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导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.7 弧长与扇形面积第1课时 弧长与扇形面积第24章 圆学习目标1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）导入新课导入新课情境引入问题1 如图，在运动会的4100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？因为这些弯道的“展直长度”是一样的.甲乙12问题引入讲授新课讲授新课与弧长相关的计算一问题1 半径为R的圆,周长是多少？ORC=2 R问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180OR90OR45ORn合作探究 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算 已知弧所对的圆心角为60，半径是4，则弧长为_.4312360180nn RCR知识要点u弧长公式弧长公式典例精析OA解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n.解得 n90因此，滑轮旋转的角度约为90。15.7,180n R例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午周长）的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里158.5 m).当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为.实际测得是7.2，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？OASOAS解：太阳光线可看作平行的，圆心角AOS=7.2.136050,7.2CAS设地球的周长为C1，则1C =5039625km.AS 答：地球的周长约为39625km.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长1100 9005001570 (mm),180C 因此所要求的展直长度l=2700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm 700mm700mmR=900mm(100 ACBDO练一练两条半径与所夹弧围成的图形，叫作扇形.半径半径OBA圆心角圆心角弧OBA扇形与扇形面积相关的计算二新知学习下列图形是扇形吗？判一判问题1 半径为R的圆,面积是多少？OR2S= R问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几?OR180OR90OR45ORn想一想(1) 圆心角是180，占整个周角的 ，因此圆心角是180的扇形面积是圆面积的_.180360(2) 圆心角是90，占整个周角的 ，因此圆心角是90的扇形面积是圆面积的_.90360(3) 圆心角是45，占整个周角的 ，因此圆心角是45的扇形面积是圆面积的_.45360(4) 圆心角是n，占整个周角的 ，因此圆心角是n的扇形面积是圆面积的_.360n1803609036045360360n若设O半径为R，圆心角为n的扇形的面积 公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意ABO2=360n RS扇形知识要点u扇形的面积公式扇形的面积公式 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ 111180221802nRRnRSRC R扇形ABOO类比学习1180n RC2=360n RS扇形 1.扇形的弧长和面积都由 决定.扇形的半径与扇形的圆心角2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇扇= 433.已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .24cm3 43 试一试典例精析例3 如图，圆心角为60的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）OR60解：n=60，r=10cm，扇形的面积为=2 +180n rlr26010=360 50=3252.36(cm ).扇形的周长为2=180n rS6010=20+180 10=20+330.47(cm).例3 如图，点D在 O的直径AB的延长线上，点C在 O上，AC=CD，ACD=120（1）求证：CD是 O的切线；（2）若 O的半径为2，求图中阴影部分的面积（1）证明：连接OCAC=CD，ACD=120，A=D=30OA=OC，ACO=A=30OCD=180-A-D-ACO=90 即OCCD，CD是 O的切线(2) A=30，COB=2A=60BOC602.3603S扇形在RtOCD中，CDOCtan602 3.OCD1=OC CD=2 3.2SOCDOCB2=S-S=2 3-.3S阴影扇形例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）(1)O .BAC 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- OAB的面积解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. OC0.6, DC0.3, ODOC- DC0.3， ODDC.又 AD DC，AD是线段OC的垂直平分线，ACAOOC.从而 AOD60, AOB=120.O.BACD(3)有水部分的面积：SS扇形OAB - SOAB2212010.6360210.120.6 3 0.320.22(m )AB ODOBACD(3)OO弓形的面积=扇形的面积三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形知识要点u弓形的面积公式弓形的面积公式 当堂练习当堂练习7733847338 433CA. BC. D.1.已知弧所对的圆周角为90,半径是4,则弧长为 .2.如图，RtABC中，C=90, A=30,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将ABC顺时针旋转120到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）2ABCOHC1A1H1O13.如图，A、B、 C、 D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .212 cmABCD4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.OABDCE22=24010.60.3 0.6 336020.240.09 30.91 cm.OABSS弓形扇形S解：课堂小结课堂小结弧长计算公式：1180n RC扇形定义公式2360n RS扇形112SC R扇形阴影部分面积求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形割补法
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