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第第3 3节函数的奇偶性与周期性节函数的奇偶性与周期性知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破经典考题研析经典考题研析 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.函数图象分别关于坐标原点、函数图象分别关于坐标原点、y y轴对称的函数一定是奇函数、偶函轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗数吗? ?反之反之, ,成立吗成立吗? ?提示提示: :一定是一定是. .反之反之, ,也成立也成立. .2.2.如果函数如果函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,那么是否一定有那么是否一定有f(0)=0?f(0)=0?提示提示: :只有在只有在x=0 x=0处有定义的奇函数处有定义的奇函数, ,才有才有f(0)=0.f(0)=0.3.3.周期函数周期函数y=f(x)(xy=f(x)(xR R) )的周期唯一吗的周期唯一吗? ?提示提示: :不唯一不唯一. .若若T T是函数是函数y=f(x)(xy=f(x)(xR R) )的一个周期的一个周期, ,则则nT(nnT(nZ Z, ,且且n0)n0)也是也是f(xf(x) )的周期的周期, ,即即f(x+nT)=f(xf(x+nT)=f(x).).知识梳理知识梳理 1.1.奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数奇函数偶函数偶函数定定义义定义域定义域函数函数f(xf(x) )的定义域关于的定义域关于 对称对称x x对于定义域内对于定义域内 的一个的一个x xf(xf(x) )与与f(-xf(-x) )的关系的关系都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )结论结论函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数函数函数f(xf(x) )为偶函数为偶函数图象特征图象特征关于关于 对称对称关于关于 对称对称2.2.周期性周期性(1)(1)周期函数周期函数: :对于函数对于函数y=f(xy=f(x),),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,T,使得当使得当x x取定义取定义域内的任何值时域内的任何值时, ,都有都有 , ,那么就称函数那么就称函数y=f(xy=f(x) )为周期函数为周期函数, ,称称T T为这个函数的周期为这个函数的周期. .(2)(2)最小正周期最小正周期: :如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中的所有周期中 的正的正数数, ,那么这个最小正数就叫做那么这个最小正数就叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .原点原点任意任意原点原点y y轴轴f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 存在一个最小存在一个最小【重要结论【重要结论】 1.1.奇偶性的五个重要结论奇偶性的五个重要结论(1)(1)如果一个奇函数如果一个奇函数f(xf(x) )在原点处有定义在原点处有定义, ,即即f(0)f(0)有意义有意义, ,那么一定有那么一定有f(0)=0.f(0)=0.(2)(2)如果函数如果函数f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,那么那么f(x)=f(|xf(x)=f(|x|).|).(3)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型, ,即即f(xf(x)=0,xD,)=0,xD,其中定其中定义域义域D D是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集. .(4)(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性; ;偶函数在两个对称的偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性区间上具有相反的单调性. .(5)(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大( (小小) )值值, ,取最值时的自取最值时的自变量互为相反数变量互为相反数; ; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, ,取取最值时的自变量也互为相反数最值时的自变量也互为相反数. .2.2.周期性的三个常用结论周期性的三个常用结论若对于函数若对于函数f(xf(x) )定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有都有: :(1)f(x+a)=-f(x)(a0),(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数必为周期函数,2|a|,2|a|是它的一个周期是它的一个周期; ;3.3.对称性的三个常用结论对称性的三个常用结论(1)(1)若函数若函数y=f(x+ay=f(x+a) )是偶函数是偶函数, ,即即f(a-x)=f(a+xf(a-x)=f(a+x),),则函数则函数y=f(xy=f(x) )的图象关于的图象关于直线直线x=ax=a对称对称; ;(2)(2)若对于若对于R R上的任意上的任意x x都有都有f(2a-x)=f(xf(2a-x)=f(x) )或或f(-xf(-x)=f(2a+x),)=f(2a+x),则则y=f(xy=f(x) )的图的图象关于直线象关于直线x=ax=a对称对称; ;(3)(3)若函数若函数y=f(x+by=f(x+b) )是奇函数是奇函数, ,即即f(-x+b)+f(x+bf(-x+b)+f(x+b)=0,)=0,则函数则函数y=f(xy=f(x) )关于点关于点(b,0)(b,0)中心对称中心对称. .夯基自测夯基自测D D B B 3.3.已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )满足满足f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),则则f(8)f(8)的值为的值为( ( ) )(A)-1(A)-1 (B)0 (B)0 (C)1 (C)1 (D)2 (D)2解析解析: :因为因为f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),所以所以f(xf(x) )是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数. .所以所以f(8)=f(0),f(8)=f(0),又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(8)=f(0)=0.f(8)=f(0)=0.B B4.4.