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第一部分教材梳理第第7节特殊的平行四边形节特殊的平行四边形第四章图形的认识（一）第四章图形的认识（一）知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1. 特殊平行四边形的定义特殊平行四边形的定义（1）矩形：有一个角是直角直角的平行四边形是矩形.（2）菱形：有一组邻边相等邻边相等的平行四边形是菱形.（3）正方形：有一组邻边相等邻边相等且有一个直角直角的平行四边形叫做正方形.它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形平行四边形，还是菱形菱形，也是矩形矩形.2. 特殊平行四边形的性质特殊平行四边形的性质（1）矩形的性质边：对边平行平行且相等相等.角：四个角都相等相等（都等于90）、邻角互补互补.对角线：对角线互相平分平分且相等相等.对称性：轴对称图形（对称轴为对边中点连线所在直线，有2 2条条）；中心对称图形.（2）菱形的性质边：四条边四条边都相等.角：对角相等相等、邻角互补互补.对角线：对角线互相垂直平分互相垂直平分且每条对角线平分平分每组对角.对称性：轴对称图形（对称轴为对角线所在直线，有2 2条条）；中心对称图形.（3）正方形的性质边：四条边都相等相等.角：四个角都相等相等（都等于90）.对角线：对角线互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为4545.对称性：轴对称图形（对称轴有4 4条条）；中心对称图形.3. 特殊平行四边形的判定方法特殊平行四边形的判定方法（1）矩形的判定（满足下列条件之一的四边形是矩形）有一个角是直角直角的平行四边形.对角线相等相等的平行四边形.四个角都相等相等的四边形.（2）菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形）有一组邻边相等邻边相等的平行四边形.对角线互相垂直互相垂直的平行四边形.四条边都相等相等的四边形.（3）正方形的判定（满足下列条件之一的四边形是正方形）有一组邻边相等邻边相等且有一个直角直角的平行四边形.有一组邻边相等邻边相等的矩形矩形.对角线互相垂直互相垂直的矩形矩形.有一个角是直角直角的菱形菱形.对角线相等相等的菱形菱形.主要公式主要公式 特殊平行四边形的面积公式特殊平行四边形的面积公式（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab.（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形= ab.（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形= a2.方法规律方法规律 特殊平行四边形的说明方法特殊平行四边形的说明方法（1）矩形的说明方法（三种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等.说明四边形ABCD的三个角是直角.（2）菱形的说明方法（三种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.说明四边形ABCD的四条边相等.（3）正方形的说明方法（四种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直且相等.先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形ABCD的一组邻边相等（或对角线互相垂直）.先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角（或对角线相等）.中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点考点1矩形的性质和判定矩形的性质和判定考点精讲考点精讲【例【例1 1】（2016广州）如图1-4-7-1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求ABD的度数. 思路点拨：首先说明OA=OB，再得出ABO是等边三角形即可解决问题. 解：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD.AO=BO.AB=AO，AB=AO=BO. ABO是等边三角形. ABD=60.考题再现考题再现1. （2016兰州）如图1-4-7-2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD= ，DE=2，则四边形OCED的面积（）A2. （2016广东）如图1-4-7-3，矩形ABCD中，对角线AC= ,E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B处，则AB=_.3. （2016茂名）如图1-4-7-4，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=_.2 24. （2015梅州）如图1-4-7-5，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为_.考点演练考点演练5. 在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A. AB=CD，AD=BC，AC=BD B. AO=CO，BO=DO，A=90C. A=C，B+C=180，ACBDD. A=B=90，AC=BDC6. 