，直线烟台）如图，直线 与坐标轴交于与坐标轴交于A A，B B两点，点两点，点M M（m m，0 0）是）是x x轴上一动点，以点轴上一动点，以点M M为圆心，为圆心，2 2个单位长度为半径作个单位长度为半径作M M，当，当M M与直线与直线l相切时，相切时，m m的值为的值为_._.1yx 12：l2 2 5 2 2 5或2.2.（20152015广东广州）如图，四边形广东广州）如图，四边形ABCDABCD中，中，A=90A=90， AD=3 AD=3，点，点M M，N N分别为线段分别为线段BCBC，ABAB上的动点（含端上的动点（含端点，但点点，但点M M不与点不与点B B重合），点重合），点E E，F F分别为分别为DMDM，MNMN的中点，则的中点，则EFEF长度的最大值为长度的最大值为_._.AB 3 3，3 33.3.（20152015湖南怀化）如图，已知湖南怀化）如图，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=8AC=8，BC=6BC=6，点，点P P以每秒以每秒1 1个单位的速度从个单位的速度从A A向向C C运动，同时运动，同时点点Q Q以每秒以每秒2 2个单位的速度从个单位的速度从ABCABC方向运动，他们到方向运动，他们到C C点点后都停止运动，设点后都停止运动，设点P P，Q Q运动的时间为运动的时间为t t秒秒. .（1 1）在运动过程中，求）在运动过程中，求P P，Q Q两点间距离的最大值；两点间距离的最大值；（2 2）经过）经过t t秒的运动，求秒的运动，求ABCABC被直线被直线PQPQ扫过的面积扫过的面积S S与时与时间间t t的函数关系式；的函数关系式；（3 3）P P，Q Q两点在运动过程中，是否存在两点在运动过程中，是否存在时间时间t t，使得，使得PQCPQC为等腰三角形，若存在，为等腰三角形，若存在，求出此时的求出此时的t t值，若不存在，请说明理由值，若不存在，请说明理由. .（ 结果保留一位小数）结果保留一位小数）52.24，当当CQ=CPCQ=CP时，时，即即解得解得 t=0(t=0(舍去舍去).).2322 tt 16 8 t.5 16t,5当当PQ=CQPQ=CQ时，时，即即解得解得 ( (舍去舍去).).当当PQ=PCPQ=PC时，时，即即解得解得23 532t2 tt 16.5540tt811，3 5t8 t.5 t6 5 10 3.4.当当5t85t8时，时，PQCPQC是直角三角形，是直角三角形，且且CP=16-2t=2(8-t)=2CP,CP=16-2t=2(8-t)=2CP,此时不存在等腰三角形此时不存在等腰三角形. .综上所述，当综上所述，当 时，时，PCQPCQ是等腰三角形是等腰三角形. .1640ttt3.4511或或二、动线问题二、动线问题 这类问题是指直线按指定的路径运动，进而引起图形这类问题是指直线按指定的路径运动，进而引起图形的变化的变化. .解答这类问题时要把握直线运动与变化的全过程，解答这类问题时要把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量关系，特别是注意一些不变量、不变抓住等量关系和变量关系，特别是注意一些不变量、不变关系或特殊关系关系或特殊关系. . （20142014甘肃兰州）如图，在平面直角坐标系中，四甘肃兰州）如图，在平面直角坐标系中，四边形边形OBCDOBCD是边长为是边长为4 4的正方形，平行于对角线的正方形，平行于对角线BDBD的直线的直线l从从O O出发，沿出发，沿x x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1 1个单位长度的速度运动，运动个单位长度的速度运动，运动到直线到直线l与正方形没有交点为止与正方形没有交点为止. .设直线设直线l扫过正方形扫过正方形OBCDOBCD的的面积为面积为S S，直线，直线l运动的时间为运动的时间为t t（秒），下列能反映（秒），下列能反映S S与与t t之之间函数关系的图象是间函数关系的图象是( )( )【分析分析】根据三角形的面积即可求出根据三角形的面积即可求出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，根据函数关系式选择图象根据函数关系式选择图象. . 【解答解答】即即该函数图象是开口向上的抛物线的一部分该函数图象是开口向上的抛物线的一部分. .故故B B，C C错误；错误；当当4 4t8t8时，时，该函数图象是开口向下的抛物线的一部分该函数图象是开口向下的抛物线的一部分. .故故A A错误错误. .【答案答案】D D2110 t4St tt22 当时，21St .2211S 168 t8 tt8t 16.22 （） （）【点评点评】本题考查了动线问题的函数图象本题考查了动线问题的函数图象. .本题以动态的形本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性具有很强的综合性. .4.4.（20152015湖南邵阳）如图，在等腰湖南邵阳）如图，在等腰ABCABC中，直线中，直线l垂直底垂直底边边BCBC，先将直线，先将直线l沿线段沿线段BCBC从从B B点匀速平移至点匀速平移至C C点，直线点，直线l与与ABCABC的边相交于的边相交于E E，F F两点，设线段两点，设线段EFEF的长度为的长度为y y，平移时，平移时间为间为t t，则能较好反映，则能较好反映y y与与t t的函数关系的图象是的函数关系的图象是( )( )5.5.（20152015四川乐山）如图四川乐山）如图1 1，二次函数，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图象的图象与与x x轴分别交于轴分别交于A A，B B两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C，若，若tan ABC=3tan ABC=3，一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根为的两根为-8-8，2.2.