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6. 解析几何第四篇回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点栏目索引要点回扣1 1易错警示2 2 查缺补漏3 3 要点回扣答案答案答案错2.直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于x轴的直线.(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为ykxb，它不包括垂直于x轴的直线.(5)一般式：任何直线均可写成AxByC0(A，B不同时为0)的形式.问题2已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_.5xy0或xy60答案3.两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程，l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：l1l2k1k2，且b1b2；l1l2k1k21；l1与l2相交k1k2.(2)若已知直线的一般方程l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20，则：l1l2平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20；l1与l2相交A1B2A2B10；l1与l2重合A1B2A2B10且B1C2B2C10.问题3设直线l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，当m_时，l1l2；当m_时，l1l2；当_时l1与l2相交；当m_时，l1与l2重合.答案1m3且m134.点到直线的距离及两平行直线间的距离答案问题4两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_.5.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.1答案问题5若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a_.6.直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定.(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据的符号来判断.解析7.圆锥曲线的定义和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a (2a0)图形范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b 离心率e1准线 通径|AB|2p渐近线 所以抛物线方程为y28x.解析8.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长解析返回所以|NF|FM|12.返回易错点1直线的倾斜角和斜率关系不清例1直线xsin y20的倾斜角的取值范围是() 易错警示易错分析易错分析本题易混淆和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围.解析易错分析解析解析设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1,1，所以1tan 1，易错点2忽视直线的特殊位置易错分析易错分析本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a0的情况.解析答案易错分析例2已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值.解解当直线斜率不存在，即a0时，有l1：3x50，l2：x20，符合l1l2；易错点3焦点位置考虑不全易错分析易错分析本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x轴上导致漏解.该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论.解析易错分析1或16答案解析解析当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a24，即a2.则由方程，得b24，即b2.综上，m1或16.易错点4忽视二次项系数讨论和判别式限制例4求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y22x仅有一个公共点.易错分析易错分析直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点.0是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.易错分析解析答案解解当所求直线斜率不存在时，即直线垂直于x轴，因为过点(0,1)，所以x0，即y轴，它正好与抛物线y22x相切；易错点5定点问题思路不清返回易错分析例5已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点.易错分析易错分析直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解.本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的思路不清，找错方程的常数解.解析答案证明证明由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB：yk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，同理，可得N(2k21，2k).解析答案返回故不论k为何值，直线MN恒过点(3,0).1.设向量a(a,1)，b(1，b)(ab0)，若ab，则直线b2xy0与直线xa2y0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.重合 查缺补漏解析解析解析解析如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|2，|OA|1，解析解析解析两圆方程可化为(xa)2y24，x2(y2b)21，由题意知两圆外切，即a24b29，解析解析由F1PF260，|PF1|2|PF2|，可得PF2F190，解析解析解析解析设|AF|a，|BF|b，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2abab|AF|BF|2|MN|，6.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.解析答案解析解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，7.(2015课标全国改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_.解析答案x1|OB|BN|a2acos 602a.解析答案解析解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)， 解析解析答案解解由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.解析答案解解设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，化简得(ak)(a3k)0.而ak0，所以a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|AF2|2|AB|2，可得F1AF2A，(1)求椭圆E的方程；解析答案(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.返回解析答案证明证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，解析答案从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ返回所以直线AP与AQ的斜率之和为2.
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