设函数设函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,若当若当x(0,+)x(0,+)时时,f(x)=lg,f(x)=lg x, x,则则满足满足f(xf(x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 .解析解析: :画草图画草图, ,由由f(x)f(x)为奇函数知为奇函数知f(x)0f(x)0的的x x的取值范围为的取值范围为(-1,0)(1,+).(-1,0)(1,+).答案答案: : (-1,0)(1,+) (-1,0)(1,+)考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定 (3)(3)易知函数的定义域为易知函数的定义域为(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),关于原点对称关于原点对称. .当当x0 x0,-x0,故故f(-xf(-x)=x)=x2 2-x=f(x-x=f(x););当当x0 x0时时,-x0,-x0 x0时时,f(-x,f(-x)=-(-x)=-(-x)2 2-2=-(x-2=-(x2 2+2)=-f(x+2)=-f(x););当当x0 x0时时,f(-x,f(-x)=(-x)=(-x)2 2+2=-(-x+2=-(-x2 2-2)=-f(x-2)=-f(x););当当x=0 x=0时时,f(0)=0,f(0)=0,也满足也满足f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x).).故该函数为奇函数故该函数为奇函数. .考点二考点二函数周期性的应用函数周期性的应用答案答案: : (1)A (1)A 答案答案: : (2)2.5 (2)2.5反思归纳反思归纳 (1) (1)判断函数周期性的两个方法判断函数周期性的两个方法定义法定义法. .图象法图象法. .(2)(2)根据函数的周期性根据函数的周期性, ,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质可以由函数局部的性质得到函数的整体性质. .(3)(3)函数周期性的重要应用函数周期性的重要应用利用函数的周期性利用函数的周期性, ,可将其他区间上的求值可将其他区间上的求值, ,求零点个数求零点个数, ,求解析式等求解析式等问题问题, ,转化为已知区间上的相应问题转化为已知区间上的相应问题, ,进而求解进而求解. .解析：解析：(2)(2)因为因为f(xf(x) )是最小正周期为是最小正周期为2 2的周期函数的周期函数, ,且且0 x20 x2时时, ,f(xf(x)=x)=x3 3-x=x(x-1)(x+1),-x=x(x-1)(x+1),所以当所以当0 x20 x2时时,f(x,f(x)=0)=0有两个根有两个根, ,即即x x1 1=0,x=0,x2 2=1.=1.由周期函数的性质知由周期函数的性质知, ,当当2x42x4时时,f(x,f(x)=0)=0有两个根有两个根, ,即即x x3 3=2,x=2,x4 4=3;=3;当当4x64x6时时,f(x,f(x)=0)=0有两个根有两个根, ,即即x x5 5=4,x=4,x6 6=5;x=5;x7 7=6=6也是也是f(xf(x)=0)=0的根的根. .故函数故函数f(xf(x) )的图象在区间的图象在区间0,60,6上与上与x x轴交点的个数为轴交点的个数为7.7.故选故选B.B.(2)(2)已知已知f(xf(x) )是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数的周期函数, ,且当且当0 x20 xf(2a),)f(2a),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.解析解析：当当x0 x0时时,f(x,f(x)=x)=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,所以函数所以函数f(xf(x) )在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数. .又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在R R上是增函数上是增函数. .由由f(3-af(3-a2 2)f(2a)f(2a)得得3-a3-a2 22a.2a.解得解得-3a1.-3a1.答案答案: :(-3,1)(-3,1)反思归纳反思归纳 函数单调性与奇偶性结合函数单调性与奇偶性结合. .注意函数单调性及奇偶性的注意函数单调性及奇偶性的定义定义, ,以及奇、偶函数图象的对称性以及奇、偶函数图象的对称性. .反思归纳反思归纳 周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合. .此类问题多考查求值问题此类问题多考查求值问题, ,常利常利用奇偶性及周期性进行交换用奇偶性及周期性进行交换, ,将所求函数值的自变量转化到已知解析将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解式的函数定义域内求解. .考查角度考查角度3:3:函数的奇偶性与对称性相结合问题函数的奇偶性与对称性相结合问题. .【例【例6 6】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)偶函数偶函数y=f(xy=f(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=2x=2对称对称,f(3)=3,f(3)=3,则则f(-1)=f(-1)=.解析解析: :因为因为f(xf(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=2x=2对称对称, ,所以所以f(2+1)=f(2-1),f(2+1)=f(2-1),即即f(1)=f(3)=3,f(1)=f(3)=3,又函数又函数y=f(xy=f(x) )是偶函数是偶函数, ,所以所以f(-1)=f(1)=3.f(-1)=f(1)=3.答案答案: :3 3反思归纳反思归纳 (1)(1)若函数若函数f(xf(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=ax=a和直线和直线x=b(abx=b(ab) )对对称称, ,则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数必为周期函数,2(a-b),2(a-b)是它的一个周期是它的一个周期; ;(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )的图象关于点的图象关于点(a,0)(a,0)和点和点(b,0)(ab)(b,0)(ab)对称对称, ,则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数必为周期函数,2(a-b),2(a-b)是它的一个周期是它的一个周期. .考查角度考查角度4:4:函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题. .