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第二节 参数方程1.1.参数方程的概念及与普通方程的互化参数方程的概念及与普通方程的互化(1)(1)参数方程的概念参数方程的概念一般地，在取定的平面直角坐标系一般地，在取定的平面直角坐标系xOyxOy中，如果一条曲线中，如果一条曲线L L上上_的坐标的坐标(x,y)(x,y)的每个分量都是某个变量的每个分量都是某个变量t t的函数，的函数，即即 ，而且对于，而且对于t t的的_,_,由方程组由方程组 确定确定的点的点(x,y)(x,y)在在L L上，则称方程组上，则称方程组 是曲线是曲线L L的参数方程，联的参数方程，联系系x,yx,y之间关系的中介变量之间关系的中介变量t t称为参数方程的参变量，简称称为参数方程的参变量，简称_._.任意一点任意一点x(t)y(t) x(t)y(t) x(t)y(t) 每个允许值每个允许值参数参数(2)(2)参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，一般地，参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，一般地，可通过消去参数而从参数方程得到普通方程，常用代入、加减可通过消去参数而从参数方程得到普通方程，常用代入、加减等消元方法等消元方法. .熟悉一些常见恒等式，往往能从整体上把握，简熟悉一些常见恒等式，往往能从整体上把握，简化消元过程，如：化消元过程，如：sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1, 等等. .如果知道如果知道x x，y y中的一个与参数中的一个与参数t t的关系，如的关系，如x=f(t)x=f(t)，把其代，把其代入普通方程，求出另一个与参数入普通方程，求出另一个与参数t t的关系的关系y=g(t)y=g(t)，则，则 就是曲线的参数方程就是曲线的参数方程. .2211(t)(t)4,tt222222t1t()()11t1txf(t)yg(t)【即时应用即时应用】(1)(1)曲线曲线 (t(t为参数为参数) )的焦点坐标为的焦点坐标为_；(2)(2)曲线曲线 (t(t为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为_._.2x2tytttttx22y22【解析解析】(1)(1)消去参数消去参数t t，得到曲线的普通方程为，得到曲线的普通方程为x x2 2=4y,=4y,故焦点故焦点F(0F(0，1).1).(2)(2)求平方差，消去参数求平方差，消去参数t t，得到，得到x x2 2-y-y2 2=(2=(2t t-2-2-t-t) )2 2-(2-(2t t+2+2-t-t) )2 2=-4=-4，即即y y2 2-x-x2 2=4(y2).=4(y2).答案：答案：(1)(0(1)(0，1) (2)y1) (2)y2 2-x-x2 2=4(y2)=4(y2) 2.2.直线的参数方程直线的参数方程过过xOyxOy平面上定点平面上定点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )，与，与x x轴正向夹角为轴正向夹角为的直线的直线L L的参的参数方程为数方程为_._.其中参数其中参数t t的绝对值等于直线上的动点的绝对值等于直线上的动点M M到定点到定点M M0 0的距离的距离. .00 xxtcosyytsin0,)0,)，t(-,+)t(-,+)，t t是参数是参数【即时应用即时应用】(1)(1)直线直线 (t(t为参数为参数) )的倾斜角为的倾斜角为_._.(2)(2)当参数当参数t=-2t=-2时，直线时，直线 上的点上的点M M与点与点A(2A(2，-3)-3)之之间的距离为间的距离为_._.x1tsin30y2tcos30 2x2t22y3t2 【解析解析】(1)(1)将直线将直线 的参数方程化为标准形式为的参数方程化为标准形式为 故倾斜角故倾斜角=120=120. .(2)(2)由直线的参数方程的几何意义，得由直线的参数方程的几何意义，得|AM|=|t|=2.|AM|=|t|=2.答案答案: :(1)120(1)120 (2)2 (2)2x1tsin30y2tcos30 x1tcos120y2tsin120 , 3.3.圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程(1)(1)圆的参数方程圆的参数方程以以M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心，以为圆心，以r0r0为半径的圆的参数方程为为半径的圆的参数方程为_. . ( () )椭圆的参数方程椭圆的参数方程椭圆椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的参数方程为的参数方程为_. 