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阶段复习课第四讲【答案速填【答案速填】_ _整除问题整除问题几何问题几何问题贝努利不等式贝努利不等式类型类型 一一 利用数学归纳法证明恒等式利用数学归纳法证明恒等式 数学归纳法证明恒等式的要点分析数学归纳法证明恒等式的要点分析数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题. .证明时，证明时，它的两个步骤缺一不可它的两个步骤缺一不可. .它的第一步它的第一步( (归纳奠基归纳奠基)n)nn n0 0时结论时结论成立成立. .第二步第二步( (归纳递推归纳递推) )假设假设n nk k时，结论成立，推得时，结论成立，推得n nk+1k+1时结论也成立时结论也成立. .它可用有限的步骤它可用有限的步骤( (两步两步) )证明出无限的命题成证明出无限的命题成立立. .【典例【典例1 1】用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：【证明【证明】(1)(1)当当n n1 1时，时，左边左边右边右边左边右边，所以等式成立左边右边，所以等式成立. .(2)(2)假设假设n nk(kNk(kN+ +) )时等式成立，即有时等式成立，即有1111n(nN ).2446682n(2n2)4(n1)+ +创+112 1 (2 12)8创 ，114(11)8+ ，1111k2446682k(2k2)4(k1)+ +创+，则当则当n nk+1k+1时，时，所以当所以当n nk+1k+1时，等式也成立时，等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，对于一切可知，对于一切nNnN+ +等式都成立等式都成立. .111112446682k(2k2)2(k1) 2(k1)2+ +创+2k14(k1)4(k1)(k2)k(k2)1(k1)4(k1)(k2)4(k1)(k2)k1k1.4(k2)4(k11)+类型类型 二二 利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式的关键策略利用数学归纳法证明不等式的关键策略应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时，应应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时，应分析分析p(kp(k) )与与p(k+1)p(k+1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等手的差异及联系，利用拆、添、并、放等手段，从段，从p(k+1)p(k+1)中分离出中分离出p(kp(k) )，再进行局部调整，也可考虑寻，再进行局部调整，也可考虑寻求二者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过适当求二者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过适当放缩、恒等变形，得到结论需要的形式放缩、恒等变形，得到结论需要的形式. .【典例【典例2 2】求证：求证：【证明【证明】(1)(1)当当n n1 1时，因为时，因为 所以原不等式成所以原不等式成立立. .(2)(2)假设假设n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )时，原不等式成立，即有时，原不等式成立，即有当当n nk+1k+1时，时，因此，欲证明当因此，欲证明当n nk+1k+1时，原不等式成立，时，原不等式成立，只需证明只需证明 成立成立. .111nnN .1 223n(n1)+ +创+，1111 22，111k1 223k(k1)+ +创+，11111 223k(k1)(k1)(k2)+ +创+1k.(k1)(k2)+1kk1(k1)(k2)+即证明即证明从而转化为证明从而转化为证明也就是证明也就是证明即即从而从而于是当于是当n nk+1k+1时，原不等式也成立时，原不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，对于任意的正整数可知，对于任意的正整数n n，原不等式都成立，原不等式都成立. .1k1k.(k1)(k2)+-+211k1kk3k2+，2k3k2k1k+，22222( k3k2)( k1k)kk12 k(k1) ( k(k1)1)0+-+-+- ，2k3k2k1k.+类型类型 三三 利用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法(1)(1)在使用数学归纳法证明整除问题时，一般说来，第一步验在使用数学归纳法证明整除问题时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂. .熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的. .其实归纳步骤可以看其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设作是一个独立的证明问题，归纳假设“p(kp(k) )成立成立”是问题的是问题的条件，而条件，而“命题命题p(k+1)p(k+1)成立成立”就是所要证明的结论，因此，就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键. .