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2.3 幂函数幂函数我们知道：我们知道：N= =ab. . 1 1、如果、如果a一定，一定，N随随b的变化而变化，我们建立了的变化而变化，我们建立了指数函数指数函数y= =ax; ; 2 2、如果、如果a一定，一定， b随随N的变化而变化，我们建立的变化而变化，我们建立了对数函数了对数函数y= =logax; ; 试想：试想：如果如果b一定，一定，N随随a的变化而变化，我们的变化而变化，我们是不是也应该可以确定一个函数呢？是不是也应该可以确定一个函数呢？y=x 一般地，函数一般地，函数yxa叫做叫做幂函数幂函数，其中其中x是自变量，是自变量，a是常数是常数.注意注意: :幂函数中幂函数中a的可以为任意实数的可以为任意实数.练习、下列函数是幂函数的是（练习、下列函数是幂函数的是（ ） （1 1）y=2=2x2 2；（；（2 2）y= =x3 3+ +x；（；（3 3）y= = 。21x 例例1.已知已知解：解：由题意得由题意得是幂函数，求是幂函数，求m，n的值的值.221(22)24mymmxn 2221mm240n解得解得2230mm即即32 .mn ，2n 【点拨点拨】yxa其特征底数为自变量其特征底数为自变量x， 指数指数a为常数，且系数为为常数，且系数为1.或或 m=1, n=2高中阶段主要研究这高中阶段主要研究这5个幂函数：个幂函数：12312,.yx yxyxyxyx 因为函数的奇偶性能够帮助我们完成左半平因为函数的奇偶性能够帮助我们完成左半平面内的图象，所以只需要研究它们在第一象限内面内的图象，所以只需要研究它们在第一象限内的图象。的图象。-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 4xy-3-3-2-2-1-11 12 23 34 4y= =xy= =x2 2y= =x3 3y= =x-1-1y= =x21y= =xy= =x2 2y= =x3 3y= =x-1-1y= =x21y= =xy= =x2 2y= =x3 3y= =xy= =x-1-1定义域定义域RRR0,+)0,+) x| |x00值值 域域R0,+)0,+)R R0,+)0,+) y| |y00奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调性单调性增增增增增增增增减减定定 点点(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)21幂函数的性质幂函数的性质 (1) 所有的幂函数在所有的幂函数在(0,)都都有定义有定义,且图象都通过点且图象都通过点(1,1)；(2) 当当a0时时,幂函数图象幂函数图象过原过原点点,且在且在0,)上是上是增函数增函数.特别地：特别地：当当a1时时,幂函数的图象下凸幂函数的图象下凸;当当0a0时，时，必有必有y0，故幂函数图象不过第四象限，故幂函数图象不过第四象限. 幂函数图象在第一象限的分布情况：幂函数图象在第一象限的分布情况：y= =xy= =x2 2y= =x3 3y= =x-1-1y= =x210 0 xy1 11 1 作直线作直线x= =a( (a1)1)，与幂函数与幂函数y=x的图象的的图象的交点越高，交点越高，的值越大。的值越大。a(1)(1)1, 1, 抛物线型抛物线型( (凹凹););(2)(2)=1, =1, 上升的射线上升的射线; ;(3)0(3)01, 1, 抛物线型抛物线型( (凸凸););(4)(4)=0, =0, 水平的射线水平的射线; ;(5)(5)0, )x2 2的解集。的解集。4115 练习、已知幂函数练习、已知幂函数y= =xm2 2-2-2m-3-3（mN) )的图像与的图像与x轴、轴、y轴都没有公共点，且关于轴都没有公共点，且关于y轴对称，求轴对称，求m的值。的值。
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