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第二节 等差数列及其前n项和1.1.等差数列的定义等差数列的定义一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的差项起，每一项与它的前一项的差等于等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的叫做等差数列的_，一般用字母，一般用字母d d表示；定义的表达式表示；定义的表达式为：为：_(nN_(nN* *).).同一个常数同一个常数公差公差a an+1n+1-a-an n=d=d【即时应用即时应用】判断下列数列是否为等差数列判断下列数列是否为等差数列( (请在括号中填写请在括号中填写“是是”或或“否否”).).(1)(1)数列数列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0， ( ) ( )(2)(2)数列数列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3， ( ) ( )(3)(3)数列数列 ( ) ( )(4)(4)数列数列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a， ( ) ( )2345， ， ， ，【解析解析】(1)(4)(1)(4)中从第二项开始，每项与前一项的差为同一常中从第二项开始，每项与前一项的差为同一常数；而数；而(2)(3)(2)(3)并不是同一常数，故并不是同一常数，故(1)(4)(1)(4)为等差数列，为等差数列，(2)(3)(2)(3)不是不是. .答案答案: :(1)(1)是是 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1，公差是，公差是d d，则其通项公式为，则其通项公式为a an n=_.=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d【即时应用即时应用】(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,则数列的通项公式为则数列的通项公式为_._.(2)(2)等差数列等差数列1010，7 7，4 4，的第的第2020项为项为_._.【解析解析】(1)a(1)a5 5=a=a1 1+4d,a+4d,a1212=a=a1 1+11d,+11d, , ,解得解得aan n=a=a1 1+(n-1)d=-2+(n-1)+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.11a4d10a11d311a2,d3 (2)(2)由由a a1 1=10,d=7-10=-3,n=20,=10,d=7-10=-3,n=20,得得a a2020=10+(20-1)=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案答案: :(1)a(1)an n=3n-5 (2)-47=3n-5 (2)-473.3.等差中项等差中项若若a a，A A，b b成等差数列，则成等差数列，则A A叫做叫做a a，b b的等差中项，且的等差中项，且A= .A= .ab2【即时应用即时应用】(1)A= (1)A= 是是a a，A A，b b成等差数列的成等差数列的_条件条件. .(2)(2)若等差数列若等差数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,则它的第五则它的第五项为项为_._.ab2【解析解析】(1)(1)若若A= ,A= ,可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差数列；反之，若成等差数列；反之，若a,A,ba,A,b成等差数列，则成等差数列，则A= .A= .故故A= A= 是是a a，A A，b b成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件. .(2)(2)由题意知由题意知2a+12a+1是是a a与与4a+24a+2的等差中项，即的等差中项，即 , ,解得解得a=0,a=0,故数列故数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为0 0，1 1，2 2，则，则a a5 5=0+4=0+41=4.1=4.答案答案: :(1)(1)充要充要 (2)4(2)4ab2ab2ab2a4a22a12 4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式若已知等差数列若已知等差数列aan n ，首项，首项a a1 1和末项和末项a an n，则其前，则其前n n项和公式项和公式S Sn n= = ，或若等差数列，或若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1，公差是，公差是d d，则其，则其前前n n项和公式项和公式S Sn n= .= .1nn aa21n n1nad2【即时应用即时应用】(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=5,a=5,an n=95,n=10,=95,n=10,则则S Sn n=_.=_.(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=100,d=-2,n=50,=100,d=-2,n=50,则则S Sn n=_.=_.(3)(3)在等差数列在等差数列aan n 中，中，d=2,n=15,ad=2,n=15,an n=-10,=-10,则则S Sn n=_.=_.【解析解析】(1)(1)(2) (2) =50=50(100-49)=2 550.(100-49)=2 550.(3)(3)由由a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d得得, ,-10=a-10=a1 1+(15-1)+(15-1)2,2,解得解得a a1 1=-38,=-38,答案答案: :(1)500 (2)2 550 (3)-360(1)500 (2)2 550 (3)-3601nnn aa10595S500.22n1n n150 49Snad50 100( 2)22 1nnn aaS21538 10360.2 热点考向热点考向 1 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【方法点睛方法点睛】1.1.等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项等差数列运算问题的一般求法是设出首项a a1 1和公差和公差d d，然后由通，然后由通项公式或前项公式或前n n项和公式转化为方程项和公式转化为方程( (组组) )求解求解. .2.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的应用方法项和公式的应用方法等差数列前等差数列前n n项和公式有两个，如果已知项数项和公式有两个，如果已知项数n n、首项、首项a a1 1和第和第n n项项a an n，则利用，则利用 , ,如果已知项数如果已知项数n n、首项、首项a a1 1和公差和公差d d，则，则利用利用1nnn aaS2n1n n1 dSna.2【例例1 1】(1)(2012(1)(2012福建高考福建高考) )等差数列等差数列aan n 中中,a,a1 1+a+a5 5=10,a=10,a4 4= =7.7.则数列则数列aan n 的公差为的公差为( )( )(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)4(2)(2)九章算术九章算术“竹九节竹九节”问题：现有一根问题：现有一根9 9节的竹子，自上节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面而下各节的容积成等差数列，上面4 4节的容积共为节的容积共为3 3升，下面升，下面3 3节的容积共节的容积共4 4升，则第升，则第5 5节的容积为节的容积为_升升. .(3)(2011(3)(2011福建高考福建高考) )已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3.求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；若数列若数列aan n 的前的前k k项和项和S Sk k=-35=-35，求，求k k的值的值. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B Ba a1 1+a+a5 5=2a=2a3 3=10=10，a a3 3=5=5，所以，所以d=ad=a4 4-a-a3 3=2.=2.(2)(2)方法一：设自上第一节竹子容量为方法一：设自上第一节竹子容量为a a1 1, ,依次类推，数列依次类推，数列aan n 为等差数列为等差数列. .又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=4a=4a1 1+6d=3,+6d=3,a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=3a=3a1 1+21d=4.+21d=4.解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 方法二：设自上第一节竹子容量为方法二：设自上第一节竹子容量为a a1 1，则第九节容量为，则第九节容量为a a9 9, ,且数且数列列aan n 为等差数列为等差数列. .a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=3,a=3,a7 7+a+a8 8+a+a9 9=4,=4,即即4a4a5 5-10d=3 -10d=3 3a3a5 5+9d=4 +9d=4 联立解得联立解得答案答案: : 567a.666766(3)(3)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.从而从而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知a an n=3-2n,=3-2n,由由S Sk k=-35=-35得得2k-k2k-k2 2=-35.=-35.即即k k2 2-2k-35=0-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kNkN* *, ,故故k=7.k=7.2nn132nS2nn .2【互动探究互动探究】本例第本例第(3)(3)题中，若将题中，若将“a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3”改为改为“a a1 1=31,S=31,S1010=S=S2222”，试求，试求S Sn n；这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值. .【解析解析】SS1010=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a1010, ,S S2222=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a2222，又，又S S1010=S=S2222，a a1111+a+a1212+ +a+a2222=0=0， , ,即即a a1111+a+a2222=2a=2a1 1+31d=0,+31d=0,又又a a1 1=31,d=-2,=31,d=-2,SSn n=na=na1 1+ =31n-n(n-1)=32n-n+ =31n-n(n-1)=32n-n2 2. .112212 aa02n n1d2方法一：由知方法一：由知S Sn n=32n-n=32n-n2 2, ,当当n=16n=16时，时，S Sn n有最大值，有最大值，S Sn n的最大值是的最大值是256.256.方法二：由方法二：由S Sn n=32n-n=32n-n2 2=n(32-n),=n(32-n),欲使欲使S Sn n有最大值，应有有最大值，应有1n32,1n6),=324(n6),求数列求数列aan n 的项数及的项数及a a9 9+a+a1010. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据S S2 2=S=S6 6，先求，先求a a4 4+a+a5 5的值，再求的值，再求a a5 5. .(2)(2)根据根据S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差数列求解成等差数列求解. .(3)(3)根据前根据前6 6项与最后项与最后6 6项的和求出项的和求出a a1 1+a+an n, ,再求再求n n及及a a9 9+a+a1010. .【规范解答规范解答】(1)S(1)S2 2=S=S6 6，S S6 6-S-S2 2=a=a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6=0=0，2(a2(a4 4+a+a5 5)=0,)=0,即即a a4 4+a+a5 5=0=0，a a5 5=-a=-a4 4=-1.=-1.