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考纲要求考纲研读1.了解函数模型的实际背景2会运用函数的解析式理解和研究函数的性质.能利用幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式来研究该函数的基本性质.第7讲抽象函数1满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函数3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则 f(x)是()AA奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)()A13B213C.22D.13C3设奇函数 f(x)满足：对xR 有 f(x1)f(x)0，则 f(5)_.04已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 xR 都有 f(2x)f(2x)，当 f(3)2 时，f(2 013)的值为_.25已知函数 f(x)的定义域为 R，并且对任意正数 x，y 都有f(xy)f(x)f(y)，则(1)f(1)_；012考点1 正比例函数型抽象函数例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且 x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问在3x3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由解：(1) 令xy0，则有f(0)2f(0)f(0)0.令yx，则有f(0)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(x)是奇函数(2) 任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)yf(x)在R上为减函数因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函数最大值为6，最小值为6.(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性(2)小技巧判断单调性：设x10f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递减【互动探究】1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则下列错误的是()D考点2 对数函数型抽象函数(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式 f(2x21)1时f(x)0，f(2)1.解：(1) 对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1)证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点【互动探究】当 f(x)lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_.考点3 指数函数型抽象函数例3：定义在 R 上的函数 yf(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b)(1)求证：f(0)1；(2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为f(0)1(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20.0 x3.(2)小技巧判断单调性：设x1x2，x1x20，则f(x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数是增函数【互动探究】3设指数函数 f(x)ax(a0 且 a1)，则下列等式正确的有_(填序号)思想与方法6转化与化归思想解信息给予题例题：对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为 G 函数：对任意的x0,1，总有f(x)0；当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立已知函数g(x)x2与h(x)2xb是定义在0,1上的函数(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合一般地，一个抽象函数都对应着我们非常熟悉的基本函数，在中学阶段，我们主要学习正比例函数型、对数型、指数型以及三角函数类型，因此在学习时应把握对题型的联想与分析，力争事半功倍f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤，但不能用具体函数来代替抽象的解析式
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