(2)(2)用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成n nk k时假设时假设的形式的形式. .【典例【典例3 3】证明证明n n为正奇数时为正奇数时,x,xn n+y+yn n能被能被x+yx+y整除整除. .【证明【证明】(1)(1)当当n=1n=1时时,x,xn n+y+yn n=x+y=x+y, ,它能被它能被x+yx+y整除整除, ,所以所以n=1n=1时命时命题成立题成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(k为正奇数为正奇数,k1),k1)时时, ,命题成立命题成立, ,即即x xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除. .当当n=k+2n=k+2时时, ,x xk+2k+2+y+yk+2k+2=x=x2 2x xk k+y+y2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+y2 2y yk k-x-x2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y(y2 2-x-x2 2)=x)=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x).(y+x)(y-x).由归纳假设知由归纳假设知,x,xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除,(y+x)(y-x,(y+x)(y-x) )也能被也能被x+yx+y整除整除. .所以所以x x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x)(y+x)(y-x)能被能被x+yx+y整除整除. .即即x xk+2k+2+y+yk+2k+2也能被也能被x+yx+y整除整除. .故对故对n=k+2n=k+2时命题也成立时命题也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知命题对一切正奇数都成立知命题对一切正奇数都成立. .类型类型 四四 数学归纳法与数列的综合应用数学归纳法与数列的综合应用运用数学归纳法时的注意事项运用数学归纳法时的注意事项(1)(1)对项数要估算正确，特别是寻找对项数要估算正确，特别是寻找n nk k与与n nk+1k+1的关系时，的关系时，项数发生什么变化容易被弄错项数发生什么变化容易被弄错. .(2)(2)必须利用归纳假设必须利用归纳假设. .(3)(3)关键步骤要清晰明了，关键步骤要清晰明了，“假设假设n nk k时结论成立，利用此假时结论成立，利用此假设证明设证明n nk+1k+1时结论也成立时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，注意证明过程的严谨性、规范也是证明问题最重要的环节，注意证明过程的严谨性、规范性性. .【典例【典例4 4】已知正项数列已知正项数列aan n 满足满足(1)(1)求求a a1 1，a a2 2，a a3 3并推测并推测a an n. .(2)(2)用数学归纳法证明你的结论用数学归纳法证明你的结论. .【解析【解析】(1)(1)由由 知知当当n2n2时，时，所以所以整理得整理得：nnn11S(a).2a+nnn11S(a)2a+n 1n 1n 111S(a),2a-+nnn1nn11111a(a)(a).2a2a-+-+nn 1nn 111a(a),aa-+由由 即即又又a a1 100，所以，所以a a1 11.1. 即即所以所以即即所以所以可推测可推测11111S(a)2a+，111aa，221a2a-，222a2a1 2.+ 2331a21 a2 2a-，233a2 2a2 3,+3a32-，nann1(nN ).+-(2)(2)由由(1)(1)知知a a1 11 1，满足，满足故当故当n n1 1时，时， 成立成立. .假设假设n nk k时，时，当当n nk+1k+1时，时，即即所以所以即当即当n nk+1k+1时，时，由由知数列知数列aan n 的通项公式为的通项公式为1a111 1-，nann1-kakk1,-k 1k 11a2 k,a+-2k 1k 1a2 kakk1+，k 1ak1k,+-nann1.-nann1 nN .+-，【跟踪训练【跟踪训练】1.1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明“对于任意对于任意x0 x0的正整数的正整数n n，都有，都有x xn n+x+xn-2 n-2 +x+xn-4n-4+ n+1”+ n+1”时，需验证的使命题成立时，需验证的使命题成立的最小正整数值的最小正整数值n n0 0应为应为( )( )A.nA.n0 01 B.n1 B.n0 02 2C.nC.n0 01,2 D.1,2 D.以上答案均不正确以上答案均不正确【解析【解析】选选A.nNA.nN+ +，n n的最小值为的最小值为n n0 01.1.n 4n 2n111xxx-+2.2.某个命题与正整数有关，如果当某个命题与正整数有关，如果当n nk k时，该命题不成立，时，该命题不成立，那么可推得那么可推得n nk+1k+1时命题也不成立，现在当时命题也不成立，现在当n n5 5时，该命题时，该命题成立，那么可推得成立，那么可推得( )( )A.A.