如图1-4-7-6，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是 （）B7. 如图1-4-7-7，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.（1）求证：ABECDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.证明：（证明：（1 1）在）在ABCDABCD中，中，ABAB= =CDCD，A A=C C. . ABABCDCD，ABDABD=CDBCDB. . BEBE平分平分ABDABD，DFDF平分平分CDBCDB，ABEABE= = ABDABD，CDFCDF= = CDBCDB. . ABEABE=CDFCDF. .在在ABEABE和和CDFCDF中，中，ABEABECDFCDF（ASAASA）. .（2 2）ABEABECDFCDF，AEAE= =CFCF. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC，ADAD= =BCBC. .DEDEBFBF，DEDE= =BFBF. .四边形四边形DFBEDFBE是平行四边形是平行四边形. .又又ABAB= =DBDB，BEBE平分平分ABDABD，BEBEADAD，即，即DEBDEB=90=90. .平行四边形平行四边形DFBEDFBE是矩形是矩形. .考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为填空题或解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握矩形的性质和判定定理并加以灵活运用（相关要点详见“知识梳理”部分）.考点考点2菱形的性质和判定菱形的性质和判定考点精讲考点精讲【例【例2 2】（2016梅州）如图1-4-7-8，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于 BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF. （1）四边形ABEF是_；（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为_，ABC=_. 思路点拨：（1）先证明AEBAEF，推出EAB=EAF，由ADBC，推出EAF=AEB=EAB，得到BE=AB=AF，由此即可知四边形ABEF为菱形. （2）根据菱形的性质首先证明AOB是含有30角的直角三角形，由此即可解决问题. 答案：（1）菱形（2）考题再现考题再现1. （2015广东）如图1-4-7-9，菱形ABCD的边长为6，ABC=60，则对角线AC的长是_.2. （2014珠海）边长为3 cm的菱形的周长是（）A. 6 cmB. 9 cmC. 12 cmD. 15 cm6C3. （2016聊城）如图1-4-7-10，在RtABC中，B=90，点E是AC的中点，AC=2AB，BAC的平分线AD交BC于点D，作AFBC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC. 求证：四边形ADCF是菱形. 证明：证明：AFAFCDCD，AFEAFE=CDECDE. . 在在AFEAFE和和CDECDE中，中，AEFAEFCEDCED. . AFAF= =CDCD. . AFAFBCBC，四边形四边形ADCFADCF是平行四边形是平行四边形. . B B=90=90，ACAC=2=2ABAB,ACBACB=30=30.CABCAB=60=60. . ADAD平分平分CABCAB，DACDAC=DABDAB=30=30=ACDACD. . DADA= =DCDC. . 四边形四边形ADCFADCF是菱形是菱形. . 考点演练考点演练4. 如图1-4-7-11，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB= ，DCF=30，则EF的长为（）A5. 如图1-4-7-12，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若COB=60，FO=FC，则下列结论：FBOC，OM=CM;EOBCMB;四边形EBFD是菱形,其中正确结论的个数有（）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 0个B6. 如图1-4-7-13，已知ABC中，ACB=90，EC是中线，ACD与ACE关于直线AC对称.（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED. 证明：（证明：（1 1）ACBACB=90=90，ECEC是中线，是中线，EAEA= =ECEC. .ACDACD与与ACEACE关于直线关于直线ACAC对称对称,ACDACDACEACE. .EAEA= =ECEC= =DADA= =DCDC.四边形四边形ADCEADCE是菱形是菱形. .（2 2）四边形四边形ADCEADCE是菱形，是菱形，CDCDAEAE且且CDCD= =AEAE. .AEAE= =EBEB，CDCDEBEB且且CDCD= =EBEB. .四边形四边形BCDEBCDE为平行四边形为平行四边形. .BC=ED. BC=ED. 考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型不固定，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握菱形的性质和判定定理并加以灵活运用 （相关要点详见“知识梳理”部分）.