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43空间直角坐标系空间直角坐标系43.1空间直角坐标系空间直角坐标系43.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 1以点O为坐标原点，建立三条两两互相垂直的数轴 轴、轴、轴，这时称建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 教材中所用的坐标系都是，其规则是： 2数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组 表示右手直角坐标系让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指能指向z轴正方向(x，y)(x，y，z)xyz 3空间内两点M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则|MN| 4在如图的正方体中，已标出了原点、x轴和z轴正向，请画出y轴正向答案5空间两点A(1,0，1)、B(2,0,0)之间的距离为 .6在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是_答案(0，1,0)解析由题意可设M(0，y,0)，又|MA|MB|，本节学习重点：空间直角坐标系的建立本节学习难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标和由坐标确定点的位置 1空间直角坐标系的建立 (1)在数轴上，一个实数就能确定点的位置；在坐标平面上，一对有序实数(x，y)才能确定一点的位置；在空间确定一点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面上的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度 如下图，OABCDABC是单位正方体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD的方向为正方向，以线段OA、OC、OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常按右手系选择 方法(一)：从z轴的正方向看，x轴正半轴沿逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合； 方法(二)：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴的正方向，则中指能指向z轴的正方向； 方法(三)：伸开右手，让四指指向x轴正向，拇指指向z轴正方向，则四指自然弯曲90就指向y轴的正向 (2)在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，常使xOy135，yOz90. 2空间直角坐标系中，点的坐标的确定 如下图，设M为空间一个定点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P、Q、R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y、z.那么点M就对应唯一的有序数组(x，y，z)记作M(x，y，z)其中x，y，z也可称为点M的坐标分量 反之，任意三个实数的有序数组(x，y，z)，就能确定空间一个点的位置与之对应我们可以在x轴、y轴、z轴上依次各取坐标为x、y、z的点P、Q、R，分别过P、Q、R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点M. 一般地，确定点P(x，y，z)的位置的方法为：先在xOy平面内，找到点P1(x，y,0)(和平面直角坐标系找法一样)从P1沿与z轴平行的直线，区分正负，找到点P(x，y，z)与z轴正向相同为正，否则为负 这样，我们就在空间任意一点M与三个有序的实数组(点的坐标)之间，建立起一一对应的关系M(x，y，z) 其中x叫做点M的横坐标，也叫点M的x坐标；y叫做点M的纵坐标，也叫点M的y坐标；z叫做点M的竖坐标，也叫点M的z坐标 xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x、y为任意实数； yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意实数； xOz平面(通过x轴和z轴平面)是坐标形如(x,0，z)的点所构成的点集，其中x，z为任意实数 x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数； z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数 坐标轴或坐标平面上的点的坐标特点是：“无谁谁为0” 3三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第、第、第、第卦限；在下方的卦限称为第、第、第、第卦限 在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的例如在第卦限内，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第卦限内，x为负数，y、z为正数 4空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标已知点A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标为(2，4，3)，试建立空间直角坐标系，画出该点的位置解析先在x轴上找到表示2的点，过该点作y轴的平行线，在y轴上找到表示4的点，过该点作x轴的平行线，两直线相交于P点，过P点作z轴的平行线，与z轴负方向同向的方向上截取3个单位，即得A点.例2已知VABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB2，VO3，试建立空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标解析因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系点评本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴，y轴建系如以A为顶点AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等 例3(1)已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是() A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 (2)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()答案(9,0,0)或(1,0,0) 例4在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P(x，y)， (2)关于x轴的对称点是P(x，y)， (3)关于y轴的对称点是P(x，y)， 那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P1_； (2)关于横轴(x轴)的对称点是P2_； (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3_；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4_；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5_；(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6_；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7_.解析(1)(x，y，z)；(2)(x，y，z)；(3)(x，y，z)；(4)(x，y，z)；(5)(x，y，z)；(6)(x，y，z)；(7)(x，y，z) 总结评述：记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余变相反”，如，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数设点B是点A(2，3,5)关于xOy坐标面的对称点，则 ()答案A解析点A(2，3,5)关于坐标平面xOy的对称点是B(2，3，5)，解析据空间点的坐标的确定方法，我们来确定M的横坐标：P、Q、M在xoy坐标平面上的射影为P1，Q1，M1，则PP1QQ1MM1，M为PQ中点，M1为P1Q1的中点又P1、Q1、M1在x轴上射影为P2、Q2、M2，则P1P2Q1Q2M1M2，M2为P2Q2的中点由空间点的坐标定义知，P2，Q2的横坐标分别为x1，x2， 已知A(1,2，1)，C与A关于平面xOy对称，B与A关于x轴对称，则B，C两点间的距离和BC中点的坐标依次为_答案4(1,0,1)解析由已知得C(1,2,1)，B(1，2,1)，一、选择题1点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上答案C2点M(2，3,1)关于坐标原点的对称点是()A(2,3，1) B(2，3，1)C(2，3，1) D(2,3,1)答案A答案B答案B二、填空题5已知三角形的三个顶点A(2，1,4)，B(3,2，6)，C(5,0,2)，则BC边上的中线长为_答案7解析BC中点D的坐标为(1,1，2)
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