当当n n6 6时该命题不成立时该命题不成立 B.B.当当n n6 6时该命题成立时该命题成立C.C.当当n n4 4时该命题不成立时该命题不成立 D.D.当当n n4 4时该命题成立时该命题成立【解析【解析】选选D.D.依题意当依题意当n n4 4时该命题不成立，则当时该命题不成立，则当n n5 5时，时，该命题也不成立该命题也不成立. .而当而当n n5 5时，该命题成立却无法判断时，该命题成立却无法判断n n6 6时时该命题成立不成立，故选该命题成立不成立，故选D.D.3.3.设设0 0a a1 1，定义，定义a a1 11+a1+a，求证：对一切求证：对一切nNnN+ +，均有，均有【证明【证明】用数学归纳法用数学归纳法. .(1)(1)当当n n1 1时，时，a a1 11 1，又又 显然成立显然成立. .(2)(2)假设假设n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )时，时，n 1n1aaa+，n11a.1a- 11a1a1a+-，k11a.1a- 当当n nk+1k+1时，由递推公式，知时，由递推公式，知同时，同时，故当故当n nk+1k+1时，有时，有综合综合(1)(2)(1)(2)可知，对一切正整数可知，对一切正整数n n，均有，均有k 1k1aa(1a)a 1a+-+，2k 1k11a1aa 1aa1a1a+-+-，k 111a.1a+-n11a.1a- 4.4.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：A An n=5=5n n+23+23n-1n-1+1(nN+1(nN+ +) )能被能被8 8整除整除. .【证明【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，时，A A1 1=5+2+1=8=5+2+1=8，命题显然成立，命题显然成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(k1n=k(k1，kNkN+ +) )时，时，A Ak k能被能被8 8整除，即整除，即A Ak k=5=5k k+2+23 3k-1k-1+1+1是是8 8的倍数的倍数, ,那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，A Ak+1k+1=5=5k+1k+1+2+23 3k k+1=5(5+1=5(5k k+2+23 3k-1k-1+1)-4(3+1)-4(3k-1k-1+1)=5A+1)=5Ak k-4(3-4(3k-1k-1+1).+1).因为因为A Ak k是是8 8的倍数，的倍数，3 3k-1k-1+1+1是偶数，即是偶数，即4(34(3k-1k-1+1)+1)也是也是8 8的倍数，的倍数，所以所以A Ak+1k+1也是也是8 8的倍数，的倍数，即当即当n=k+1n=k+1时，命题成立时，命题成立. .由由(1)(2)(1)(2)知对一切正整数知对一切正整数n,An,An n能被能被8 8整除整除. .5.5.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，对一切，对一切nNnN+ +，点，点 都在函都在函数数 的图象上的图象上. .(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值的值. .(2)(2)猜想猜想a an n的表达式，并用数学归纳法证明的表达式，并用数学归纳法证明. .nS(n,)nnaf(x)x2x=+【解析【解析】(1)(1)因为点因为点 在函数在函数 的图象上，的图象上，故故 所以所以令令n=1n=1，得，得 所以所以a a1 1=2=2；令令n=2n=2，得，得 所以所以a a2 2=4=4；令令n=3n=3，得，得 所以所以a a3 3=6. =6. (2)(2)由上面的计算猜想：由上面的计算猜想：a an n=2n.=2n.nS(n,)nnaf(x)x2x=+nnSann2n=+，2nn1Sna .2=+111a1a ,2=+1221aa4a ,2+=+12331aaa9a ,2+=+用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：当当n=1n=1时，由上面的求解知，猜想成立时，由上面的求解知，猜想成立. .假设假设n=k(k1)n=k(k1)时猜想成立，即时猜想成立，即a ak k=2k=2k成立，成立，则当则当n=k+1n=k+1时，时，注意到注意到故故两式相减，得两式相减，得所以所以a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k. .2nn1Sna (nN )2+=+，22k 1k 1kk11S(k1)a,Ska .22+=+=+k 1k 1k11a2k1aa22+=+-，由归纳假设得，由归纳假设得，a ak k=2k,=2k,故故a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k=4k+2-2k=2(k+1).=4k+2-2k=2(k+1).这说明这说明n=k+1n=k+1时，猜想也成立时，猜想也成立. .由由知，对一切知，对一切nNnN+ +，a an n=2n=2n成立成立. .
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