【例【例7 7】 已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )满足满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),且在区间且在区间0,20,2上是增函数上是增函数, ,则则( () )(A)f(-25)f(11)f(80)(A)f(-25)f(11)f(80)(B)f(80)f(11)f(-25)(B)f(80)f(11)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(D)f(-25)f(80)f(11)(D)f(-25)f(80)f(11)解析解析: :因为因为f(xf(x) )满足满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),所以所以f(x-8)=f(xf(x-8)=f(x),),所以函数所以函数f(xf(x) )是以是以8 8为周期的周期函数为周期的周期函数, ,则则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).f(11)=f(3).由由f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且满足且满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),得得f(11)=f(3)=f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).-f(-1)=f(1).因为因为f(xf(x) )在区间在区间0,20,2上是增函数上是增函数,f(x,f(x) )在在R R上是奇函数上是奇函数, ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间-2,2-2,2上是增函数上是增函数, ,所以所以f(-1)f(0)f(1),f(-1)f(0)f(1),即即f(-25)f(80)f(11).f(-25)f(80)f(11).故选故选D.D.反思归纳反思归纳 周期性、奇偶性与单调性结合周期性、奇偶性与单调性结合. .解决此类问题通常先利解决此类问题通常先利用周期性转化所求区间为自变量所在的区间用周期性转化所求区间为自变量所在的区间, ,然后利用奇偶性和单调然后利用奇偶性和单调性求解性求解. .备选例题备选例题 答案答案: :x|xx|x-2-2或或0 x20 x2解析解析: :对于对于,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),),故故2 2是函数是函数f(xf(x) )的一个周的一个周期期, ,正确正确; ;对于对于, ,由于函数由于函数f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,且函数且函数f(xf(x) )是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,则则f(2-f(2-x)=f(x-2)=f(xx)=f(x-2)=f(x),),即即f(2-x)=f(xf(2-x)=f(x),),故函数故函数f(xf(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称, ,故故正确正确; ;对于对于, ,由于函数由于函数f(xf(x) )是偶函数且在是偶函数且在-1,0-1,0上是增函数上是增函数, ,根据偶函数图象根据偶函数图象的性质可知的性质可知, ,函数函数f(xf(x) )在在0,10,1上是减函数上是减函数, ,故故错误错误; ;对于对于, ,由于函数由于函数f(xf(x) )是以是以2 2为周期的函数且在为周期的函数且在-1,0-1,0上为增函数上为增函数, ,由周期由周期函数的性质知函数的性质知, ,函数函数f(xf(x) )在在1,21,2上是增函数上是增函数, ,故故错误错误; ;对于对于, ,由于函数由于函数f(xf(x) )是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,所以所以f(2)=f(0),f(2)=f(0),正确正确. .综上综上所述所述, ,正确结论的序号是正确结论的序号是. .【例【例2 2】 定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(xf(x) )满足满足f(x+1)=-f(xf(x+1)=-f(x),),且在且在-1,0-1,0上是增上是增函数函数, ,给出下列关于给出下列关于f(xf(x) )的结论的结论: :f(xf(x) )是周期函数是周期函数; ;f(xf(x) )的图象关于的图象关于直线直线x=1x=1对称对称; ;f(xf(x) )在在0,10,1上是增函数上是增函数; ;f(xf(x) )在在1,21,2上是减函上是减函数数; ;f(2)=f(0).f(2)=f(0).其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是.答案答案: :经典考题研析经典考题研析 在经典中学习方法在经典中学习方法函数图象的对称性函数图象的对称性审题指导审题指导【典例】【典例】(2015(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)设函数设函数y=f(xy=f(x) )的图象与的图象与y=2x+ay=2x+a的图象的图象关于直线关于直线y=-xy=-x对称对称, ,且且f(-2)+f(-4)=1,f(-2)+f(-4)=1,则则a a等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)2(C)2(D)4(D)4关键点关键点所获信息所获信息图象关于直线图象关于直线y=-xy=-x对称对称轴对称轴对称f(-2)+f(-4)=1f(-2)+f(-4)=1方程方程解题突破解题突破: :由对称性求出函数由对称性求出函数y=f(xy=f(x) )的解析式的解析式, ,再由方程思想求出再由方程思想求出a a的值的值解析解析: :设设(x,y(x,y) )是函数是函数y=f(xy=f(x) )图象上任意一点图象上任意一点, ,它关于直线它关于直线y=-xy=-x的对的对称点为称点为(-y,-x(-y,-x),),由由y=f(xy=f(x) )的图象与的图象与y=2y=2x+ax+a的图象关于直线的图象关于直线y=-xy=-x对称对称, ,可知可知(-y,-x(-y,-x) )在在y=2y=2x+ax+a的图象上的图象上, ,即即-x=2-y+a,-x=2-y+a,解得解得y=-logy=-log2 2(-x)+a,(-x)+a,所以所以f(-2)+f(-4)=-logf(-2)+f(-4)=-log2 22+a-log2+a-log2 24+a=1,4+a=1,解得解得a=2.a=2.故选故选C.C.命题意图命题意图: :本题主要考查两个函数图象的对称性、函数解析式的求本题主要考查两个函数图象的对称性、函数解析式的求法等基础知识法等基础知识, ,考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、方程考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、方程思想思想. .
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