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活用数学思想 追求高效解题巧用答题模板 建立答题规范第第4 4讲讲 数学思想方法与答题模板建构 空间几何体在高考命题中涉及的常见数学思想有数形结空间几何体在高考命题中涉及的常见数学思想有数形结合思想、函数与方程思想及化归与转化思想合思想、函数与方程思想及化归与转化思想1函数与方程思想函数与方程思想(1)在空间几何体的表面积体积计算中，常根据条件分析列出在空间几何体的表面积体积计算中，常根据条件分析列出方程，利用方程确定未知量方程，利用方程确定未知量(2)在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程(组组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，然后进行计算然后进行计算(3)涉及空间几何体中的最值问题常用到函数思想涉及空间几何体中的最值问题常用到函数思想例例1(2011四川高考四川高考)如图，半径为如图，半径为4的的球球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是是_解析解析法一：法一：圆柱的轴截面如图所示，圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为设球的半径与圆柱的高所成的角为，则圆柱底面半径为则圆柱底面半径为4sin，高为，高为8cos，S圆柱侧圆柱侧24sin8cos32sin2.当当sin21时，时，S圆柱侧圆柱侧最大为最大为32.此时此时S球表球表S圆柱侧圆柱侧4423232.答案答案32点评点评本题综合考查了圆柱的侧面积公式、球的表面积本题综合考查了圆柱的侧面积公式、球的表面积公式运用了函数与方程的思想，考查了学生分析问题，公式运用了函数与方程的思想，考查了学生分析问题，解决问题的能力解决问题的能力2 2数形结合思想数形结合思想数形结合思想包含数形结合思想包含“以形助数以形助数”和和“以数辅形以数辅形”两个方两个方面，在解题过程中，可以借助图形分析题意，寻找、确面，在解题过程中，可以借助图形分析题意，寻找、确定解题思路，图形只是辅助手段，最终还要写出完整的定解题思路，图形只是辅助手段，最终还要写出完整的解答过程解答过程. .例例2(2011江西高考江西高考)已知已知1，2，3是三个相互平行的平是三个相互平行的平面，平面面，平面1，2之间的距离为之间的距离为d1，平面，平面2，3之间的距离为之间的距离为d2.直线直线l与与1，2，3分别相交于分别相交于P1，P2，P3，那么，那么“P1P2P2P3”是是“d1d2”的的 ()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案C点评点评本题借助平行平面的性质定理，考查了逻辑推本题借助平行平面的性质定理，考查了逻辑推理及空间问题平面化的解题思想着重考查了空间想象理及空间问题平面化的解题思想着重考查了空间想象能力及数形结合思想的运用能力及数形结合思想的运用命题角度分析命题角度分析 空间几何体在解答题中是每年必考大题之一常见的命空间几何体在解答题中是每年必考大题之一常见的命题形式一般有题形式一般有23问前两问多为证明空间线、面位置关系问前两问多为证明空间线、面位置关系(平行、垂直平行、垂直)，后一问多为计算问题，后一问多为计算问题(求面积、体积或空间求面积、体积或空间角角)题型上有时会出现探索存在性问题题型上有时会出现探索存在性问题答题模板构建答题模板构建()若直线若直线PB与平面与平面PCD所成的角为所成的角为30，求线段，求线段AB的长；的长；()在线段在线段AD上是否存在一个点上是否存在一个点G，使得点，使得点G到点到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由的距离都相等？说明理由解解法一：法一：(1)因为因为PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，所以所以PAAB.又又ABAD，PAADA，所以，所以AB平面平面PAD.(2分分)又又AB平面平面PAB，所以平面，所以平面PAB平面平面PAD.(3分分)(2)以以A为坐标原点，建立空间直角坐标系为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图如图) (4分分)在平面在平面ABCD内，作内，作CEAB交交AD于点于点E，则，则CEAD.在在RtCDE中，中，DECDcos451，CECDsin451.设设ABAPt，则，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由由ABAD4得得AD4t，所以，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)， (1,1,0)， (0,4t，t) (6分分)CD PD 由于方程没有实数根，所以在线段由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点上不存在一个点G，使得点，使得点G到点到点P、C、D的距离都相等从而，在线段的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点上不存在一个点G，使得点，使得点G到点到点P、B、C、D的距离的距离都相等都相等(12分分)第一步第一步根据条件分析得出所需垂直关系根据条件分析得出所需垂直关系第二步第二步证明垂直关系证明垂直关系第三步第三步建立适当坐标系，并写出相关点坐标建立适当坐标系，并写出相关点坐标第四步第四步求法向量并建立所需关系式求法向量并建立所需关系式 第五步第五步化简关系式确定是否有解化简关系式确定是否有解第六步第六步得结论得结论答题模板构建答题模板构建法二：法二：(1)同法一同法一(3分分)(2)(i)同法一同法一(9分分)(ii)假设在线段假设在线段AD上存在一个点上存在一个点G，使得点，使得点G到点到点P，B，C，D的距离都相等的距离都相等由由GCGD，得，得GCDGDC45，从而从而CGD90，即，即CGAD，所以所以GDCDcos451.(10分分)设设AB，则，则AD4，AGADGD3，(3分分)根据条件分析得出所需垂直关系根据条件分析得出所需垂直关系第二步第二步证明垂直关系证明垂直关系 第三步第三步建立坐标系，求法向量后建立方程求解建立坐标系，求法向量后建立方程求解 第四步第四步假设存在并分析条件假设存在并分析条件 第五步第五步列出关系式分析，得出矛盾，求解得结论列出关系式分析，得出矛盾，求解得结论套用模板解题套用模板解题点评点评本题以锥体为载体考查线面垂直的判定及二面本题以锥体为载体考查线面垂直的判定及二面角解题中利用给出的数量关系推出位置关系是关键角解题中利用给出的数量关系推出位置关系是关键
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