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第一单元 数与式第1课时 实数及其运算考纲考点考纲考点实数的有关概念：相反数、倒数、绝对值以及数轴和科学记数法.近几年湖南各市中考每年至少考一题.而实数的运算近几年湖南各市中考也至少考一题，实数的运算一般会与二次根式、负整数指数幂、0指数幂以及特殊角的三角函数值结合起来考查.预测2017年湖南各市中考还会进一步考查实数的有关概念及运算.知识体系图知识体系图实数及其运算概念 分类 运算数轴相反数绝对值科学计数法近似数按正负数分按定义分正实数零负实数有理数无理数加减法乘除法乘方运算律1.1 实数的有关概念实数的有关概念1、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体实数一一对应2、相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数a，b互为相反数ab03、倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数a，b互为倒数ab14、绝对值：在数轴上一个数对应的点离原点的距离，叫作这个数的绝对值. 丨a丨是一个非负数，即丨a丨0.5、平方根，算术平方根，立方根：如果x2a，那么x叫做a的平方根，记作x= ；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3a，那么x叫做a的立方根，记作 .1.2 实数的分类实数的分类1、按实数的定义分类 2、按正负数分根据需要，我们也可以将实数按符号进行分类，如：1.3 实数大小的比较实数大小的比较1、 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数绝对值大的较大；两个负数，绝对值较大的反而小.2、利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数.3、设a、b是任意的实数，a-b0 ab；a-b=0 a=b；a-b0 ab.4、设a、b是正实数， ab； =1 a=b；abbababa.4 实数的运算实数的运算实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，同级运算应从左到右依次进行.1.5 科学计数法与近似数科学计数法与近似数1、科学计数法把一个数写成a10的形式（其中1丨a丨10，n为整数），这种计数法叫作科学计数法.（1）当原数大于或等于1时，n等于原数的整数位数减一.（2）当原数小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含小数点前的零）.2、近似数一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.1.6 实数中的非负数及其性质实数中的非负数及其性质1、任何一个实数a的绝对值是非负数，即丨a丨0；2、任何一个实数a的平方是非负数，即a0；3、任何非负数a的n次算术根是非负数.有关实数及其运算的一些解题思路与方法有关实数及其运算的一些解题思路与方法数形结合思想数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想策略“数无形，少直观；形无数，难入微”数形结合思想可以使问题化难为易、化繁为简分类讨论思想分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复化归思想化归也称转化，是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想，关键是确定合理、可行的转化目标，掌握基本的方法步骤五种大小比较方法实数的大小比较常用以下五种方法：（1）数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（2）代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小（3）差值比较法：设a、b是两个任意实数，则：a-b0 ab；a-b=0 a=b；a-b0 ab.（4）倒数比较法：若a0，b0，且1/a1/b，则ab.（5）平方比较法：比较a、b的大小问题.【例1】（2014年合肥模拟）实数， ，0，-1中，无理数是 （ A ） A. B. C.0 D.-1 【解析】判断一个数是不是无理数，关键看它是否能写成无限不循环小数，初中常见的无理数分为三类：（1）简化后含（圆周率）的式子；（2）含根号且开不尽方的数；（3）有规律但不循环的无限小数.掌握常见无理数的类型，有助于识别无理数. 【例2】（2014年重庆）计算：解：原式=2+9-14+6=11-4+6=13【解析】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的【例3】（2015年江西）2015年初，一列 CRH5 型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃.将数300 000用科学计数法表示为 （ B ） A.3106 B.3105 C.0.3106 D.30104【解析】本题考查了科学计数法的表示方法.科学计数法的表示形式为a10的形式，其中1丨a丨10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.【例4】（1）（2014年河北）-2是2的 （ B ） A.倒数 B.相反数 C.绝对值 D.平方根 （2）已知|a|1，|b|2，|c|3，且abc，那么abc=2或0. （3）设|a|4，|b|2，且|ab|(ab)，试求ab所有值的和 解：|a|4，|b|2，a4，b2， 又|ab|(ab)0， ab0，可知a4，b2，所以ab426，或ab 4(2)2，6(2)8，ab所有值的和是8.【解析】(1)互为相反数的两个数和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； (3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.【例5】（2015年金华）如图，数轴A，B，C，D四点中，与 表示的点最接近的是 （ B ） A.点A B.点B C.点C D.点D【解析】由于134，所以 1 2，又因为3离4较近，故 离2较近，-2 -1，且 距离-2较近，故选择B.33333【例6】（1）（2014年绍兴）比较-3,1，-2的大小，下列判断正确的是 （ A ） A.-3-21 B.-2-31 C.1-2-3 D.1-3-2 （2）（2014年河北）a，b是两个连续整数，若a b，则a，b 分别是 （ A ） A.2,3 B.3,2 C.3,4 D.6,8【解析】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行7
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