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第2讲图形的相似1.了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.3.掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.5.了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.6.了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小.7.会用图形的相似解决一些简单的实际问题.知识点内容比例线段比例的基本性质知识点内容平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等黄金分割(续表)(续表)知识点内容相似三角形的性质与判定相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例；(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似注意平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似知识点内容位似图形概念如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(续表)相似三角形的判定与性质例1：(2016年湖北武汉)在ABC中，P为边AB上一点. (1)如图 5-2-1(1)，若ACPB，求证：AC2APAB；(2)若 M 为 CP 的中点，AC2.如图 5-2-1(2)，若PBMACP，AB3，求 BP 的长；如图 5-2-1(3)，若ABC45，ABMP60，直接写出 BP 的长.(1)(3)(2)图5-2-1(1)证明：ACPB，BACCAP，ACPABC.ACABAPAC.AC2APAB.(2)解：如图 5-2-2(1)，作 CQBM 交AB 延长线于点Q.设 BPx，则 PQ2x.PBMACP，AQCPBM，ACPAQC.又PAC CAQ，APCACQ.(1)(2)图5-2-2如图5-2-2(2)，作CQAB于点Q，作CP0CP交AB于点 P0，BPMCP0A，BMPCAP0 【试题精选】1.(2016 年黑龙江哈尔滨)如图 5-2-3，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，DEBC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是()图 5-2-3答案：A2.(2016 年四川巴中)如图 5-2-4，点 D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的中点，则ADE 的面积与四边形 BCED 的面积的比为()图 5-2-4A.1 2B.1 3C.1 4D.1 1答案：B3.(2016年河北)如图5-2-5，在ABC中，A78，AB 4，AC6.将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()图 5-2-5A.B.C.D.答案：C解题技巧(1)相似的判定方法可类比全等三角形的判定方法，找对应边(角)时应遵循一定的对应原则，如长(大)对长(大)，短(小)对短(小)，或找相等的边(角)帮助确定.(2)利用相似三角形的性质可以证明有关线段成比例、角相等，也可计算三角形中边的长度或角的大小.关键要注意相似三角形的对应边的确认及性质的综合运用，尤其是在运用相似图形的面积比等于相似比的平方时，不要漏了“平方”.相似三角形的综合应用例 2：(2015 年陕西)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图 5-2-6，当小聪正好站在广场的A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF恰好为 2 块地砖长.已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米，MNNQ，ACNQ，BENQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长.(结果精确到0.01米)图 5-2-6思路分析先证明CADMND，利用相似三角形的性质求得 MN9.6，再证明EFBMFN，即可解答.解：由题意，得CADMND90，CDAMDN.MN9.6.又EBFMNF90，EFBMFN，EB1.75.小军身高约为1.75 米.思想方法运用相似三角形解决实际问题时，关键是把实际问题转化为求证相似三角形和利用相似比求线段的长.【试题精选】4.(2016 年陕西)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下：如图 5-2-7，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 ED1.5 米，CD2 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 D 点沿DM 方向走了16 米，到达“望月阁”影子的末端 F 点处，此时，测得小亮身高 FG 的影长 FH2.5 米，FG1.65 米.如图 5-2-7，已知 ABBM，EDBM，GFBM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB 的长度.图 5-2-7解：如图D69，由题意，可得：ABCEDCGFH90，ACBECD，AFBGHF.故ABCEDC，ABFGFH.图 D69解得 AB99.答：“望月阁”的高 AB 的长度为 99 米.图形的位似5.(2016 年山东东营)如图 5-2-8，在平面直角坐标系中，已知点 A(3,6)，B(9，3)，以原点 O 为位似中心，相似比为A.(1,2)B.(9,18)C.(9,18)或(9，18)图 5-2-8D.(1,2)或(1，2)答案：D6.(2016 年湖北十堰)如图 5-2-9，以点 O 为位似中心，将ABC 缩小后得到ABC，已知 OB3OB，则ABC与ABC的面积比为() 图 5-2-9A.1 3B.1 4C.1 5D.1 9答案：D图 5-2-10A.B.C.D.答案：A2.(2015 年广东)若两个相似三角形的周长比为 2 3，则它们的面积比是_.答案：4 93.(2013 年广东)如图 5-2-11，在矩形 ABCD 中，以对角线BD 为一边构造另一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C.(1)设RtCBD的面积为S1，RtBFC的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1_S2S3；(用“”“”“”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.图 5-2-11答案：(1)(2)BCDCFBDEC.证明BCDDEC.证明：EDCBDC90，CBDBDC90，EDCCBD.又BCDDEC90，BCDDEC.4.(2014 年广东)如图 5-2-12，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，BC10 cm，AD8 cm.点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB，AC，AD 于 E，F，H，当点 P 到达点C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒(t0).(1)当 t2 时，连接 DE，DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；(3)是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在， 请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由.图 5-2-12(1)证明：当 t2 时，DHAH4，则 H 为 AD 的中点，如图 D70.又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线.AEDE，AFDF.ABAC，ADBC 于点 D，ADBC，图 D70BC.EFBC.AEFB，AFEC.AEFAFE.AEAF.AEAFDEDF，即四边形 AEDF 为菱形.(2)解：如图 D71，由(1)知，EFBC，AEFABC.图 D71当t2秒时，SPEF存在最大值，最大值为10 cm2，此 时 BP3t6 cm.(3)解：存在.理由如下：若点 E 为直角顶点，如答图 D72，此时 PEAD，PEDH2t，BP3t.图 D72图 D73图 D74若点 P 为直角顶点，如答图 D74.过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则EMFNDH2t，EMFNAD.在RtPEF中，由勾股定理，得EF2PE2PF2，
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