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理数课标版第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为教材研读教材研读Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值:称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)称DX=(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.1niDX2.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aEX+b(a,b为实数).(2)D(aX+b)=a2DX(a,b为实数).3.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n,p)EXp(p为成功概率)npDXp(1-p)np(1-p)4.正态曲线的特点正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;(3)曲线在x=处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移;(6)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.121.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3答案答案 A由已知条件可知E(X)=1+2+3=,故选A.X123P35310110325235310110322.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案答案 C由P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=.答案答案0.1解析解析由题意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.12考点一离散型随机变量的均值、方差考点一离散型随机变量的均值、方差考点突破考点突破典例典例1 (2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.112343210C CCC1313P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以,随机变量X的分布列为222334210CCCC41511113334210C CC CC7151134210C CC415X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.415715415方法技巧方法技巧求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.(2)求X取每个值时的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).提醒如果XB(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.1-1一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,03CP(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,13CP(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=0.63=0.216.所以X的分布列为23C33CX0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.考点二均值与方差在实际问题中的应用考点二均值与方差在实际问题中的应用典例典例2(2016课标全国,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列为(6分)(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040.(10分)当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)规律总结规律总结利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来.(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.(3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值.(4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.2-1某校设计了一个实验测试方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成,考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.23解析解析(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,则的可能取值分别为1,2,3;的可能取值分别为0,1,2,3.P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生甲正确完成题数的概率分布列为124236C CC15214236C CC35304236C CC15123P153515E()=1+2+3=2.P(=0)=,同理,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生乙正确完成题数的概率分布列为15351503C321312762712278270123P1276271227827E()=0+1+2+3=2.1276271227827(2)D()=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,15351525D()=(2-0)2+(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,D()P(2).从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.127627122782723212( )(1)3333D npp 或35154512278272027考点三正态分布考点三正态分布典例典例3(1)(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(2)(2015湖南,7,5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若XN(,2),则P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772答案答案(1)B(2)C解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,则P(36)=(95.44%-68.26%)=13.59%.12(2)由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义,知题图中阴影部分的面积为P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341310000=3413.故选C.12方法技巧方法技巧解决有关正态分布的求概率问题的关键是利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.(1)应熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-33)=0.1587,则P(X1)=.答案答案0.8413解析解析由XN(2,1),知=2,因为P(X3)=0.1587,所以P(X1)=1-0.1587=0.8413.3-2某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(单位:分,XN)服从正态分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,则该班学生数学成绩在110分以上的人数为.答案答案10解析解析由题意,知P(X110)=0.2,所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10.12 (90100)2PX
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