00 xxrcos0,2 )yyrsin2222xyabxacos0,2 )ybsin热点考向热点考向 1 1 参数方程与普通方程的互化及应用参数方程与普通方程的互化及应用【方法点睛方法点睛】参数方程与普通方程互化的注意事项参数方程与普通方程互化的注意事项(1)(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和平方和( (差差) )消参法；乘法消参法等消参法；乘法消参法等(2)(2)把曲线把曲线C C的普通方程的普通方程F(xF(x，y)y)0 0化为参数方程的关键：一是化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性(3)(3)与圆、椭圆上的点有关的最值问题，常常运用圆、椭圆的参与圆、椭圆上的点有关的最值问题，常常运用圆、椭圆的参数方程转化为三角函数的性质问题解决数方程转化为三角函数的性质问题解决. . 【例例1 1】(2012(2012福州模拟福州模拟) )已知圆的极坐标方程为已知圆的极坐标方程为2 2+4cos(+ )-5=0+4cos(+ )-5=0，(1)(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；的参数方程；(2)(2)若点若点P(x,y)P(x,y)在该圆上，求在该圆上，求x+ x+ 的最大值和最小值的最大值和最小值. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用公式利用公式 及及2 2=x=x2 2+y+y2 2将极坐标方程将极坐标方程化为普通方程，转化为参数方程；化为普通方程，转化为参数方程；(2)(2)由圆的参数方程转化为三角函数求最大值和最小值由圆的参数方程转化为三角函数求最大值和最小值. .33yxcosysin 【规范解答规范解答】(1)(1) , ,即即圆的参数方程为圆的参数方程为 (为参数为参数).).(2)(2)由由(1)(1)，得，得 的最大值为的最大值为8 8，最小值为，最小值为-4.-4.24 cos()503 ，22cos3 sin50 ，22xy2x2 3y5022x1(y3)9.x1 3cosy33sin x3y3 3sin3cos26sin()26 ，x3y【反思反思感悟感悟】1.1.圆与椭圆的参数方程与普通方程互化的依据圆与椭圆的参数方程与普通方程互化的依据是三角函数的基本关系式：是三角函数的基本关系式：sinsin2 2+cos+cos2 2=1.=1.2.2.关于圆、椭圆上的点的最值问题，常常运用参数方程转化为关于圆、椭圆上的点的最值问题，常常运用参数方程转化为三角函数的辅助角公式求解，即三角函数的辅助角公式求解，即asin+bcos=asin+bcos= 其中其中tantan= (a0),= (a0),且角且角的终边过点的终边过点(a,b).(a,b).22ab sin,ba【变式训练变式训练】已知直线已知直线C C1 1： (t(t为参数为参数) )，圆圆C C2 2： (为参数为参数) )(1)(1)当当 时，求时，求C C1 1与与C C2 2的交点坐标；的交点坐标；(2)(2)过坐标原点过坐标原点O O作作C C1 1的垂线，垂足为的垂线，垂足为A A，P P为为OAOA的中点当的中点当变变化时，求化时，求P P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线【解析解析】(1)(1)当当 时，时，C C1 1的普通方程为的普通方程为y y (x(x1)1)，C C2 2的的普通方程为普通方程为x x2 2y y2 21.1.x 1 tcosytsinxcosysin333联立方程组联立方程组 , ,解得解得C C1 1与与C C2 2的交点为的交点为(1,0)(1,0)和和( )( )(2)C(2)C1 1的普通方程为的普通方程为xsinxsinycosycossinsin0.A0.A点坐标为点坐标为(sin(sin2 2，cossin)cossin)，故当，故当变化时，变化时，P P点轨迹的参数方程点轨迹的参数方程为：为： (为参数为参数) )22y3 x 1 xy1 1322，21xsin21ysin cos2P P点轨迹的普通方程为点轨迹的普通方程为 . .故故P P点的轨迹是圆心为点的轨迹是圆心为( ( ，0)0)，半径为，半径为 的圆的圆14142211(x)y416 【变式备选变式备选】设点设点P P是椭圆是椭圆2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12上的一个动点，试求上的一个动点，试求x+2yx+2y的的取值范围取值范围. .