答案答案: :-1-1(2)(2)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差数成等差数列，列，且且S S3 3=40=40，S S6 6-S-S3 3=20.=20.SS9 9-S-S6 6=20+(-20)=0=20+(-20)=0，S S9 9=S=S6 6=60.=60.答案答案: :6060(3)(3)由题意知由题意知a a1 1+a+a2 2+ +a+a6 6=36 =36 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+ +a+an-5n-5=180 =180 + +得得(a(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+)+(a+(a6 6+a+an-5n-5)=6(a)=6(a1 1+a+an n)=216)=216，a a1 1+a+an n=36,=36,又又 ,18n=324,n=18.,18n=324,n=18.aa1 1+a+a1818=36,a=36,a9 9+a+a1010=a=a1 1+a+a1818=36.=36.1nnn aaS3242【互动探究互动探究】若本例中第若本例中第(1)(1)题条件不变，改为求此等差数列的题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值前多少项的和最大，并求出最大值. .【解析解析】在本例中第在本例中第(1)(1)题已求解出题已求解出a a5 5=-1,=-1,又又a a4 4=1,=1,得公差得公差d=-2,d=-2,此等差数列的前此等差数列的前4 4项和，即项和，即S S4 4最大最大. .且且S S4 4=1+3+5+7=16.=1+3+5+7=16.【反思反思感悟感悟】1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k是常用的性质，本例第是常用的性质，本例第(1)(1)、(3)(3)题都用到了这个题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯要犯a a2 2+a+a5 5=a=a7 7的错误的错误. .2.2.本例第本例第(2)(2)题也可先求题也可先求a a1 1,d,d,再求再求a a7 7+a+a8 8+a+a9 9, ,但不如用性质简单但不如用性质简单. .【变式备选变式备选】等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2= =0,S0,S2m-12m-1=38,=38,求求m m的值的值. .【解析解析】aam-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m, ,aam-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2=2a=2am m-a-am m2 2=0=0，解得解得a am m=0=0或或a am m=2.=2.又又a a1 1+a+a2m-12m-1=2a=2am m, ,aam m0,a0,am m=2,2m-1=19,=2,2m-1=19,解得解得m=10.m=10.12m 12m 1maaS2m 12m 1 a38,21.(20121.(2012辽宁高考辽宁高考) )在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,则该则该数列前数列前1111项和项和S S1111=( )=( )(A)58 (B)88 (A)58 (B)88 (C)143 (C)143 (D)176(D)176【解析解析】选选B.B.由于由于aan n 为等差数列，所以为等差数列，所以a a1 1+a+a1111=a=a4 4+a+a8 8=16=16，S S1111= = 故选故选B.B.48111(aa ) 11(aa ) 1116 1188.2222.(20132.(2013宁德模拟宁德模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若m1,m1,且且a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0,S-1=0,S2m-12m-1=39,=39,则则m m等于等于( )( )(A)39 (B)20 (A)39 (B)20 (C)19 (C)19 (D)10(D)10【解析解析】选选B.B.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，则则a am-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m，则则a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0-1=0可化为可化为2a2am m-a-am m2 2-1=0,-1=0,解得：解得：a am m=1.=1.又又S S2m-12m-1=(2m-1)a=(2m-1)am m=39,=39,则则m=20.m=20.故选故选B.B.3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )设设S Sn n是公差为是公差为d(d0)d(d0)的无穷等差数列的无穷等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,则下列命题错误的是则下列命题错误的是( )( )(A)(A)若若d0,d0,则数列则数列SSn n 有最大项有最大项(B)(B)若数列若数列SSn n 有最大项有最大项, ,则则d0d00(D)(D)若对任意若对任意nNnN* *, ,均有均有S Sn n0,0,则数列则数列SSn n 是递增数列是递增数列【解析解析】选选C.C.若数列若数列aan n 为递增数列为递增数列, ,但数列的前若干项可能为但数列的前若干项可能为负数，则存在负数，则存在nNnN* *，S Sn n0 0故选项错误故选项错误4.(20124.(2012北京高考北京高考) )已知已知aan n 为等差数列，为等差数列，S Sn n为其前为其前n n项和项和. .若若a a1 1= S= S2 2=a=a3 3，则，则a a2 2=_ S=_ Sn n=_.=_.【解析解析】SS2 2=a=a3 3,a,a1 1+a+a2 2=a=a3 3，d=ad=a3 3-a-a2 2=a=a1 1= =aa2 2=a=a1 1+d=1,S+d=1,Sn n= =答案：答案：1 11,22nn.442nn441,2
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