考点考点3正方形的性质和判定正方形的性质和判定考点精讲考点精讲【例【例3 3】（2016广东）如图1-4-7-14，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为（）思路点拨：由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= =1，BCD=90，CE=CF= ，得出CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长.答案：B考题再现考题再现1. （2015深圳）如图1-4-7-15，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，现在有如下4个结论：ADGFDG；GB=2AG；GDEBEF；SBEF= .在以上4个结论中，正确的有（）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个C2. （2016广州）如图1-4-7-16，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线. 将DCB绕着点D顺时针旋转45得到DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG. 则下列结论：四边形AEGF是菱形；AEDGED；DFG=112.5;BC+FG=1.5. 其中正确的结论有_（填序号）.3. （2014梅州）如图1-4-7-17，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（1 1）证明：）证明：四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，在在CBECBE和和CDFCDF中，中，CBECBECDFCDF（SASSAS）. .CECE= =CFCF. .（2 2）解：）解：GEGE= =BEBE+ +GDGD成立成立. .理由如下理由如下: :由（由（1 1）得）得CBECBECDFCDF, ,BCEBCE=DCFDCF. .BCEBCE+ECDECD=DCFDCF+ECDECD，即即ECFECF=BCDBCD=90=90. .又又GCEGCE=45=45，GCFGCF=GCEGCE=45=45. .在在ECGECG和和FCGFCG中，中，ECGECGFCGFCG（SASSAS）. .GEGE= =GFGF.GEGE= =DFDF+ +GDGD= =BEBE+ +GDGD. .考点演练考点演练4. 已知四边形ABCD，则下列说法正确的是（）A. 若ABCD，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形B. 若ACBD，AC=BD，则四边形ABCD是矩形C. 若ACBD，AB=AD，CB=CD,则四边形ABCD是菱形D. 若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是正方形A5. 如图1-4-7-18所示，在RtABC中，BAC=90，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AGBC，交DE于点G，连接AF,CG.（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形.证明：（证明：（1 1）ADAD= =CDCD，点点E E是边是边ACAC的中点，的中点，DEDEACAC，即即DEDE是线段是线段ACAC的垂直平分线的垂直平分线. .AFAF= =CFCF.FACFAC=ACFACF. . 在在RtRtABCABC中，由中，由BACBAC=90=90，得得B B+ACBACB=90=90，FACFAC+BAFBAF=90=90. .BAFBAF=B B.AFAF= =BFBF. .（2 2）AGAGCFCF，AGEAGE=CFECFE. .又又点点E E是边是边ACAC的中点，的中点，AEAE= =CECE. .在在AEGAEG和和CEFCEF中，中，AEGAEGCEFCEF（AASAAS）.AGAG= =CFCF. .又又AGAGCFCF，四边形四边形AFCGAFCG是平行四边形是平行四边形. .AFAF= =CFCF，四边形四边形AFCGAFCG是菱形是菱形. .在在RtRtABCABC中，由中，由AFAF= =CFCF，AFAF= =BFBF，得，得BFBF= =CFCF, ,即点即点F F是边是边BCBC的中点的中点. .又又ABAB= =ACAC，AFAFBCBC, ,即即AFCAFC=90=90. .四边形四边形AFCGAFCG是正方形是正方形. .6. 如图1-4-7-19，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是_. 7. 如图1-4-7-20，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于点F. （1）求证：PC=PE；（2）求CPE的度数.（1 1）证明：在正方形）证明：在正方形ABCDABCD中，中，ABAB= =BCBC，ABPABP=CBPCBP=45=45. .在在ABPABP和和CBPCBP中，中，ABPABPCBPCBP（SASSAS）. .PAPA= =PCPC. .PAPA= =PEPE，PCPC= =PEPE. .（2 2）由（）由（1 1）知，）知，ABPABPCBPCBP，BAPBAP=BCPBCP. .DAPDAP=DCPDCP. .PAPA= =PEPE，DAPDAP=E E. .DCPDCP=E E. .CFPCFP=EFDEFD，180180-PFCPFC-PCFPCF=180=180-DFEDFE-E E，即即CPECPE=EDFEDF=90=90. . 