【解析解析】由椭圆的方程由椭圆的方程2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12，可设，可设x= cos,y=2sin,x= cos,y=2sin,代入代入x+2y,x+2y,得得:x+2y= cos+2:x+2y= cos+22sin= sin(+2sin= sin(+),),其中其中tantan= = ，又因，又因-1sin(+-1sin(+)1)1，故，故- x+2y- x+2y ，所以所以x+2yx+2y的取值范围是的取值范围是- , - , . .66226422222222热点考向热点考向 2 2 利用参数方程求曲线交点问题利用参数方程求曲线交点问题【方法点睛方法点睛】直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义在直线的标准参数方程中，在直线的标准参数方程中，t t的几何意义是表示直线上的点到定的几何意义是表示直线上的点到定点的距离，在圆的参数方程中，点的距离，在圆的参数方程中，表示圆心角，在椭圆的参数表示圆心角，在椭圆的参数方程中，方程中，表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭圆表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭圆等曲线的交点问题等曲线的交点问题. . 【例例2 2】已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )，曲线，曲线C C的的极坐标方程为极坐标方程为2 2cos2cos21. 1. (1)(1)求曲线求曲线C C的普通方程；的普通方程；(2)(2)求直线求直线l被曲线被曲线C C截得的弦长截得的弦长. .【解题指南解题指南】利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，求曲线利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，求曲线C C的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求直的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求直线线l被曲线被曲线C C截得的弦长截得的弦长. .x2ty3t【规范解答规范解答】(1)(1)由曲线由曲线C C：2 2cos2cos22 2(cos(cos2 2sinsin2 2)1 1，化成普通方程为，化成普通方程为x x2 2y y2 21.1.(2)(2)由由 得得 ，用，用tt代替代替2t2t得直线的标准参数得直线的标准参数方程方程 (t(t为参数为参数).).把代入得把代入得 ，整理得，整理得tt2 24t4t6 60.0.x2ty3t1x2(2t)23y(2t)2tx223yt222t3(2)(t )122设其两根为设其两根为tt1 1，tt2 2，则，则tt1 1tt2 24 4，tt1 1tt2 26.6.从而弦长为从而弦长为|t|t1 1tt2 2| | 212(tt ) 221212(tt )4t t4462 10. 【反思反思感悟感悟】有关直线的参数方程，根据有关直线的参数方程，根据t t的几何意义，有以的几何意义，有以下结论下结论设设A A、B B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t tA A和和t tB B，则，则ABAB|t|tB Bt tA A| | ，线段，线段ABAB的中点所对应的参数值的中点所对应的参数值等于等于2BAAB(tt )4tt ABtt.2【变式训练变式训练】在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，直线中，直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )，若以，若以O O为极点，为极点，x x轴正半轴为极轴建立轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线极坐标系，则曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为 ，求直线，求直线l被曲线被曲线C C所截的弦长所截的弦长. .4x1t53y1t5 2cos()4【解析解析】将方程将方程 为参数为参数) )化为普通方程为化为普通方程为3x3x4y4y1 10.0.将方程将方程 化为普通方程为化为普通方程为x x2 2y y2 2x xy y0.0.表示圆表示圆心为心为( )( )，半径为，半径为r r 的圆，则圆心到直线的距离的圆，则圆心到直线的距离d d ，弦长，弦长4x1t53y1t5 2cos()41122，22110221172 rd2.21005热点考向热点考向 3 3 极坐标方程和参数方程的综合问题极坐标方程和参数方程的综合问题【方法点睛方法点睛】1.1.