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第第3 3讲讲运动图象运动图象追及与相遇问题追及与相遇问题一、直线运动的图象1.x-t图象(1)物理意义:反映了做直线运动物体的位移随时间变化的规律。(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。2.v-t图象(1)物理意义:反映了做直线运动物体的速度随时间变化的规律。(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。(3)“面积”的意义图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小。若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正;若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负。二、追及相遇问题1.追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者,追上时,两者处在同一位置,且后者速度一定大于前者速度。(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。2.相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及并相遇:两物体位移大小之差等于开始时两物体之间的距离。(2)相向运动的物体相遇:各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。【提示】1 1.对运动图象的三点认识:(1)匀速直线运动的v-t图象的斜率为零,表示其加速度等于零。(2)无论是x-t图象还是v-t图象都只能描述直线运动。(3)x-t图象和v-t图象不表示物体运动的轨迹。2 2.解决追及、相遇问题的两个关键点:(1)在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即运动过程示意图、时间关系式、速度关系式和位移关系式,最后还要注意对结果的讨论分析。(2)分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件, 如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。 考点二考点三考点一考点一运动图象的理解及应用应用运动图象解题“六看”考点二考点三考点一典例1(2014新课标全国卷)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图象如图所示。在这段时间内 ()A.汽车甲的平均速度比乙的大C.甲乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大【解题思路】平均速度等于位移除以时间,显然甲图线与坐标轴围成的面积大,位移大,则平均速度也大,A项正确,C项错误;根据初、末速度平均值的方法求平均速度只适用于匀变速直线运动,B项错误;甲、乙两条图象的斜率绝对值均不断减小,可见它们的加速度均减小,D项错误。【参考答案】A考点二考点三考点一【误区警示】解运动图象问题的三个易错点:(1)易看错坐标系,如误将x-t图象当作v-t图象进行分析。(2)对坐标系中的坐标、单位、斜率、交点、截距的物理意义理解不清而导致错误。(3)对两图象之间的转化过程不清楚,不能将图象和实际运动结合起来而导致错误。 考点二考点三考点一如图(a)、(b)所示的位移(x)时间(t)图象和速度(v)时间(t)图象中给出四条图线,甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法正确的是 (C)A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动B.0t1时间内,甲车通过的路程大于乙车通过的路程C.0t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远D.0t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等考点二考点三考点一【解析】x-t图象表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况,而不是物体运动的轨迹。由x-t图象可知,甲、乙两车在0t1时间内均做单向直线运动,在这段时间内两车通过的路程相等,A、B项错误;在v-t图象中,t2时刻丙、丁两车速度相同,故0t2时间内,t2时刻两车相距最远,C项正确;由图线可知,0t2时间内丙车的位移小于丁车的位移,故丙车的平均速度小于丁车的平均速度,D项错误。考点二考点三考点一考点二图象间的转化问题描述物体的运动图象之间可以相互转化,如位移时间图象转化为速度时间图象,加速度时间图象转化为速度时间图象等。考点二考点三考点一典例2汽车由静止开始在平直的公路上行驶,060s内汽车的加速度随时间变化的图象如图所示。则该汽车在060s内的速度时间图象(即v-t图象)正确的是 ()考点二考点三考点一【解题思路】在a-t图象中,前10s加速度为2m/s2,表示物体在做匀加速直线运动;中间30s加速度为零,说明物体在做匀速直线运动;最后20s加速度为-1m/s2,说明物体在做匀减速直线运动。A、D图象中,中间时间段速度为零,不符合题意;C图象中,最后时间段速度为负值,不符合题意;B项正确。【参考答案】B考点二考点三考点一【名师归纳】图象转化时要注意的三点:(1)合理划分运动阶段,分阶段进行图象转化。(2)注意相邻运动阶段的衔接,尤其是运动参量的衔接。(3)注意图象转化前后核心物理量间的定量关系。 考点二考点三考点一如图所示为一物体做直线运动的x-t图象,则此物体运动的v-t图象为 (D)考点二考点三考点一【解析】由x-t图象可知,01s内,物体做正向的匀速直线运动,13s内,物体处于静止状态,34s内,物体做反向的匀速直线运动,45s内,物体做正向的匀速直线运动,综上所述,D项正确。考点二考点三考点一考点三追及与相遇问题1.讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。考点二考点三考点一2.常见的情况物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0。(1)A追上B时,必有xA-xB=x0,且vAvB。(2)要使两物体恰好不相撞,必有xA-xB=x0,且vAvB。3.解题思路和方法分析两物体运动过程画运动示意图找两物体位移关系列位移方程 考点二考点三考点一典例3甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。【解题思路】(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at解得t=12s考点二考点三考点一【参考答案】 (1)36m(2)25s考点二考点三考点一【名师归纳】追及、相遇问题的三点解题技巧:(1)紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。