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第一节 数列的概念与简单表示 由数列前几项求数列通项由数列前几项求数列通项 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A289 B1 024 C1 225 D1 378分析本题是由数列的前几项归纳得出数列的通项，再求两个数列相同项问题，数列1,3,6,10，观察得到相邻项的差具有规律性，即由此求得 数列1,4,9,16，规律明显，即, 3, 22312aaaa, 5, 44534aaaa,an.2nan解数列1,3,6,10，有如下规律： 上述各式相加得， 数列1,4,9,16，通项公式 1 225 1 225是上述两数列的相同项故选C., 3, 212312naaaaaann,2) 1( nnan，352250491225 规律总结观察法求数列的通项，首先对数列的前几 项仔细观察分析，抓住以下几方面特征：分式中分 子、分母的特征；相邻项的特征；拆项后的特征; 各项符号的特征等，同时要善于利用我们熟知的一 些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解 决 . 变式训练1根据下列各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)(3)；，6461,32291613854121。，991063835615432 【解析】(1)方法一方法一：联系数列 2,4,8,16,32，(想到这一点是关键) 数列的通项公式是12nna方法二： 设所求数列为则 an1221.8,4,2,9, 5, 32222222213211133422312321nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaan个等式相加，得把以上 (2)这个数列的各项由三部分组成，符号、分子，分母，所以应逐个考查其规律先看符号，第一项有点违反规律，需改写为 ，从而联系数列再看分母，考虑数列 ；最后看分子，显然每个分子比分母都小3. 211n 。2213nnnna 2n(3)注意到分母分别是13,35,57,79,911， 为两个连续奇数的积，故所求数列 的通项公式为 。) 12)(12(2nnnan运用数列的通项 与前n项和 的关系解题已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.ansn分析当n2时，由 再验证当n=1时, ,1assannnn求出是否适合上式。sa11 . 545413232,2, 13211221111nnnnnaannssasannnn也适合此式，由于时，当解： .21312111.2,2,3233333111111111nnnnnnnnnnnbbbbbbbnbaaaassasa时，当；时，当不适合此等式。时，当适合此等式；时，当时当规律总结(1)由 求 时，要分n1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为： (2)若 和 在一个等式中，可利用 与 的关系，消去 或 ，构建关于 或 的递推关系，再进一步确定 和 (3)转化是解题中最基本、最常用的解题策略，新问题转化成普通问题，数列前n项和及项的关系转化成项的关系等等ansn.2,111nnsssannnansnansn snsn anansnan变式训练2已知数列 的前n项和为 ，若 ，且 ， (nN*且n2)，求该数列的通项公式ansn11sassnnn311【解析】 .2, 0, 1.2,22,3,2111*1*1111nnnnnnnnnnnnaaasaNaaNassassnnnn的等比数列，是公比为得，由; 12, 011naaann已知数列的递推关系，探求数列的通项根据下列条件，确定数列的通项公式(1)(2).211,2111nnnaaann 分析 解规律总结变式训练3【解析】数列的综合运用 分析解规律总结变式训练51根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系，如果关系不明显，应该将项作适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式；同时还要借助一些基本数列的通项及其特点，如：自然数列、自然数的平方数列、偶数列、奇数列、摆动数列等3已知数列的递推关系式，求数列的通项公式 求数列通项的方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为常见数列(等差或等比数列)等方法求得通项an已知数列 单调增，则k的取值范围是()A(，2 B(，3)C(，2) D(，3 aNnaannnnkn且中，,*2 错解因为 是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若 递增，则必有k/21，故k2. 错解分析函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所在函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，故对于数列的单调的判断一般要通过比较 的大小来判断， 若 则数列为递增数列；若 则数列为递减数列an anaann与1,1aann,1aann 正解
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