直线的参数方程中参数的几何意义直线的参数方程中参数的几何意义设设e e表示直线向上的方向的单位向量表示直线向上的方向的单位向量, ,如图如图, =t , =t e, ,当参数当参数t t0 0时时, , 与与e方向相同方向相同; ;当参数当参数t t0 0时时, , 与与e方向相反方向相反, ,因此因此, ,总有总有| |=|t|,| |=|t|,所所以参数以参数t t为点为点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线上点到直线上点M(x,y)M(x,y)的有向线段的有向线段 的数量的数量( (即方向即方向+ +长度长度),),这就是参数这就是参数t t的几何意义的几何意义. .0M M 0M M 0M M 0M M 0M M 2.2.直线参数方程的常用公式直线参数方程的常用公式: :根据直线的参数方程中根据直线的参数方程中t t的几何意的几何意义义, ,有以下结论有以下结论(1)(1)设设A A、B B是直线上任意两点是直线上任意两点, ,它们对应的参数分别为它们对应的参数分别为t tA A和和t tB B, ,则则|AB|=|t|AB|=|tB B-t-tA A|=|=(2)(2)线段线段ABAB的中点所对应的参数值等于的中点所对应的参数值等于2ABABtt4tt .ABtt.2【例例3 3】(2012(2012新课标全国卷新课标全国卷) )已知曲线已知曲线C C1 1的参数方程是的参数方程是 ( (为参数为参数),),以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x x轴的正半轴为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极轴建立极坐标系，曲线C C2 2的极坐标方程是的极坐标方程是=2=2，正方形，正方形ABCDABCD的顶点都在的顶点都在C C2 2上，且上，且A,B,C,DA,B,C,D依逆时针次序排列，点依逆时针次序排列，点A A的的极坐标为极坐标为(1)(1)求点求点A A，B B，C C，D D的直角坐标；的直角坐标；(2)(2)设设P P为为C C1 1上任意一点，求上任意一点，求|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2+|PC|+|PC|2 2+|PD|+|PD|2 2的取值的取值范围范围. .x2cos ,y3sin(2,).3【规范解答规范解答】(1)(1)由已知可得由已知可得即即(2)(2)设设P(2cosP(2cos,3sin,3sin),),令令S=|PA|S=|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2+|PC|+|PC|2 2+|PD|+|PD|2 2，则则S=16cosS=16cos2 2+36sin+36sin2 2+16=32+20sin+16=32+20sin2 2. .因为因为0sin0sin2 21,1,所以所以S S的取值范围是的取值范围是32,5232,52. .A(2cos,2sin),33B(2cos(),2sin(),3232C(2cos(),2sin(),3333D(2cos(),2sin(),3232A(13)B(31)C( 13)D( 31).，【变式训练变式训练】已知曲线已知曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是=4cos,=4cos,以极点为平以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为面直角坐标系的原点，极轴为x x轴的正半轴，建立平面直角坐标轴的正半轴，建立平面直角坐标系系, ,直线直线l的参数方程的参数方程 (t(t是参数是参数),),若与若与C C相交于相交于A A、B B两点两点, ,且且|AB|=|AB|=(1)(1)求曲线求曲线C C的直角坐标方程，并求出圆心与半径的直角坐标方程，并求出圆心与半径; ;(2)(2)求实数求实数m m的值的值. .14,2xtm22yt2【解析解析】(1)(1)曲线曲线C C的极坐标方程化为直角坐标方程为的极坐标方程化为直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0，圆心坐标为圆心坐标为(2,0)(2,0)，半径，半径R=2.R=2.(2)(2)直线直线l的直角坐标方程为的直角坐标方程为y=x-m,y=x-m,则圆心到直线则圆心到直线l的距离的距离所以所以 , ,可得可得|m-2|=1,|m-2|=1,解得解得m=1m=1或或m=3.m=3.2142d4(),2220m222
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