(2)审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等。(3)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外还要注意最后对解的讨论分析。 考点二考点三考点一一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以v0=6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车,试问:(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多大?(2)当汽车与自行车再次相遇时汽车的速度是多大?考点二考点三考点一巧解追及与相遇问题的四种方法1.临界法寻找问题中隐含的临界条件。例如,速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。2.函数法设在t时刻两物体相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇。3.图象法(1)若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移图象相交,则说明两物体相遇。(2)若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。4.相对运动法由于追及相遇问题涉及两个都在运动的物体,若选其中一个物体为参照物,有时可以使得问题变得简单。典例在水平轨道上两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。两车可视为质点,要使两车不相撞,求A车的初速度v0应满足的条件。方法三函数法利用判别式求解,由题意可知xA=x+xB整理得3at2-2v0t+2x=0这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(-2v0)2-43a2x0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是【名师点睛】运用图象法解题的优点:(1)用图象解题可使解题过程简化,思路更清晰,而且比解析法更巧妙、更灵活。在有些情况下运用解析法可能无能为力,但使用图象法则会使人豁然开朗。(2)利用图象描述物理过程更直观。物理过程可以用文字表述,也可以用数学式表达,还可以用物理图象描述。如果能够用物理图象描述,一般来说会更直观且容易理解。 为了打击贩毒,我边防民警在各交通要道上布下天罗地网,某日,一辆运毒汽车高速驶近某检查站,警方示意停车,毒贩见势不妙,高速闯卡。由于车速已很高,发动机早已工作在最大功率状态,此车闯卡后在平直公路上的运动可近似看作匀速直线运动,它的位移可用式子x1=40t(m)来描述。运毒车过卡的同时,原来停在路边的大功率警车立即启动追赶。警车从启动到追上毒贩的运动可看作匀加速直线运动,其位移可用式子x2=2t2(m)来描述,请回答:(1)警车在离检查站的多少米处追上毒贩?(2)在追赶过程中哪一时刻警车与毒贩子的距离最远?相距多远?解:(1)由题意可知毒贩以v1=40m/s的速度做匀速直线运动而警车以初速v0=0,加速度为a=4m/s2做匀加速直线运动当警车追上毒贩时,两车相距检查点的位移相同,故有x1=x2即警车在离检查站的800m处追上毒贩(2)由于开始时,毒贩车速大于警车车速,故两车之间有相对运动,两车的距离加大当两车的速度相等时,此时两车无相对运动,此时两车的距离最大设此时警车车速为v2,毒贩和警车距离检查点的位移分别为x1和x2,x为两车间的最大距离所以在追赶过程中,10s后警车与毒贩子的距离最远,相距200m1.(2015广东高考)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动,前1小时内的位移时间图象如图所示,下列表述正确的是 (B)A.0.20.5小时内,甲的加速度比乙的大B.0.20.5小时内,甲的速度比乙的大C.0.60.8小时内,甲的位移比乙的小D.0.8小时内,甲、乙骑行的路程相等【解析】由图象可知,0.20.5h内甲、乙均做匀速运动,加速度为零,A项错误;位移时间图象的斜率为速度,由图可知,0.20.5h内甲的速度比乙的速度大,B项正确;0.60.8h内,甲的位移大小为10km-5km=5km,而乙的位移大小为8km-5km=3km,C项错误;0.8h内,甲的路程为10km+5km=15km,而乙的路程为8km+3km=11km,D项错误。2.(2015龙岩质检)A和B两物体在同一直线上运动的v-t图线如图所示。已知在第3s末两个物体在途中相遇,则下列说法正确的是 (B)A.两物体从同一地点出发B.出发时B在A前3m处C.3s末两个物体相遇后,两物体可能再相遇D.运动过程中B的加速度大于A的加速度【解析】由v-t图线与横轴所围的“面积”表示位移可知,在第3s末物体A的位移比物体B的位移大3m,所以出发时B在A前3m处,两物体不是从同一地点出发,B项正确,A项错误;3s末两个物体相遇后,A的速度一直比B大,两物体不可能再相遇,C项错误;v-t图线的斜率表示加速度,运动过程中A的加速度大于B的加速度,D项错误。3.(2015银川模拟)如图所示,是从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体、的v-t图象。在0t2时间内,下列说法中正确的是 (B)A.物体所受的合外力不断增大,物体所受的合外力不断减小B.在第一次相遇之前,t1时刻两物体相距最远C.t2时刻两物体相遇D.、两个物体的平均速度大小都是【解析】物体的加速度在v-t图象中是每点对应切线的斜率,可知物体的加速度一直在减小,合外力不断减小,物体加速度不变,所受合外力不变,A项错误;v-t图象中图线与横轴所围面积表示位移,则在第一次相遇之前,t1时刻两物体相距最远,t2时刻两物体不相遇,B项正确,C项错误;物体的平均速度4.一汽车沿直线运动的速度-时间(v-t)图象如图所示,则下列关于该汽车运动情况的说法中正确的是 (D)A.第4s末,汽车的运动方向发生变化B.610s内,汽车一直处于静止状态C.汽车在06s内的位移大小为24mD.第12s末,汽车的加速度为-1m/s2【解析】由v-t图象可以看出,4s末汽车的速度由6m/s开始减小,但汽车的运动方向并没有发生变化,A项错误;610s内,汽车的速度为4m/s,B项错误;图线与横轴所围面积即为位移,汽车在06s内的位移为22m,C项错误;汽车在1014s内做匀减速直线运动,加速度a=-1m/s2,D项正确。5.(2016湖南长郡中学月考)(多选)a、b两车在平直公路上沿同一方向行驶,两车运动的v-t图象如图所示,在t=0时刻,b车在a车前方s0处,在0t1时间内,a车的位移为s,则 (AC)
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