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第第二二讲讲空间中的平行及垂直点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明:如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题.1.直线与平面的位置关系 (1)线面平行线面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. (2)线面垂直线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.线面垂直的性质定理:如果两条直线和一个平面垂直,那么这两条直线平行.zzzz2.平面与平面的位置关系(1)面面平行面面平行的判定定理:一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,则这两个平面平行.面面平行的性质定理:如果两个平面平行,同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.(2)面面垂直面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.zzzz考点1考点2考点3考点4例1若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长考点1考点2考点3考点4z考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4(2015湖北高考,文5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即p q;而l1,l2不相交 l1,l2是异面直线,即q p.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件. 答案:A变式训练1zz考点1考点2考点3考点4zzz考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)解:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.z考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4证明:(1)因为平面PBC平面ABC,平面PBC平面ABC=BC,AB平面ABC,ABBC,所以AB平面PBC.因为CP平面PBC,所以CPAB.又因为CPPB,且PBAB=B,AB,PB平面PAB,所以CP平面PAB.又因为PA平面PAB,所以CPPA.考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点4考点3z考点1考点2考点4考点3考点1考点2考点4考点3考点1考点2考点4考点3考点1考点2考点4考点3考点1考点2考点4考点3121.选择题解题技巧之排除法(立体几何概念篇):排除法在立体几何的概念判定中使用时要注意细心发现选项的异同,找准突破口,有些试题可以通过排除部分选项来获得题目的答案.例1(2015广东广州高三期末,7)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,ac,则bc;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号是()12A.B.C.D.解析:若ab,bc,则ac或a与c相交或a与c异面,所以是假命题;观察答案排除A,C,在剩余的答案B,D中都有,故无需鉴别;下面鉴别,若a,b,则ab或a与b相交或a与b异面,所以是假命题,排除答案B.故选D.答案:Dzz122.解答题解题技巧之转化与化归思想(立体几何篇):转化与化归思想是立体几何中的常用思想,在平行与垂直的证明中使用非常普遍,具体表现为线线、线面、面面间的平行及垂直的频繁转化,一般是将面面、线面关系最终化归为线线关系而得以证明命题.例2(2015广东惠州第三次调研,18)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABBC,E,F分别是A1B,AC1的中点.(1)求证:EF平面ABC;(2)求证:平面AEF平面AA1B1B;(3)若AB=BC=a,A1A=2a,求三棱锥F-ABC的体积.12z12
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