考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型不固定，难度中等偏高.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握正方形的性质和判定定理并加以灵活运用（相关要点详见“知识梳理”部分）.由于正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，所以成为特殊四边形的考查焦点，而正方形的性质与其他知识点如全等三角形的判定、图形的轴对称、平移、旋转等相结合的综合题型，也是中考的热点，备考时应注意多加练习掌握. 课堂巩固训练课堂巩固训练1. （2016毕节市）下列语句正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等C. 矩形的对角线相等D. 平行四边形是轴对称图形2. （2016海南）如图1-4-7-21，矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上，且ab，1=60，则2的度数为（）A. 30B. 45C. 60D. 75CC3. （2016枣庄）如图1-4-7-22，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于点H，则DH等于（）A. B. C. 5D. 44. （2016南宁）有3个正方形如图1-4-7-23所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1S2等于（）A. 12 B. 12C. 23 D. 49AD5. （2016毕节市）如图1-4-7-24，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BEEC=21，则线段CH的长是（）A. 3B. 4C. 5D. 6B6.如图1-4-7-25，将ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O. （1）求证：ABDBEC；（2）连接BD，若BOD=2A，求证：四边形BECD是矩形. 证明：（证明：（1 1）在平行四边形）在平行四边形ABCDABCD中，中，ADAD= =BCBC，ABAB= =CDCD，ABABCDCD，则则BEBECDCD. . 又又ABAB= =BEBE，BEBE= =DCDC. . 四边形四边形BECDBECD为平行四边形为平行四边形. . BDBD= =ECEC. . 在在ABDABD与与BECBEC中，中，ABDABDBECBEC（SSSSSS）. . （2 2）由（）由（1 1）知，四边形）知，四边形BECDBECD为平行四边形，则为平行四边形，则ODOD= =OEOE，OCOC= =OBOB. . 四边形四边形ABCDABCD为平行四边形，为平行四边形，A A=BCDBCD，即，即A A=OCDOCD. . 又又BODBOD=2=2A A，BODBOD=OCDOCD+ODCODC，OCDOCD=ODCODC. .OCOC= =ODOD. . OCOC+ +OBOB= =ODOD+ +OEOE，即，即BCBC=ED.=ED.平行四边形平行四边形BECDBECD为矩形为矩形. .7. 如图1-4-7-26，四边形ABCD中，ABDC，AC平分BAD，CEDA交AB于点E. 求证：四边形ADCE是菱形. 证明：证明：ABABDCDC，CECEDADA，四边形四边形ADCEADCE是平行四边形是平行四边形. . ACAC平分平分BADBAD，CADCAD=CAECAE. . 又又CECEDADA，ACEACE=CADCAD. . ACEACE=CAECAE. . CECE= =AEAE. . 又又四边形四边形ADCEADCE是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ADCEADCE是菱形是菱形. . 8. 如图1-4-7-27，在RtABC中，ACB=90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE. （1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由. （1 1）证明：）证明：DEDEBCBC，DFBDFB=90=90. . ACBACB=90=90，ACBACB=DFBDFB. . ACACDEDE. . MNMNABAB，即，即CECEADAD，四边形四边形ADECADEC是平行四边形是平行四边形. . CECE= =ADAD. . （2 2）解：四边形）解：四边形BECDBECD是菱形是菱形. .理由如下：理由如下：DD为为ABAB中点，中点，ADAD= =BDBD. . CECE= =ADAD，BDBD= =CECE. . BDBDCECE，四边形四边形BECDBECD是平行四边形是平行四边形. . ACBACB=90=90，D D为为ABAB中点，中点，CDCD= =BDBD. . 四边形四边形BECDBECD是菱形是菱形. . （3 3）解：当）解：当A A=45=45时，四边形时，四边形BECDBECD是正方形是正方形. .理由如下：理由如下：ACBACB=90=90，A A=45=45，ABCABC=A A=45=45. . ACAC= =BCBC. . D D为为BABA中点，中点，CDCDABAB. . CDBCDB=90=90. .四边形四边形BECDBECD是菱形，是菱形，菱形菱形BECDBECD是正方形是正方形. .
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