（1 1）求二次函数的解析式；）求二次函数的解析式；（2 2）直线）直线l以以ABAB为起始位置，绕点为起始位置，绕点A A顺时针旋转到顺时针旋转到ACAC位置停位置停止，止，l与线段与线段BCBC交于点交于点D D，P P是是ADAD的中点的中点. .求点求点P P的运动路程；的运动路程；如图如图2 2，过点，过点D D作作DEDE垂直垂直x x轴于轴于点点E E，作，作DFACDFAC所在的直线于点所在的直线于点F F，连接，连接PEPE，PFPF，在，在l运动过程中，运动过程中，EPFEPF的大小是否改变？请说明理由的大小是否改变？请说明理由. .（3 3）在（）在（2 2）的条件下，连接）的条件下，连接EFEF，求，求PEFPEF周长的最小值周长的最小值. .解：解：（1 1）有题意知点）有题意知点A A的坐标为（的坐标为（-8,0-8,0），），点点B B的坐标为（的坐标为（2 2，0 0），），即即AO=8AO=8，OB=2.OB=2.又又tanABCtanABC=3=3，OC=6OC=6，即，即C C（0 0，-6-6）. .将将A A（-8,0-8,0），），B B（2,02,0），），C C（0 0，-6-6）代入）代入y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中，得中，得二次函数解析式为二次函数解析式为39abc6.84，239yxx 6.84（2 2）如图）如图1 1，当，当l在在ABAB位置时，位置时，P P即为即为ABAB的中点的中点H H，当当l运动到运动到ACAC位置时，位置时，P P即为即为ACAC中点中点K K，P P的运动路程为的运动路程为ABCABC的中位线的中位线HKHK，在在RtRtBOCBOC中，中，OB=2OB=2，OC=6OC=6，即即P P的运动路程为的运动路程为1HKBC.2BC 2 10 HK10.，10.EPFEPF的大小不会改变，理由如下：的大小不会改变，理由如下：如图如图2 2，DEABDEAB，在在RtRtAEDAED中，中，P P为斜边为斜边ADAD的中点，的中点，PAE=PEA=PAE=PEA=同理可得同理可得PAF=PFA= PAF=PFA= EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF).EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF).1PEAD PA2，1EPD.21DPF.2即即EPF=2EAF.EPF=2EAF.又又EAFEAF大小不变，大小不变，EPFEPF的大小不会改变的大小不会改变. .(3)(3)设设PEFPEF的周长为的周长为C C，则则C CPEFPEF =PE+PF+EF =PE+PF+EF，C CPEFPEF=AD+EF.=AD+EF.在等腰三角形在等腰三角形PEFPEF中，如图中，如图2 2，过点，过点P P作作PGEFPGEF于点于点G G，11PEAD PFAD22，1EPCEPFBAC.2OC3tan BACAO4EG3tan EPG.PG4 ，又当又当ADBCADBC时，时，ADAD最小，最小，此时此时C CPEFPEF最小，最小，PEF363EGPE EFPEAD.5558CAD EFAD.5，ABCPEF1S30BC AD 30.2AD 3 10.824CAD10.55又，即的最小值为三、动面问题三、动面问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等. .解答这类解答这类问题，应注意到图形在运动过程中，对应线段、对应角保持问题，应注意到图形在运动过程中，对应线段、对应角保持不变不变. .其中以三角形、四边形的运动是最常见的一种题型其中以三角形、四边形的运动是最常见的一种题型. . （20152015烟台）如图，烟台）如图，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30，AB=8AB=8，以，以 为边长的正方形为边长的正方形DEFGDEFG的一边的一边GDGD在直线在直线ABAB上，且点上，且点D D与点与点A A重合重合. .现将正方形现将正方形DEFGDEFG沿沿ABAB的方的方向以每秒向以每秒1 1个单位的速度匀速运动，当点个单位的速度匀速运动，当点D D与点与点B B重合时停止重合时停止，则在这个运动过程中，正方形，则在这个运动过程中，正方形DEFGDEFG与与ABCABC的重合部分的的重合部分的面积面积S S与运动时间与运动时间t t之间的函数关系图象大致是之间的函数关系图象大致是( )( )2 3【分析分析】首先根据条件求出首先根据条件求出ACAC，BCBC及及ABAB边上的高的值，然边上的高的值，然后根据图示，分三种情况：（后根据图示，分三种情况：（1 1）当）当 时时, ,（2 2）当）当 时时, ,（3 3）当）当6t86t8时，分别求出正方形时，分别求出正方形DEFGDEFG与与ABCABC的重合部分的面积的重合部分的面积S S的表达式，进而判断出大致图象的表达式，进而判断出大致图象. .0 t2 3 2 3 t6 6.6.如图，边长分别为如图，边长分别为1 1和和2 2的两个等边三角形，开始它们在的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x x，两个三角形重叠面积为，两个三角形重叠面积为y y，则，则y y关于关于x x的函数图象是的函数图象是( )( )
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