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应用导数解决优化问题的基本思路如下： 上述过程是一个典型的过程数学建模 1用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四角折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为() A6厘米 B8厘米 C10厘米 D12厘米 解析：设截去的正方形的边长为x，则V(482x)2x(0 x24)，V(482x)(486x)，令V0，得x8或x24(舍去)，故当铁盒容积最大时，截去的正方形的边长为8厘米 答案：B 2在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大 3路灯距地面8 m，一身高1.6 m的人沿穿过灯下的直路以84 m/min的速度行走，则人影长度的变化速率是_(要求以m/s为单位)答案：0.35 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情境”译为数学语言，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，抓主元，找主线，提出必要假设，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；然后经过检验，求出应用问题的解 (即时巩固详解为教师用书独有) 考点一费用最省问题 【案例1】一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最少？ 关键提示：列出以速度为自变量，费用为函数值的函数关系 当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增， 所以当x20时，y取得最小值， 所以此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最少 点评：利用导数的方法解决实际问题，要注意构造函数，但与解决一般函数问题有区别，即注意利用导数所求出的函数最值点是否符合现实问题的要求 令h(x)0，得x80. 当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数 所以当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值 所以当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升 考点二面积、体积最大问题 【案例2】现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，要使其体积最大，其高为多少？ 关键提示：这是求容器的容积最大的问题，解决此类问题应注意列关系式时，要注明自变量的取值范围，在利用导数f(x)0求解时，要注意自变量的取值范围 【即时巩固2】某车间要靠着墙壁盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20米长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 关键提示：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格，由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润 因为0q0；84q200时，L0， 所以当q84时，L取得最大值， 即产量为84时，利润L最大 (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式 (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？ (注：年利润年销售收入年总成本) 关键提示：(1)根据年利润年销售收入年总成本，求函数的解析式；(2)分别利用导数、均值不等式求函数的最大值
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