121几个常见函数的导数91547

1.2.1几个常用函数的导数几个常用函数的导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用2022-2-5一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换成换成x0即为求函数在即为求函数在点点x0处的处的 导数导数. 说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换成换成x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的导数处的导数. 3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000( )( )().y f xf x x x二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0 ()CC 公式一：为常数:( ),yf xC解1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.()( )0,yf xxf xCC 0,yx0( )lim0.xyf xCx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数1x 公式二：:( ),yf xx解2) 函数函数y=f(x)=x的导数的导数.()( )(),yf xxf xxxxx 1,yx0( )lim1.xyf xxx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数22xx公式三：（ ）2:( ),yf xx解3) 函数函数y=f(x)=x2的导数的导数.222()( )()2,yf xxf xxxxxxx 222,yxxxxxxx 220002( )()limlimlim(2)2 .xxxyxxxf xxxxxxx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数211xx 公式四：（ ）1:( ),yf xx解4) 函数函数y=f(x)=1/x的导数的导数.11()( )()xyf xxf xxxxxx x 1,()yxxx x200111( )( )limlim.()xxyf xxxxx xx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数12xx公式五：（）:( ),yf xx解()( )yf xxf xxxx 0011( )()limlim.2xxyf xxxxxxx ()()()1yxxxxxxxxxxxxxxxxxx 即例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(1),(2)：2( 1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11|2,xPy 过 点的切线的斜率k22|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy 过 点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直线的斜率k11,440214yxxy 与PQ平行的切线方程:即：。00|21,x xyx切线的斜率k01,2x1 1( , )2 4M切点00,),xy解：设切点(01,2kyx又切线0001(),2yyx xx切线方程：74切线过(4, ),20014yx00071(4)42yxx，200017224yxx0017xx解得:或149),44切点为(1， )或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490 xyxy 即：或14四、小结四、小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题有关的较为综合性问题.1.会求常用函数会求常用函数 的导数的导数.21,yc yx yxyyxx五、练习五、练习:求曲线求曲线y=x2在点在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴、直线轴、直线x=2所所围城的三角形的面积。围城的三角形的面积。