高中数学 23 反证法与放缩法课件 新人教A版选修45

第三节反证法与放缩法【课标要求】1理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法2掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式【核心扫描】1利用反证法、放缩法证明不等式或常规问题是本节的热点2在不等式的证明中，常与数列、三角结合，将放缩法渗透其中进行考查(难点) 自学导引1反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等) 的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法矛盾想一想：哪些命题或不等式适合用反证法证明？提示存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式2放缩法将所需证明的不等式的值适当 (或 )使它由繁化简，达到证明目的如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 ，反之，把分母缩小，则分式的值 放大缩小缩小放大试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？基础自测1实数a，b，c不全为0等价于 ()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0解析a，b，c不全为0，等价于“a，b，c中至少有一个不为0”答案D答案B3否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合答案D 题型一反证法证明不等式【例1】 已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.思维启迪 利用反证法求证证明假设a、b、c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc0，不妨假设a0，则bca0，a(bc)0.a(bc)0，又bc0，bca(bc)0.即abbcca0矛盾假设不成立故a0，b0，c0成立规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立规律方法 (1)用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递思维启迪 (1)问考查由递推关系式求通项的方法；(2)问考查放缩法证明不等式(1)解an12an1(nN)，an112(an1)，数列an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n，即an2n1(nN)规律方法 解数列不等式综合题要注意数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考察数学能力的良好载体；数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题方法技巧用反证法证明否定性结论【示例】 已知0 x2,0y2,0z2，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.思路分析 由题目可获取以下主要信息：x，y，z范围已知；要证明的为否定性结论解答本题可用反证法加以证明解法一假设x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1由于0 x2，0 x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0 xyz(2x)(2y)(2z)1与矛盾，故假设不成立x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.方法点评 (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾.